Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

100 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 6 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Kiek trunka stabdymas? Raskite t.

v₀ = 100 km/ha = −6 m/s²v = 0

t = s

2.KinematikaSunkus

Tramvajus pajuda iš vietos ir 4 s greitėja 1,5 m/s² pagreičiu, tada 14 s važiuoja pastoviu greičiu ir galiausiai stabdo 5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite visą atstumą s tarp dviejų stotelių.

a₁ = 1,5 m/s²t₁ = 4 st₂ = 14 sa₃ = −5 m/s²

s = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

Dėžė slysta lygiomis grindimis 6,5 m/s pradiniu greičiu ir sustoja nuslydusi 8,6 m. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kinetinės trinties koeficientą μ.

v₀ = 6,5 m/sd = 8,6 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Niutono dėsniaiSunkus

2 kg kaladėlė ant 25° rampos lengvu siūlu per skridinį be trinties rampos viršuje sujungta su kabančiu 5,5 kg kroviniu. Kabantis krovinys juda žemyn. Rampa be trinties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 2 kgm₂ = 5,5 kgθ = 25°μ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 30° kampu virš horizontalės ir nukrinta 40 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite pradinį greitį v₀.

θ = 30°R = 40 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 40° kampu į horizontą nuo 25 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite skrydžio laiką t, kol kamuolys atsitrenks į žemę.

v₀ = 32 m/sθ = 40°h = 25 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 60 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,5. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 60 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

Rutuliukas ant 1,3 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Imkite g = 9,81 m/s². Koks mažiausias greitis v_min viršutiniame taške, kuriam esant siūlas dar lieka įtemptas?

r = 1,3 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

0,2 kg rutuliukas kabo ant lengvo 0,8 m ilgio siūlo. Jis atitraukiamas, kol siūlas su vertikale sudaro 30° kampą, ir paleidžiamas be pradinio greičio. Raskite siūlo įtempimo jėgą T, kai rutuliukas eina pro žemiausią tašką.

m = 0,2 kgL = 0,8 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Darbas ir energijaSunkus

10 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 3,5 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 4,5 m ilgio juostą (μ = 0,1) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 1000 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite didžiausią spyruoklės suspaudimą x.

m = 10 kgh = 3,5 mL = 4,5 mμ = 0,1k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

0,5 kg vežimėlis, judantis 3 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 2,5 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite antrojo vežimėlio greitį v′₂ po susidūrimo.

m₁ = 0,5 kgm₂ = 2,5 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

800 kg automobilis atsitrenkia į stovintį 1600 kg automobilį. Sukibę automobiliai nuslysta 22 m ir sustoja. Kinetinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,7. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite pirmojo automobilio greitį v₁ prieš pat susidūrimą.

m₁ = 800 kgm₂ = 1600 kgd = 22 mμ = 0,7g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

11 kg masės blokas kabo ant lengvos virvės, apvyniotos ant skriemulio – vienalyčio vientiso 11,5 kg masės ir 0,5 m spindulio disko, besisukančio ant besitrinties horizontaliosios ašies. Blokas paleidžiamas iš rimties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite bloko greitį v, kai jis nukrito 2,5 m.

m = 11 kgM = 11,5 kgR = 0,5 mg = 9,81 m/s²h = 2,5 m

v = m/s

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

vientisas rutulys be slydimo rieda nuožulnia plokštuma, pakreipta 10° kampu į horizontalę. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jo centro pagreitį a.

θ = 10°I = (2/5)·m·r²g = 9,81 m/s²

a = m/s²

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Diržas juda ant 160 mm varančiojo skriemulio, kuris sukasi 1500 rpm. Įtemptosios šakos įtempimas yra 600 N, laisvosios – 300 N. Raskite perduodamą galią P kW.

d₁ = 160 mmn₁ = 1500 rpmT₁ = 600 NT₂ = 300 N

P = kW

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 200 mm varantįjį skriemulį, sukamą 1440 rpm, su 250 mm skriemuliu; ašys nutolusios 1000 mm. Trinties koeficientas yra 0,25, o įtemptosios šakos įtempimas neturi viršyti 1000 N. Raskite didžiausią galią P, kurią diržas gali perduoti neslysdamas, kW (išcentrinių jėgų neįskaitykite).

d₁ = 200 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 250 mmC = 1000 mmμ = 0,25T₁ = 1000 N

P = kW

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Matematinės švytuoklės ilgis – 3 m. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jos periodą T, kai svyravimai maži.

L = 3 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

15 g kulka, lekianti 450 m/s greičiu, pataiko į 1,5 kg tašelį, gulintį ant paviršiaus be trinties, ir jame įstringa. Tašelis pritvirtintas prie horizontalios spyruoklės, kurios k = 1500 N/m. Raskite atsiradusių svyravimų amplitudę A cm.

m = 15 gv = 450 m/sM = 1,5 kgk = 1500 N/m

A = cm

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

500 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 100 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,4. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 500 kgk = 100 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

40 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 15 kN/m, apatinės k₂ = 25 kN/m. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 40 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: t = 4,63 s

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

Stabdymo trukmė

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 27,78/6 = 4,63 s

Atsakymas

t = 4,63 s

2.Kinematika

Atsakymas: s = 99,6 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Didžiausias greitis

v = a₁·t₁ = 1,5·4 = 6 m/s

Kiekvienos fazės atstumas

s₁ = ½·1,5·4² = 12 m

s₂ = 6·14 = 84 m

s₃ = 6²/(2·5) = 3,6 m

Visas atstumas

s = 12 + 84 + 3,6 = 99,6 m

Atsakymas

s = 99,6 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: μ = 0,2504

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Lėtėjimas

a = v₀²/(2d) = 6,5²/(2·8,6) = 2,456 m/s²

Trinties koeficientas

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2,456/9,81 = 0,2504

Atsakymas

μ = 0,2504

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 20,47 N

Jėgos išilgai siūlo

m₂·g = 53,96 N

m₁·g·sin θ = 8,292 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

Sistemos pagreitis

a = (53,96 − 8,292 − 0)/7,5 = 6,088 m/s²

Siūlo įtempimo jėga iš kabančio krovinio

m₂·g − T = m₂·a → T = 5,5·(9,81 − 6,088) = 20,47 N

Atsakymas

T = 20,47 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: v₀ = 21,29 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Iš nuotolio formulės išreiškite v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·40/sin 60°) = 21,29 m/s

Atsakymas

v₀ = 21,29 m/s

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: t = 5,178 s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 40° = 24,51 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 40° = 20,57 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 25 + 20,57·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (20,57 + √(423,1 + 490,5))/9,81 = 5,178 s

Atsakymas

t = 5,178 s

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 17,16 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·60) = 17,16 m/s

Atsakymas

v_max = 17,16 m/s (61,76 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_min = 3,571 m/s

Viršuje įtempimo jėga lygi nuliui

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,3) = 3,571 m/s

Atsakymas

v_min = 3,571 m/s

9.Darbas ir energija

Atsakymas: T = 2,488 N

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d). Judant apskritimu, į centrą nukreipta atstojamoji jėga turi būti lygi mv²/r.

Greitis apačioje

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·0,8·(1 − cos 30°) = 2,103 m²/s²

Jėgos apačioje

m·g = 0,2·9,81 = 1,962 N

T = mg + mv²/L = 1,962 + 0,2·2,103/0,8 = 2,488 N

Atsakymas

T = 2,488 N

Patikra: T = mg(3 − 2cos θ) = 2,488 N.

10.Darbas ir energija

Atsakymas: x = 77,36 cm

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 98,1·(3,5 − 0,1·4,5) = 299,2 J

Didžiausias suspaudimas

½kx² = 299,2 → x = √(2·299,2/1000) = 0,7736 m = 77,36 cm

Atsakymas

x = 77,36 cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = 1 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (0,5 − 2,5)/(0,5 + 2,5)·3 = −2 m/s

v′₂ = 2·0,5/(0,5 + 2,5)·3 = 1 m/s

Atsakymas

v′₂ = 1 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v₁ = 52,15 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Greitis po susidūrimo

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,7·9,81·22) = 17,38 m/s

Judesio kiekis susidūrimo metu

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2400·17,38/800 = 52,15 m/s

Atsakymas

v₁ = 52,15 m/s

(187,7 km/h)

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: v = 5,676 m/s

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Blokas ir skriemulys

kaladėlė: m·g − T = m·a

skriemulys: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

Pagreitis

a = m·g/(m + M/2) = 11·9,81/(11 + 5,75) = 6,442 m/s²

Greitis po kritimo

v = √(2·a·h) = √(2·6,442·2,5) = 5,676 m/s

Atsakymas

v = 5,676 m/s

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: a = 1,217 m/s²

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Judėjimo lygtys

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0,4·m·r²·(a/r) → f = 0,4·m·a

Pagreitis

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 10°/1,4 = 1,217 m/s²

Atsakymas

a = 1,217 m/s²

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 3,77 kW

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Diržo greitis

v = 12,57 m/s

Galia

P = (600 − 300)·12,57 = 3770 W = 3,77 kW

Atsakymas

P = 3,77 kW

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 8,118 kW

Apkabos kampas

θ = 3,092 rad

Laisvosios šakos įtempimas

e^μθ = e^0,7729 = 2,166, T₂ = 1000/2,166 = 461,7 N

Galia

P = (1000 − 461,7)·15,08 = 8,118 kW

Atsakymas

P = 8,118 kW

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: T = 3,475 s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Švytuoklės periodas

T = 2π·√(3/9,81) = 3,475 s

Atsakymas

T = 3,475 s

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: A = 14,16 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Greitis po smūgio

V = m·v/(m + M) = 0,015·450/1,515 = 4,455 m/s

Kampinis dažnis

ω = √(k/(m + M)) = √(1500/1,515) = 31,47 rad/s

Amplitudė

A = V/ω = 4,455/31,47 = 0,1416 m = 14,16 cm

Atsakymas

A = 14,16 cm

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 2,063 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(100000/500) = 14,14 rad/s

f_n = 14,14/(2π) = 2,251 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,251·√(1 − 0,4²) = 2,063 Hz

Atsakymas

f_d = 2,063 Hz

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 2,437 Hz

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/15 + 1/25 → k_eq = 15·25/(15 + 25) = 9,375 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(9375/40) = 15,31 rad/s

f_n = 15,31/(2π) = 2,437 Hz

Atsakymas

f_n = 2,437 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics