Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
120 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 6 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite stabdymo kelią s.
Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 11 m/s greičiu nuo stogo, esančio 5 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį hmax virš žemės.
50 kg dėžė pastoviu greičiu stumiama aukštyn 15° kampu į horizontalę pasvirusia rampa jėga, lygiagrečia rampai. Kinetinės trinties koeficientas 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite stūmimo jėgą F.
Kaladėlė stumtelima taip, kad ji pradeda slysti aukštyn 15° rampa 10,5 m/s greičiu. Kinetinės trinties koeficientas 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Kokį atstumą d rampa ji nuslysta, kol sustoja?
Kamuolys nuo lygios žemės spiriamas 30 m/s greičiu 30° kampu virš horizontalės link sienos, esančios 56 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiame aukštyje y kamuolys praskrenda pro sieną?
Kamuolys 15 m/s greičiu 70° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 20 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį H virš žemės skardžio papėdėje.
Automobilis važiuoja horizontaliu 70 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,5. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį vmax, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.
1,9 kg rutuliukas ant 1,2 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 4 m/s. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T žemiausiame taške.
0,5 kg kūnas nuslysta 6 m nuokalne, pasvirusia 35° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,3. Raskite darbą Wf, atliktą prieš trintį.
10 kg vežimėlis paleidžiamas be pradinio greičio 6 m aukštyje ant lygaus bėgio, vedančio į vertikalią apskritą 2 m spindulio kilpą. Raskite normalinę jėgą N, kuria bėgis veikia vežimėlį kilpos viršuje.
10 kg sviedinys, horizontaliai judantis 35 m/s greičiu, sprogsta į dvi skeveldras, kurios juda ta pačia tiese. 5 kg skeveldra toliau juda pirmyn 40 m/s greičiu. Raskite 5 kg skeveldros greitį v′2 (teigiamas pradine kryptimi).
0,2 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 11 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 8 m/s greičiu. Sąlytis trunka 40 ms. Raskite jėgos impulso, kurį siena suteikia kamuoliui, modulį J.
Variklis smagratį, kurio inercijos momentas 8,5 kg·m², per 36 s iš rimties išsuka iki 700 rpm. Nepaisydami nuostolių, raskite vidutinę jo tiekiamą galią Pavg kW.
tuščiaviduris rutulys be slydimo rieda nuožulnia plokštuma, pakreipta 40° kampu į horizontalę. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jo centro pagreitį a.
80 mm skriemulys sukasi 1500 rpm ir diržu suka 200 mm skriemulį, slydimas 3 %. Raskite varomojo skriemulio sūkių dažnį n2.
Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (30 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 1450 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (32 dantų). Krumpliaratis C (15 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (32 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį nout.
Kokio ilgio turi būti matematinė švytuoklė, kad jos periodas būtų 1,8 s? Imkite g = 9,81 m/s². Raskite L.
2,5 kg krovinys pritvirtinamas prie neištemptos vertikalios spyruoklės, kurios k = 480 N/m, apatinio galo ir paleidžiamas be pradinio greičio. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią spyruoklės pailgėjimą xmax cm.
Slopinamos masės ir spyruoklės sistemos laisvųjų virpesių bandyme po 25 mm poslinkio amplitudės po vieno ciklo seka 9,6 mm amplitudė. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.
25 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 10 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 12 kN/m ir k₂ = 100 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį fn Hz.
Atsakymas: s = 92,59 m
Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.
Atsakymas: hmax = 11,17 m
Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.
Atsakymas: F = 221,7 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Pastovus greitis: jėgos atsveria viena kitą.
Atsakymas: d = 11,23 m
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Abi jėgos nukreiptos žemyn šlaitu; masė susiprastina.
Atsakymas: y = 9,543 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Prie sienos kamuolys jau leidžiasi žemyn.
Atsakymas: H = 30,13 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Atsakymas: vmax = 18,53 m/s
Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.
Atsakymas: T = 43,97 N
Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.
Į centrą (aukštyn) – teigiama kryptis.
Atsakymas: Wf = 7,232 J
Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).
Atsakymas: N = 98,1 N
Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d). Judant apskritimu, į centrą nukreipta atstojamoji jėga turi būti lygi mv²/r.
Vežimėlis vos apvažiuoja kilpą, kai h = 2,5R; tada viršuje N = 0.
Atsakymas: v′2 = 30 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Atsakymas: J = 3,8 N·s
Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.
Atsakymas: Pavg = 0,6344 kW
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Atsakymas: a = 3,783 m/s²
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Atsakymas: n2 = 582 rpm
Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = eμθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.
Atsakymas: nout = 637,2 rpm
Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.
bendras perdavimo skaičius = 2,276 : 1
Atsakymas: L = 0,8051 m
Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².
Atsakymas: xmax = 10,22 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Atsakymas: ζ = 0,1506
Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Atsakymas: fn = 3,05 Hz
Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Lygiagrečiai sujungtos tik k1 ir k2. Ši pora nuosekliai sujungta su k3, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics