Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

90 km/h greičiu važiuojanti vairuotoja pamato kliūtį. Jos reakcijos laikas 0,5 s, po kurio automobilis stabdo pastoviu 4,5 m/s² lėtėjimu. Raskite visą stabdymo kelią d nuo momento, kai ji pamato kliūtį.

v₀ = 90 km/ht_r = 0,5 sa = −4,5 m/s²

d = m

2.KinematikaSunkus

Raketos modelis paleidžiamas vertikaliai aukštyn iš rimties būsenos. Variklis 3 s suteikia jai pastovų 32 m/s² pagreitį aukštyn, po to variklis išsijungia ir raketa juda laisvai. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią raketos pasiekiamą aukštį h_max.

a = 32 m/s²t₁ = 3 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

6,5 kg ir 2 kg kroviniai kabo abipus lengvo skridinio be trinties, sujungti lengvu siūlu. Sistema paleidžiama be pradinio greičio. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 6,5 kgm₂ = 2 kgg = 9,81 m/s²

T = N

4.Niutono dėsniaiSunkus

Dvi kaladėlės ant lygių grindų sujungtos lengvu horizontaliu siūlu. Horizontali 140 N jėga traukia priekinę 8 kg kaladėlę; 11 kg kaladėlė velkama iš paskos. Abiejų kaladėlių kinetinės trinties koeficientas 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kaladėlių pagreitį a.

m₁ = 11 kgm₂ = 8 kgF = 140 Nμ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 65° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite didžiausią aukštį H, kurį pasiekia kamuolys.

v₀ = 34 m/sθ = 65°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 45° kampu į horizontą nuo 10 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 29 m/sθ = 45°h = 10 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 110 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,7. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 110 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

0,8 kg rutuliukas ant 0,9 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 4 m/s. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T žemiausiame taške.

m = 0,8 kgr = 0,9 mv = 4 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

2 kg kūnas nuslysta 6 m nuokalne, pasvirusia 30° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,3. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 2 kgθ = 30°μ = 0,3d = 6 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

4 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 3,5 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 3 m ilgio juostą (μ = 0,3) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 2500 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite kūno greitį v, kai jis pasiekia spyruoklę.

m = 4 kgh = 3,5 mL = 3 mμ = 0,3k = 2500 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

12 g kulka horizontaliai įšaunama į 3,5 kg medinį tašelį, kabantį ant lengvų siūlų, ir jame įstringa. Tašelis atsilenkia ir pakyla 23 cm aukščiau nei pradžioje. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 12 gM = 3,5 kgh = 23 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,3 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 19 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 6 m/s greičiu. Sąlytis trunka 5 ms. Raskite jėgos impulso, kurį siena suteikia kamuoliui, modulį J.

m = 0,3 kgv_in = 19 m/sv_out = 6 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

Smagratis, kurio inercijos momentas 33,5 kg·m², sukasi 500 rpm. Stabdys sukuria pastovų trinties momentą 55 N·m. Kiek apsisukimų N padaro smagratis, kol sustoja?

I = 33,5 kg·m²n = 500 rpmT_b = 55 N·m

N = rev

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

vientisas cilindras be slydimo rieda nuožulnia plokštuma, pakreipta 30° kampu į horizontalę. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažiausią statinės trinties koeficientą μ_s, kuriam esant jis neslysta.

θ = 30°I = ½·m·r²g = 9,81 m/s²

μ_s =

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

100 mm skriemulys sukasi 1500 rpm ir diržu suka 315 mm skriemulį, slydimas 1 %. Raskite varomojo skriemulio sūkių dažnį n₂.

n₁ = 1500 rpmd₁ = 100 mmd₂ = 315 mms = 1 %

n₂ = rpm

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 100 mm varantįjį skriemulį, sukamą 1450 rpm, su 450 mm skriemuliu; ašys nutolusios 1200 mm. Trinties koeficientas yra 0,35, o įtemptosios šakos įtempimas neturi viršyti 500 N. Raskite didžiausią galią P, kurią diržas gali perduoti neslysdamas, kW (išcentrinių jėgų neįskaitykite).

d₁ = 100 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 450 mmC = 1200 mmμ = 0,35T₁ = 500 N

P = kW

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Matematinės švytuoklės ilgis – 1,3 m. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jos periodą T, kai svyravimai maži.

L = 1,3 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

Kūnas atlieka harmoninius svyravimus, kurių periodas 2,7 s, o amplitudė 7 cm. Per kokį trumpiausią laiką t jis nuo pusiausvyros padėties pasislenka iki 1,75 cm poslinkio?

T = 2,7 sA = 7 cmx = 1,75 cm

t = s

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

2 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 8 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,6. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 2 kgk = 8 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

10 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 15 kN/m, apatinės k₂ = 5 kN/m. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 10 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: d = 81,94 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 90/3,6 = 25 m/s

Reakcijos kelias

d₁ = v₀·t_r = 25·0,5 = 12,5 m

Stabdymo kelias

d₂ = v₀²/(2a) = 25²/(2·4,5) = 69,44 m

Iš viso

d = 12,5 + 69,44 = 81,94 m

Atsakymas

d = 81,94 m

2.Kinematika

Atsakymas: h_max = 613,7 m

Varomoji fazė

v₁ = 32·3 = 96 m/s

h₁ = ½·32·3² = 144 m

Laisvasis skrydis aukštyn

Viršuje greitis lygus nuliui.

Δh = v₁²/(2g) = 96²/(2·9,81) = 469,7 m

h_max = 144 + 469,7 = 613,7 m

Atsakymas

h_max = 613,7 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 30,01 N

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Pagreitis

Varomoji atstojamoji jėga yra svorių skirtumas; ji judina visą masę.

a = (6,5 − 2)·9,81/(6,5 + 2) = 5,194 m/s²

Siūlo įtempimo jėga iš lengvesnio krovinio

T − m₂·g = m₂·a → T = 2·(9,81 + 5,194) = 30,01 N

Atsakymas

T = 30,01 N

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 4,916 m/s²

Visa sistema

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (140 − 46,6)/19 = 4,916 m/s²

Atsakymas

a = 4,916 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 48,4 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 65° = 14,37 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 65° = 30,81 m/s

Aukščiausias taškas

Viršuje vertikalusis greitis lygus nuliui: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 30,81²/(2·9,81) = 48,4 m

Atsakymas

H = 48,4 m

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 94,77 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 29·cos 45° = 20,51 m/s

v_y = v₀·sin θ = 29·sin 45° = 20,51 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 10 + 20,51·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (20,51 + √(420,5 + 196,2))/9,81 = 4,622 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 20,51·4,622 = 94,77 m

Atsakymas

x = 94,77 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 27,48 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·110) = 27,48 m/s

Atsakymas

v_max = 27,48 m/s (98,94 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T = 22,07 N

Jėgos žemiausiame taške

Į centrą (aukštyn) – teigiama kryptis.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,8·9,81 + 0,8·4²/0,9 = 7,848 + 14,22 = 22,07 N

Atsakymas

T = 22,07 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 30,58 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 19,62·0,866 = 16,99 N

F = μN = 0,3·16,99 = 5,097 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 5,097·6 = 30,58 J

Atsakymas

W_f = 30,58 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 7,142 m/s

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 39,24·(3,5 − 0,3·3) = 102 J

Greitis prie spyruoklės

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·2,6) = 7,142 m/s

Atsakymas

v = 7,142 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 621,7 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Atsilenkimas po smūgio

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,23) = 2,124 m/s

Susidūrimas

m·v = (m + M)·V → v = (0,012 + 3,5)·2,124/0,012 = 621,7 m/s

Atsakymas

v = 621,7 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: J = 7,5 N·s

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,3·(6 + 19) = 7,5 N·s

Atsakymas

J = 7,5 N·s

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: N = 132,9 rev

Sukimasis apie nejudamą ašį: momentų ašies atžvilgiu suma lygi I·α (ΣM = I·α), kaip ΣF = m·a slenkamajam judėjimui. Energijos pavidalu sukimo momentas T, pasukęs kampu θ (radianais), atlieka darbą T·θ, kuris keičia kinetinę energiją ½·I·ω²; sunkis prideda arba atima masės centro m·g·Δh. Galia yra P = T·ω.

Kampinis greitis

ω = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

Stabdžio darbas lygus kinetinei energijai

½·I·ω² = ½·33,5·52,36² = 45921 J

θ = 45921/55 = 834,9 rad

Apsisukimai

N = θ/2π = 132,9 rev

Atsakymas

N = 132,9 rev

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: μ_s = 0,1925

Riedėjimas ir judesio kiekio momentas: be slydimo riedančio kūno v = ω·r, todėl jo kinetinė energija yra ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Nuožulnia plokštuma tai duoda a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Kai apie ašį neveikia išorinis momentas, judesio kiekio momentas tos ašies atžvilgiu išlieka pastovus, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, net jei kinetinė energija prarandama.

Judėjimo lygtys

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0,5·m·r²·(a/r) → f = 0,5·m·a

Pagreitis

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 30°/1,5 = 3,27 m/s²

Reikalinga trintis

f = c·m·a ≤ μ·m·g·cos θ → μ ≥ c·tan θ/(1 + c)

μ_s = 0,5·tan 30°/1,5 = 0,1925

Atsakymas

μ_s = 0,1925

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n₂ = 471,4 rpm

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Sūkių dažnis be slydimo

1500·100/315 = 476,2 rpm

Su slydimu

n₂ = 476,2·0,99 = 471,4 rpm

Atsakymas

n₂ = 471,4 rpm

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 2,396 kW

Apkabos kampas

θ = 2,849 rad

Laisvosios šakos įtempimas

e^μθ = e^0,9971 = 2,71, T₂ = 500/2,71 = 184,5 N

Galia

P = (500 − 184,5)·7,592 = 2,396 kW

Atsakymas

P = 2,396 kW

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: T = 2,287 s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Švytuoklės periodas

T = 2π·√(1,3/9,81) = 2,287 s

Atsakymas

T = 2,287 s

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: t = 0,1086 s

Kampinis dažnis

ω = 2π/T = 2π/2,7 = 2,327 rad/s

Išreiškite laiką

0,25 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,25) = 0,2527 rad

t = 0,2527/2,327 = 0,1086 s

Atsakymas

t = 0,1086 s

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 8,053 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(8000/2) = 63,25 rad/s

f_n = 63,25/(2π) = 10,07 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 10,07·√(1 − 0,6²) = 8,053 Hz

Atsakymas

f_d = 8,053 Hz

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 3,082 Hz

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/15 + 1/5 → k_eq = 15·5/(15 + 5) = 3,75 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(3750/10) = 19,36 rad/s

f_n = 19,36/(2π) = 3,082 Hz

Atsakymas

f_n = 3,082 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics