Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

72 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 5,5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite stabdymo kelią s.

v₀ = 72 km/ha = −5,5 m/s²v = 0

s = m

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 10 m/s greičiu nuo stogo, esančio 20 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį h_max virš žemės.

v₀ = 10 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

10 kg dėžė pastoviu greičiu stumiama aukštyn 20° kampu į horizontalę pasvirusia rampa jėga, lygiagrečia rampai. Kinetinės trinties koeficientas 0,15. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite stūmimo jėgą F.

m = 10 kgθ = 20°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

F = N

4.Niutono dėsniaiSunkus

Kaladėlė stumtelima taip, kad ji pradeda slysti aukštyn 20° rampa 5,5 m/s greičiu. Kinetinės trinties koeficientas 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Kokį atstumą d rampa ji nuslysta, kol sustoja?

v₀ = 5,5 m/sθ = 20°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės spiriamas 16 m/s greičiu 45° kampu virš horizontalės link sienos, esančios 8 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiame aukštyje y kamuolys praskrenda pro sieną?

v₀ = 16 m/sθ = 45°x = 8 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 55° kampu į horizontą nuo 45 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 12 m/sθ = 55°h = 45 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 145 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,8. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 145 mμ_s = 0,8g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

Rutuliukas ant 1,4 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Imkite g = 9,81 m/s². Koks mažiausias greitis v_min viršutiniame taške, kuriam esant siūlas dar lieka įtemptas?

r = 1,4 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

4 kg kūnas nuslysta 10 m nuokalne, pasvirusia 30° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,1. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 4 kgθ = 30°μ = 0,1d = 10 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

3 kg kaladėlė guli ant šiurkštaus horizontalaus stalo (μ = 0,2). Lengvas siūlas nuo jos eina per lygų skridinį stalo krašte prie kabančios 1 kg kaladėlės. Sistema paleidžiama be pradinio greičio. Raskite kaladėlių greitį v, kai kabanti kaladėlė nusileidžia 2,5 m.

m₁ = 3 kgm₂ = 1 kgμ = 0,2d = 2,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

12 g kulka horizontaliai įšaunama į 5 kg medinį tašelį, kabantį ant lengvų siūlų, ir jame įstringa. Tašelis atsilenkia ir pakyla 19 cm aukščiau nei pradžioje. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 12 gM = 5 kgh = 19 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,45 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 15 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 18 m/s greičiu. Sąlytis trunka 40 ms. Raskite jėgos impulso, kurį siena suteikia kamuoliui, modulį J.

m = 0,45 kgv_in = 15 m/sv_out = 18 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

Smagratis, kurio inercijos momentas 12,5 kg·m², sukasi 600 rpm. Stabdys sukuria pastovų trinties momentą 80 N·m. Kiek apsisukimų N padaro smagratis, kol sustoja?

I = 12,5 kg·m²n = 600 rpmT_b = 80 N·m

N = rev

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

vientisas cilindras, kurio masė 18 kg, be slydimo rieda 7,5 m/s greičiu. Raskite jo sukimosi kinetinę energiją E_rot.

m = 18 kgv = 7,5 m/sI = ½·m·r²

E_rot = J

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

0,75 kW variklis, besisukantis 1440 rpm greičiu, suka slieką (pradų skaičius 2). Sliekratis turi 45 dantų, o pavaros naudingumo koeficientas 75%. Raskite išėjimo sukimo momentą T_w ant sliekračio veleno.

z = 2N_w = 45n = 1440 rpmP = 0,75 kWη = 75%

T_w = N·m

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

11 kW variklis, besisukantis 960 rpm greičiu, suka krumpliaratį A (16 dantų), kuris sukimba su krumpliaračiu B (24 dantų). Krumpliaratis C (25 dantų), esantis ant to paties veleno kaip B, suka krumpliaratį D (45 dantų) ant išėjimo veleno. Kiekvieno sukibimo naudingumo koeficientas 97%. Raskite išėjimo sukimo momentą T_out.

P = 11 kWn_in = 960 rpmA = 16B = 24C = 25D = 45η_mesh = 97%

T_out = N·m

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

0,8 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 60 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 6 cm amplitude. Raskite jo greitį v, kai jis yra 3 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

m = 0,8 kgk = 60 N/mA = 6 cmx = 3 cm

v = m/s

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

Krovinys ant spyruoklės, kurios k = 370 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 15 cm amplitude. Raskite jo kinetinę energiją K, kai jis yra 1 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

k = 370 N/mA = 15 cmx = 1 cm

K = J

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

2 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 50 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 90 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 2 kgk = 50 kN/mc = 90 N·s/m

ζ =

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

40 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 10 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 100 kN/m ir k₂ = 25 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 40 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 25 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: s = 36,36 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

Stabdymo kelias

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·5,5) = 36,36 m

Atsakymas

s = 36,36 m

2.Kinematika

Atsakymas: h_max = 25,1 m

Pakilimas virš stogo

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 10²/(2·9,81) = 5,097 m

Aukštis virš žemės

h_max = 20 + 5,097 = 25,1 m

Atsakymas

h_max = 25,1 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: F = 47,38 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Jėgos išilgai nuokalnės

Pastovus greitis: jėgos atsveria viena kitą.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Stūmimo jėga

F = 33,55 + 13,83 = 47,38 N

Atsakymas

F = 47,38 N

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: d = 2,672 m

Lėtėjimas

Abi jėgos nukreiptos žemyn šlaitu; masė susiprastina.

a = 9,81·(sin 20° + 0,25·cos 20°) = 5,66 m/s²

Kelias

d = v₀²/(2a) = 5,5²/(2·5,66) = 2,672 m

Atsakymas

d = 2,672 m

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: y = 5,547 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Laikas iki sienos

v_x = 16·cos 45° = 11,31 m/s

t = x/v_x = 8/11,31 = 0,7071 s

Aukštis tuo momentu

y = 11,31·0,7071 − ½·9,81·0,7071² = 5,547 m

Atsakymas

y = 5,547 m

Prie sienos kamuolys dar kyla.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 28,86 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 55° = 6,883 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 55° = 9,83 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 45 + 9,83·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9,83 + √(96,63 + 882,9))/9,81 = 4,192 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 6,883·4,192 = 28,86 m

Atsakymas

x = 28,86 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 33,73 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,8·9,81·145) = 33,73 m/s

Atsakymas

v_max = 33,73 m/s (121,4 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_min = 3,706 m/s

Viršuje įtempimo jėga lygi nuliui

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,4) = 3,706 m/s

Atsakymas

v_min = 3,706 m/s

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 33,98 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 39,24·0,866 = 33,98 N

F = μN = 0,1·33,98 = 3,398 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 3,398·10 = 33,98 J

Atsakymas

W_f = 33,98 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 2,215 m/s

Išsiskyrusi ir prarasta energija

m₂g·d = 9,81·2,5 = 24,53 J

μ·m₁g·d = 0,2·29,43·2,5 = 14,71 J

Abiejų kaladėlių kinetinė energija

½(m₁ + m₂)v² = 9,81 → v = √(2·9,81/4) = 2,215 m/s

Atsakymas

v = 2,215 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 806,4 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Atsilenkimas po smūgio

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,19) = 1,931 m/s

Susidūrimas

m·v = (m + M)·V → v = (0,012 + 5)·1,931/0,012 = 806,4 m/s

Atsakymas

v = 806,4 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: J = 14,85 N·s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,45·(18 + 15) = 14,85 N·s

Atsakymas

J = 14,85 N·s

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: N = 49,09 rev

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Kampinis greitis

ω = 2π·600/60 = 62,83 rad/s

Stabdžio darbas lygus kinetinei energijai

½·I·ω² = ½·12,5·62,83² = 24674 J

θ = 24674/80 = 308,4 rad

Apsisukimai

N = θ/2π = 49,09 rev

Atsakymas

N = 49,09 rev

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: E_rot = 253,1 J

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Slenkamoji ir sukimosi dalys

E_trans = ½·m·v² = ½·18·7,5² = 506,3 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,5·m·r²·(v/r)² = 0,5·506,3 = 253,1 J

Atsakymas

E_rot = 253,1 J

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T_w = 83,93 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Sliekračio greitis

n_w = n·z/N_w = 1440·2/45 = 64 rpm

Išėjimo sukimo momentas

ω_w = 2π·64/60 = 6,702 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,75·750/6,702 = 83,93 N·m

Atsakymas

T_w = 83,93 N·m

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T_out = 278 N·m

Išėjimo sukimosi dažnis

n_out = 960·(16/24)·(25/45) = 355,6 rpm

ω_out = 2π·355,6/60 = 37,23 rad/s

Išėjimo galia ir sukimo momentas

P_out = 11000·0,97² = 10350 W

T_out = P_out/ω_out = 10350/37,23 = 278 N·m

Atsakymas

T_out = 278 N·m

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v = 0,45 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(60/0,8) = 8,66 rad/s

Greitis taške x

v = ω·√(A² − x²) = 8,66·√(0,06² − 0,03²) = 0,45 m/s

Atsakymas

v = 0,45 m/s

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: K = 4,144 J

Visa energija

E = ½·k·A² = ½·370·0,15² = 4,162 J

Spyruoklės energija taške x

U = ½·k·x² = ½·370·0,01² = 0,0185 J

Kinetinė energija

K = 4,162 − 0,0185 = 4,144 J

Atsakymas

K = 4,144 J

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,1423

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·2) = 632,5 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 90/632,5 = 0,1423

Atsakymas

ζ = 0,1423

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 2,421 Hz

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k₁ ir k₂. Ši pora nuosekliai sujungta su k₃, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k₁₂ = 100 + 25 = 125 kN/m

k_eq = 125·10/(125 + 10) = 9,259 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(9259/40) = 15,21 rad/s

f_n = 15,21/(2π) = 2,421 Hz

Atsakymas

f_n = 2,421 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics