FE Civil egzamino praktika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 30 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Efektinis įtempis grunte

Bendrasis įtempis: σ = Σγ_i·h_i
Porų vandens slėgis: u = γ_w·(z − z_w)
Efektinis įtempis: σ′ = σ − u
Vanduo: γ_w = 9,81 kN/m³

Konsolidacinis nuosėdis

Normaliai konsoliduotas: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Galutinis įtempis: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Perkonsoliduotas, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Perkonsoliduotas, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Perkonsolidavimo laipsnis: OCR = σ′_p/σ′₀
Konsolidacijos trukmė: t = T_v·H_dr²/c_v
Drenavimo kelias: H_dr = H/2 (dvipusis drenavimas), H (vienpusis drenavimas)
Laiko faktoriai: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Hidrostatinė jėga

Slėgis gylyje: p = ρgh
Jėga į vertikalią sieną: F = ρg·h_c·A
Slėgio centras: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Stačiakampis: I_c = bH³/12

Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Reinoldso skaičius: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Tekėjimo režimas: laminarinis, kai Re mažesnis nei ≈ 2000, turbulentinis, kai Re didesnis nei ≈ 4000
Vidutinis greitis: V = Q/A, A = π·D²/4
Darsi–Veisbacho lygtis: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Vietiniai nuostoliai: h_m = ΣK·V²/(2g)
Tipinės K vertės: įtekėjimas 0,5, ištekėjimas 1,0, 90° alkūnė ≈ 0,3
Slėgio kritimas: Δp = ρ·g·h_f
Du atviri rezervuarai: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Laisvas ištekėjimas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Manningo lygtis: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debitas: Q = A·V
Hidraulinis spindulys: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y
Trapecija (šlaito nuolydis z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Apvalus vamzdis, pilnas arba pusiau pilnas: R = D/4
Reikiamas nuolydis: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Siurbliai ir siurblių galia

Hidraulinė galia: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Veleno galia: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrinė galia: P_el = P_shaft/η_motor
Siurblio slėgio aukštis: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Sistemos nuostoliai: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pinigų vertė laike

Būsimoji vertė: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Dabartinė vertė: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Keli periodai per metus: i = r/m, N = m·n
Anuitetas, dabartinė vertė: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitetas, būsimoji vertė: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodas

Nubraižykite laiko ašį su kiekvienu pinigų srautu ir jo laiku.
Palūkanų normą derinkite su laikotarpiu: mėnesinėms įmokoms – mėnesinę normą.
Pavienėms sumoms naudokite FV = PV·(1 + i)ⁿ, o vienodoms įmokoms – anuiteto formules.
Patikrinkite atsakymo ženklą ir eilę.

NPV ir IRR

Grynoji dabartinė vertė: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Vienodi pinigų srautai: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Vidinė grąžos norma: r, kuriai esant NPV = 0
Sprendimas: priimti, kai NPV > 0 (arba IRR > reikalaujama grąža)

Metodas

Išvardykite visus pinigų srautus su jų metais; investicija 0 metais yra neigiama.
Diskontuokite kiekvieną pinigų srautą: CF_t/(1 + r)^t.
Sudėkite juos ir gausite NPV. Teigiama vertė reiškia, kad projektas uždirba daugiau nei r.
IRR raskite bandymų arba interpoliavimo būdu – tai norma, kuriai esant NPV lygi nuliui.

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją R_B.

L = 10 mP₁ = 25 kN ties 1 mP₂ = 15 kN ties 6 m

R_B = kN

2.Sijų atramų reakcijosSunkus

Sudėtinė sija taške A įtvirtinta sienoje, turi vidinį šarnyrą C (3,5 m nuo A) ir remiasi į ritininę atramą D (6 m nuo A). Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 4 m atstumu nuo A. Raskite reakcijos momento sienoje didumą M_A.

AC = 3,5 mAD = 6 mP = 65 kN ties 4 m

M_A = kN·m

3.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Mazgų metodu raskite jėgą F_AB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 6 maukštis = 4 mB yra 2 m nuo Avertikalioji apkrova = 25 kN

F_AB = kN

4.Santvara: mazgų metodasSunkus

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

C: 35 kN ↓D: 10 kN ↓F: 25 kN ↓F: 30 kN →G: 30 kN ↓H: 10 kN ↓

1elementas AB
2elementas BC
3elementas CD
4elementas DE
5elementas FG
6elementas GH
7elementas AF
8elementas HE
9elementas BF
10elementas CG
11elementas DH
12elementas FC
13elementas HC

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

20 kN @ 6 m5 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 1 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 4 mP = 30 kN ties 2 mw = 12 kN/m nuo 0 iki 4 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Sijos įlinkisVidutinis

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite laisvojo galo įlinkį δ.

w = 5 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Sijos įlinkisSunkus

Papildomai atremta gembė įtvirtinta taške A ir laisvai atremta taške B. Tarpatramio viduryje ją veikia sutelktoji jėga P. EI pastovus. Raskite lenkimo momento įtvirtinime didumą M_A.

L = 6 mP = 80 kN ties 3 m

M_A = kN·m

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Ji turi atlaikyti 90 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 90 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (aliuminis)

d = mm

11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

150 mm × 150 mm plokštė turi apvalią 60 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 60 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 150 mmh = 150 mmd = 60 mmskylės centras: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Ketaus sija turi pavaizduotą tėjinį skerspjūvį, lentyna viršuje. Leistinieji įtempiai: 30 MPa tempiant ir 120 MPa gniuždant. Raskite didžiausią neigiamą lenkimo momentą M_allow, kurį sija gali atlaikyti (nurodykite jo didumą).

b_f = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 16 mmh_w = 260 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

13.Efektinis įtempis grunteVidutinis

Pateiktam grunto pjūviui raskite vertikalųjį efektinį įtempį σ′ taške X.

z = 4 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³smėlis: γ_d = 15,5 kN/m³smėlis: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Efektinis įtempis grunteSunkus

Pateiktam grunto pjūviui raskite porų vandens slėgį u taške X.

z = 7 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³smėlis: γ_d = 15,5 kN/m³smėlis: γ_sat = 20 kN/m³molis: γ_sat = 19 kN/m³

u = kPa

15.Konsolidacinis nuosėdisVidutinis

5 m storio perkonsoliduoto molio sluoksnio C_c = 0,45, C_r = 0,03 ir e₀ = 0,7. Jo viduryje efektyvusis vertikalusis įtempis yra 105 kPa , o prieškonsolidacinis slėgis yra 175 kPa. Naujas pastatas sluoksnio viduryje padidina vertikalųjį įtempį 200 kPa. Raskite pirminės konsolidacijos nuosėdį S mm.

H = 5 mC_c = 0,45C_r = 0,03e₀ = 0,7σ′₀ = 105 kPaσ′_p = 175 kPaΔσ = 200 kPa

S = mm

16.Konsolidacinis nuosėdisSunkus

Laboratoriniame odometriniame bandyme 20 mm storio molio bandinys, drenuojamas viršuje ir apačioje, 50% konsolidaciją pasiekia per 4 min. Natūroje tas pats molis sudaro 8,5 m storio sluoksnį. Jis yra tarp dviejų smėlio sluoksnių, todėl vanduo išteka viršuje ir apačioje. Per kiek dienų t natūrinis sluoksnis pasieks 50% konsolidaciją?

h_lab = 20 mmt_lab = 4 minH = 8,5 mnatūroje: dvipusis drenavimas

t = dienos

17.Hidrostatinė jėgaVidutinis

Vertikali stačiakampė 2 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (vanduo) sienoje, jos viršutinis kraštas 1,5 m žemiau paviršiaus. Raskite atstojamąją hidrostatinę jėgą F, veikiančią sklendę.

d = 1,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Hidrostatinė jėgaSunkus

Vertikali stačiakampė 1 m pločio sklendė yra rezervuaro su skysčiu (glicerinas) sienoje, jos viršutinis kraštas 4 m žemiau paviršiaus. Raskite slėgio centro gylį y_cp žemiau paviršiaus.

d = 4 mH = 3 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiVidutinis

Vanduo (ρ = 1000 kg/m³) teka 1,7 m/s greičiu horizontaliu 50 m ilgio vamzdžiu, kurio vidinis skersmuo 100 mm. Imkite Darsi trinties koeficientą f = 0,015 ir g = 9,81 m/s². Raskite slėgio kritimą Δp vamzdyje, kPa.

V = 1,7 m/sL = 50 mD = 100 mmf = 0,015ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliaiSunkus

100 m ilgio vamzdis, kurio vidinis skersmuo 250 mm (Darsi trinties koeficientas f = 0,022), išeina iš atviro rezervuaro ir laisva čiurkšle išteka į orą. Vietiniai nuostoliai: aštriabriaunis įtekėjimas (K = 0,5), 3 alkūnės (K = 0,3 kiekviena) ir sklendė (K = 5). Imkite g = 9,81 m/s². Kiek aukščiau H už vamzdžio galą turi būti rezervuaro paviršius, kad debitas būtų 50 L/s?

Q = 50 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5

H = m

21.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Vidutinis

Stačiakampis lygintas betonas kanalas yra 3 m pločio. Vanduo teka tolygiai 0,8 m gylyje. Manningo n = 0,012, dugno nuolydis S = 0,003. Raskite debitą Q m³/s.

b = 3 my = 0,8 mn = 0,012S = 0,003

Q = m³/s

22.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)Sunkus

Trapecinis žvyras kanalas, kurio dugno plotis 6 m, o šlaitų nuolydis 3:1 (horizontalusis:vertikalusis), turi praleisti 45 m³/s tolygiu tekėjimu 1,5 m gylyje. Manningo n = 0,025. Raskite reikiamą dugno nuolydį S (m/m).

Q = 45 m³/sb = 6 my = 1,5 mz = 3n = 0,025

S = m/m

23.Siurbliai ir siurblių galiaVidutinis

Siurblys, kurio naudingumo koeficientas 60%, tiekia 150 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³), įveikdamas 42 m slėgio aukštį. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite reikiamą veleno galią P_shaft kW.

Q = 150 L/sH = 42 mη = 60%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Siurbliai ir siurblių galiaSunkus

Siurblys perpumpuoja 120 L/s vandens (ρ = 1000 kg/m³) iš atviro žemutinio rezervuaro į viršutinį baką, kurio vandens paviršius 5 m aukščiau. Vamzdis yra 150 m ilgio, jo vidinis skersmuo 250 mm, o Darsi trinties koeficientas f = 0,015; vietinių nuostolių koeficientų suma ΣK = 2 (įskaitant įtekėjimą ir ištekėjimą). Imkite g = 9,81 m/s². Siurblio naudingumo koeficientas 65%. Raskite veleno galią P_shaft kW.

Q = 120 L/sΔz = 5 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 2η = 65%

P_shaft = kW

25.Pinigų vertė laikeVidutinis

Investuojate €3 000 esant 3 % nominaliajai metinei palūkanų normai, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Raskite investicijos vertę FV po 3 metų.

PV = €3 0003% / 4n = 3

FV = €

26.Pinigų vertė laikeSunkus

€150 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 30 metų, esant 4,2% metinei normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek palūkanų I iš viso sumokama per visą paskolos laikotarpį?

P = €150 0004,2% / 12N = 360

I = €

27.NPV ir IRRVidutinis

Projektas šiandien kainuoja €20 000 ir 1–4 metų pabaigoje grąžina po €8 500, €8 000, €9 000, €9 000. Kapitalo kaina 6 %. Laikykite, kad pinigai per kiekvienus metus gaunami tolygiai. Raskite diskontuotąjį atsipirkimo laikotarpį DPB metais.

r = 6%CF₀ = −20 000CF₁ = 8 500CF₂ = 8 000CF₃ = 9 000CF₄ = 9 000

DPB = metai

28.NPV ir IRRSunkus

Projektas šiandien kainuoja €200 000. Jo pinigų srautas 1-ųjų metų pabaigoje yra €60 000 ir auga 5 % per metus iki paskutinio pinigų srauto 4-ųjų metų pabaigoje. Kapitalo kaina 8 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.

C₀ = €200 000CF₁ = €60 000g = 5%n = 4r = 8%

NPV = €

29.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,7673. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,7673

z =

30.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 10 % reikšmių (10-asis procentilis).

μ = 32σ = 6P = 10%

x = min

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_B = 11,5 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 25·1 + 15·6

R_B = 115/10 = 11,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 11,5 = 28,5 kN

Atsakymas

R_B = 11,5 kN

2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: M_A = 182 kN·m

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties. Vidinis šarnyras negali perduoti lenkimo momento, todėl gaunama viena papildoma lygtis: bet kurios pusės jėgų momentas šarnyro atžvilgiu lygus nuliui.

Dalis CD

Šarnyre momento nėra, todėl vien dalies CD momentai taško C atžvilgiu turi būti pusiausviri.

ΣM_C = 0: R_D·2,5 = 65·0,5

R_D = 13 kN

V_C = 65 − 13 = 52 kN

Dalis AC

Šarnyro jėga V_C dalį AC veikia žemyn (lygi ir priešinga jos poveikiui daliai CD).

R_A = 52 = 52 kN

M_A = 52·3,5 = 182 kN·m

Atsakymas

M_A = 182 kN·m

3.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AB = −18,63 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 25·2 → C_y = 8,333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 8,333 = 16,67 kN

Mazgas A

Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.

sin α = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −16,67/0,8944 = −18,63 kN

Atsakymas

F_AB = −18,63 kN (gniuždymas)

4.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas BF

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas B

AB ir BC yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 78,75 kN (T), BC: 78,75 kN (T), CD: 61,25 kN (T), DE: 61,25 kN (T), FG: 102,5 kN (C), GH: 102,5 kN (C), AF: 68,94 kN (C), HE: 86,62 kN (C), BF: 0, CG: 30 kN (C), DH: 10 kN (T), FC: 33,59 kN (T), HC: 58,34 kN (T)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: BF

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: D (x = 6 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 40 kN, R₂ = 40 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 70, M_C = 120, M_D = 150 kN·m, M_E = 120, M_F = 70, M_G = 0

Atsakymas

Žymė D: M_D = 150 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 33 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, veikianti taške x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·2 + 12·4·2

R_B = 156/4 = 39 kN

ΣF_y = 0: R_A = 78 − 39 = 39 kN

Perpjaukite ties x = 1 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 39·1 − 12·1·0,5 = 33 kN·m

Atsakymas

M_x = 33 kN·m

7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 27,21 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 4000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Įlinkis

δ = wL⁴/(8EI) = 5·4000⁴/(8·5,88 × 10¹²) = 27,21 mm

Atsakymas

δ = 27,21 mm

8.Sijos įlinkis

Atsakymas: M_A = 90 kN·m

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija). Statiškai neišsprendžiamoje sijoje pašalinkite perteklinę atramą ir pareikalaukite, kad įlinkis toje vietoje būtų lygus nuliui (suderinamumas).

Pašalinkite papildomą atramą

Be papildomos atramos sija yra gembė. Jos laisvasis galas įlinktų nuo apkrovos.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Suderinamumas ties papildoma atrama

Vien papildomos atramos jėga R_B pakelia laisvąjį galą dydžiu R_BL³/(3EI). Atrama išlaiko B nulinį įlinkį, todėl abu dydžiai turi vienas kitą panaikinti. EI susiprastina.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·80/16 = 25 kN

Momentas įtvirtinime

Apkrovų ir papildomos atramos jėgos momentai taško A atžvilgiu.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 240 − 150 = 90 kN·m

Atsakymas

M_A = 90 kN·m

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 143,2 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/2100² = 143232 N = 143,2 kN

Atsakymas

P_cr = 143,2 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 96 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2·90000 = 180000 N

KL = 2·2000 = 4000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·4000²/(π³·70000))^(1/4) = 96 mm

Atsakymas

d = 96 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 166,7, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 40,82 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio I_c = bh³/12, o skritulio I_c = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (22500·75 − 2827·60)/(22500 − 2827) = 77,16 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

150·150³/12 + 22500·−2,156² = 42,29 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

π·60⁴/64 + 2827·−17,16² = 1,468 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 40,82 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 40,82 × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: M_allow = 30,32 kN·m

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Svorio centras

ȳ = (5600·270 + 4160·130)/9760 = 210,3 mm

viršutinė kraštinė: c = 280 − 210,3 = 69,67 mm

Inercijos momentas

I = 280·20³/12 + 5600·59,67² + 16·260³/12 + 4160·80,33² = 7,04 × 10⁷ mm⁴

Kiekvienos kraštinės leidžiamas momentas

Neigiamas lenkimas: viršus tempiamas, apačia gniuždoma.

viršutinė kraštinė: M = 30·7,04 × 10⁷/69,67 = 30,32 kN·m

apatinė kraštinė: M = 120·7,04 × 10⁷/210,3 = 40,17 kN·m

Lemiamoji reikšmė

M_allow = min = 30,32 kN·m (viršutinė kraštinė)

Atsakymas

M_allow = 30,32 kN·m

13.Efektinis įtempis grunte

Atsakymas: σ′ = 55,19 kPa

Efektinis įtempis (Terzaghi): grunto skeletas perima σ′ = σ − u. Bendrasis įtempis σ yra visko, kas yra virš taško, svoris Σγ·h, virš gruntinio vandens lygio naudojant sauso, o žemiau – vandens prisotinto grunto savitąjį svorį. Žemiau gruntinio vandens lygio porų vandens slėgis hidrostatinis: u = γ_w·(gylis žemiau gruntinio vandens lygio).

Bendrasis įtempis

Sudėkite kiekvieno grunto sluoksnio virš X svorį. Virš gruntinio vandens lygio naudokite sauso, žemiau – prisotinto grunto savitąjį svorį.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15,5·3 + 18,5·1 = 65 kPa

Porų vandens slėgis

Vandens slėgis didėja su gyliu žemiau gruntinio vandens lygio.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·1 = 9,81 kPa

Efektinis įtempis

σ′ = σ − u = 65 − 9,81 = 55,19 kPa

Atsakymas

σ′ = 55,19 kPa

14.Efektinis įtempis grunte

Atsakymas: u = 29,43 kPa

Porų vandens slėgis

Vandens slėgis didėja su gyliu žemiau gruntinio vandens lygio.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·3 = 29,43 kPa

Atsakymas

u = 29,43 kPa

15.Konsolidacinis nuosėdis

Atsakymas: S = 338,9 mm

Pirminė konsolidacija H storio molio sluoksnio, naudojant efektyvųjį įtempį sluoksnio viduryje: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Normaliai konsoliduotas molis: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Perkonsoliduotas molis iki prieškonsolidacinio slėgio σ′_p pakartotinai spaudžiamas pagal C_r, o C_c tiese seka tik už jo. Laikas: t = T_v·H_dr²/c_v, kur drenavimo kelias H_dr yra H/2, kai vanduo gali ištekėti viršuje ir apačioje, ir H, kai drenuojama tik viena pusė.

Palyginkite su prieškonsolidaciniu slėgiu

σ′_f = 105 + 200 = 305 kPa > 175 kPa

Nuosėdis

Pakartotinis spaudimas iki σ′_p, pirminis spaudimas už jo.

S = 0,03·5/(1 + 0,7)·log₁₀(175/105) + 0,45·5/(1 + 0,7)·log₁₀(305/175)

S = 19,57 + 319,3 = 338,9 mm

Atsakymas

S = 338,9 mm

16.Konsolidacinis nuosėdis

Atsakymas: t = 501,7 dienos

Drenavimo keliai

H_dr,lab = 20/2 = 10 mm = 0,01 m

H_dr,field = 8,5/2 = 4,25 m

Perskaičiuokite laiką

t = T_v·H_dr²/c_v, kai T_v ir c_v laboratorijoje ir natūroje vienodi.

t_field = 4·(4,25/0,01)² = 722500 min

t_field = 722500/1440 = 501,7 dienos

Atsakymas

t = 501,7 dienos

17.Hidrostatinė jėga

Atsakymas: F = 39,24 kN

Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·y_c·A. Ji veikia slėgio centre, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), kuris visada yra žemiau svorio centro.

Svorio centro gylis ir plotas

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Atstojamoji jėga

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·2 = 39,24 kN

Atsakymas

F = 39,24 kN

18.Hidrostatinė jėga

Atsakymas: y_cp = 5,636 m

Hidrostatinė jėga plokščiam paviršiui: F = ρ·g·y_c·A. Ji veikia slėgio centre, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), kuris visada yra žemiau svorio centro.

Svorio centro gylis ir plotas

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Atstojamoji jėga

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·5,5·3 = 203,9 kN

Slėgio centras

Slėgis didėja su gyliu, todėl atstojamoji veikia žemiau svorio centro.

I_c = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2,25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5,5 + 2,25/(5,5·3) = 5,636 m

Atsakymas

y_cp = 5,636 m

19.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Atsakymas: Δp = 10,84 kPa

Tekėjimas vamzdžiais: Reinoldso skaičius Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ leidžia atskirti laminarinį tekėjimą (Re mažesnis nei apie 2000) nuo turbulentinio (didesnis nei apie 4000). Trintis išilgai vamzdžio sukelia Darsi–Veisbacho slėgio aukščio nuostolius h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Jungiamosios detalės, sklendės, įtekėjimas ir ištekėjimas prideda vietinius nuostolius h_m = ΣK·V²/(2g). Tarp dviejų atvirų rezervuarų paviršių energijos lygtis duoda Δz = h_f + h_m, įskaitant ištekėjimo nuostolį K = 1.

Slėgio aukščio nuostoliai

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(50/0,1)·1,7²/(2·9,81) = 1,105 m

Slėgio kritimas

Vamzdis horizontalus, o greitis nekinta, todėl energijos lygtis supaprastėja iki Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·1,105 = 10837 Pa = 10,84 kPa

Atsakymas

Δp = 10,84 kPa

20.Trintis vamzdžiuose ir slėgio nuostoliai

Atsakymas: H = 0,8567 m

Greitis

V = Q/A = 0,05/0,04909 = 1,019 m/s

V²/(2g) = 0,05288 m

Nuostolių koeficientai

f·L/D = 0,022·100/0,25 = 8,8

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 = 6,4

Energijos lygtis

Ištekanti čiurkšlė vis dar turi greitinį aukštį; tai ne nuostolis, bet jį reikia suteikti.

H = (1 + 8,8 + 6,4)·0,05288 = 0,8567 m

Atsakymas

H = 0,8567 m

21.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Atsakymas: Q = 7,099 m³/s

Manningo lygtis (SI): tolygiam tekėjimui atvirame kanale V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 ir Q = A·V, kur n – šiurkštumo koeficientas, S – dugno nuolydis (m/m), o R = A/P – hidraulinis spindulys: pratekėjimo plotas, padalytas iš drėkinamojo perimetro. P įskaitoma tik su vandeniu besiliečianti riba, o ne laisvasis paviršius. Stačiakampis: A = b·y, P = b + 2y. Trapecija su šlaitų nuolydžiu z:1 (horizontalusis:vertikalusis): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pilno arba pusiau pilno apvalaus vamzdžio R = D/4.

Geometrija

A = b·y = 3·0,8 = 2,4 m²

P = b + 2y = 3 + 2·0,8 = 4,6 m

R = A/P = 0,5217 m

Greitis

V = (1/0,012)·0,5217^2/3·0,003^1/2 = 2,958 m/s

Debitas

Q = A·V = 2,4·2,958 = 7,099 m³/s

Atsakymas

Q = 7,099 m³/s

22.Tekėjimas atvirais kanalais (Manningas)

Atsakymas: S = 0,004989 m/m

Geometrija

A = (b + z·y)·y = (6 + 3·1,5)·1,5 = 15,75 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·1,5·√(1 + 3²) = 15,49 m

R = A/P = 1,017 m

Išspręskite Manningo lygtį S atžvilgiu

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·45/(15,75·1,011) = 0,07063

S = 0,07063² = 0,004989

Atsakymas

S = 0,004989

Tai 4,989 m kritimas kiekviename kilometre.

23.Siurbliai ir siurblių galia

Atsakymas: P_shaft = 103 kW

Siurblio galia: vandeniui perduodama galia yra hidraulinė galia P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Velenas turi perduoti daugiau, nes siurblyje dalis galios prarandama: P_shaft = P_h/η_pump, o variklis ima P_el = P_shaft/η_motor. Siurblio slėgio aukštis H gaunamas iš energijos lygties: geometrinis pakėlimo aukštis + pjezometrinis aukštis + visi trinties ir vietiniai nuostoliai.

Hidraulinė galia

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·42 = 61,8 kW

Veleno galia

P_shaft = P_h/η = 61,8/0,6 = 103 kW

Atsakymas

P_shaft = 103 kW

24.Siurbliai ir siurblių galia

Atsakymas: P_shaft = 15,12 kW

Greitis

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Slėgio aukščio nuostoliai

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (9 + 2)·0,3046 = 3,351 m

Siurblio slėgio aukštis

H = Δz + h_L = 5 + 3,351 = 8,351 m

Veleno galia

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,12·8,351/0,65 = 15,12 kW

Atsakymas

P_shaft = 15,12 kW

25.Pinigų vertė laike

Atsakymas: FV = 3281 €

Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)ⁿ. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.

Norma ir laikotarpių skaičius

i = r/m = 0,03/4 = 0,0075

N = m·n = 4·3 = 12

Būsimoji vertė

FV = 3 000·(1 + 0,0075)¹² = 3 000·1,094 = €3 281,42

Atsakymas

FV = €3 281,42

26.Pinigų vertė laike

Atsakymas: I = 114069 €

Mėnesinė įmoka

i = 0,0035, N = 360

A = 150 000·0,0035/(1 − (1 + 0,0035)⁻³⁶⁰) = €733,53

Iš viso palūkanų

I = N·A − P = 360·733,5 − 150 000 = €114 069,27

Atsakymas

I = €114 069,27

27.NPV ir IRR

Atsakymas: DPB = 2,643 metai

Atsipirkimo laikotarpis: laikas, per kurį sukauptieji pinigų srautai padengia pradinę investiciją. Laikoma, kad pinigai kiekvienais metais gaunami tolygiai, todėl paskutinė dalis yra metų dalis. Paprastasis atsipirkimo laikotarpis neatsižvelgia į pinigų vertę laike; diskontuotasis atsipirkimo laikotarpis vietoj to naudoja diskontuotus pinigų srautus.

Diskontuoti ir sukauptieji pinigų srautai

metai 1: 8 500/1,06 = 8 018,87 → Σ = 8 018,87

metai 2: 8 000/1,124 = 7 119,97 → Σ = 15 138,84

metai 3: 9 000/1,191 = 7 556,57 → Σ = 22 695,41

Paskutiniųjų metų dalis

DPB = 2 + 4 861,16/7 556,57 = 2,643

Atsakymas

DPB = 2,643 metai

Diskontuotasis atsipirkimo laikotarpis visada ilgesnis už paprastąjį (2,389 metų).

28.NPV ir IRR

Atsakymas: NPV = 13133 €

Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.

Augančio anuiteto dabartinė vertė

((1,05)/(1,08))⁴ = 0,8934

PV = 60 000/(0,08 − 0,05)·(1 − 0,8934) = 213 133,24

NPV

NPV = 213 133,24 − 200 000 = €13 133,24

Atsakymas

NPV = €13 133,24

NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.

29.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = −0,73

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = 1 − 0,7673 = 0,2327

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,2327 ir nuskaitykite z.

z = −0,73

Atsakymas

z = −0,73

30.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 24,31 min

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Atgal į x

x = 32 + −1,282·6 = 24,31 min

Atsakymas

x = 24,31 min

Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. FE exam egzaminą rengia NCEES, kuri nėra susijusi su ExamProblems ir jo neremia.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil