Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite strypo (plienas) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 45 kNd = 16 mmL = 3 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas atkarpa (skersmuo 40 mm, ilgis 400 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš bronza (skersmuo 50 mm, ilgis 200 mm, E = 110 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 80 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ₂.

1 atkarpa: plienas, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: bronza, Ø50 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Velenų sukimasVidutinis

Tuščiaviduris velenas (žalvaris; išorinis skersmuo 40 mm, vidinis skersmuo 28 mm, ilgis 0,5 m) viename gale įtvirtintas, o kitame sukamas 2000 N·m sukimo momentu. Raskite sukimo kampą φ laipsniais.

T = 2000 N·md_o = 40 mmd_i = 28 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas perduoda 20 kW esant 300 aps./min. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

P = 20 kWN = 300 rpmd_o = 60 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Gembė įtvirtinta taške A. Ją visu ilgiu veikia tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktoji jėga P, esanti 2,5 m atstumu nuo A. Raskite lenkimo momentą M_A įtvirtinime A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 2,5 mP = 70 kN ties 2,5 mw = 8 kN/m nuo 0 iki 2,5 m

M_A = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Sija remiasi į šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, o už B tęsiasi 2 m ilgio konsolė iki laisvojo galo C. Visą ilgį A–C veikia tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią teigiamą lenkimo momentą M_max tarp atramų.

L = 8 mw = 6 kN/m nuo 0 iki 8 matramos ties x = 0 ir x = 6 m

M_max = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

200 mm × 240 mm plokštė turi apvalią 30 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 156 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 200 mmh = 240 mmd = 30 mmskylės centras: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Simetriško dvitėjo skerspjūvio lentynos yra 150 mm pločio ir 20 mm storio, bendrasis aukštis 260 mm, o sienelės storis 6 mm. Jį veikia 120 kN·m lenkimo momentas ašies x atžvilgiu. Raskite lenkimo įtempio didumą σ_j sienelės ir viršutinės lentynos sandūroje.

B = 150 mmH = 260 mmt_f = 20 mmt_w = 6 mmM = 120 kN·m

σ_j = MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 20 MPa, σᵧ = 110 MPa ir τₓᵧ = 10 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_s tarp −90° ir 90° nuo x ašies iki plokštumos, kurioje tangentinis įtempis pasiekia didžiausią teigiamą vertę +R, normalės (tangentinis įtempis teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σ_x = 20 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_s = °

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 60 MPa, σᵧ = 110 MPa ir τₓᵧ = 60 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 20° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = 60 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite laisvojo galo įlinkį δ.

w = 4 kN/mL = 1,5 mE = 200 GPa (plienas)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta dviem vienodomis sutelktosiomis jėgomis P trečdalio taškuose (L/3 nuo kiekvienos atramos). Taikydami superpoziciją, raskite įlinkį tarpatramio viduryje δ_max.

P = 11 kNL = 5 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (plienas)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 3 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 3,357 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 45·1000/201,1 = 223,8 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for plienas = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 223,8/200000 = 0,001119 = 1119 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,001119·3000 mm = 3,357 mm

Atsakymas

δ = 3,357 mm

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ₂ = 25,76 MPa

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Standumai

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm

k₂ = 110000·1963/200 = 1,08 × 10⁶ N/mm

2 atkarpos dalis

F₂ = 80000·1,08 × 10⁶/1,708 × 10⁶ = 50575 N

Įtempis

σ₂ = 50575/1963 = 25,76 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ₂ = 25,76 MPa

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 7,692 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴

Sukimo kampas

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·500/(39000·190984) = 0,1343 rad

φ = 0,1343·180/π = 7,692°

Atsakymas

φ = 7,692°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 16,01 MPa

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 20000/31,42 = 636,6 N·m

Polinis inercijos momentas

J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1,193 × 10⁶ mm⁴

Didžiausias tangentinis įtempis

τ_max = T·(d_o/2)/J = 636620·30/1,193 × 10⁶ = 16,01 MPa

Atsakymas

τ_max = 16,01 MPa

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_A = −200 kN·m

Palikite dalį su laisvuoju galu

P: −70·2,5 = −175 kN·m

w: −8·2,5²/2 = −25 kN·m

M_A = −175 − 25 = −200 kN·m

Atsakymas

M_A = −200 kN·m

Neigiamas reiškia neigiamą lenkimą: tempiami viršutiniai sluoksniai.

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_max = 21,33 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra, įskaitant konsolės apkrovą.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, veikianti taške x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·8·4

R_B = 192/6 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 32 = 16 kN

Nulinė skersinė jėga

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 16/6 = 2,667 m

Didžiausias teigiamas momentas

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 16²/(2·6) = 21,33 kN·m

Atsakymas

M_max = 21,33 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 229,4 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio I_c = bh³/12, o skritulio I_c = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (48000·120 − 706,9·156)/(48000 − 706,9) = 119,5 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

200·240³/12 + 48000·0,5381² = 230,4 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

π·30⁴/64 + 706,9·36,54² = 0,9834 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 229,4 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 229,4 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_j = 143,6 MPa

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Išorinis stačiakampis atėmus dvi šonines išpjovas

Abi išpjovos kartu yra (B − t_w) pločio ir h_w = H − 2t_f aukščio, o jų ašis ta pati – x.

h_w = 260 − 2·20 = 220 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (150·260³ − 144·220³)/12

I_x = 9,192 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

y = 130 − 20 = 110 mm

σ = M·y/I = 1,2 × 10⁸·110/9,192 × 10⁷ = 143,6 MPa

Atsakymas

σ_j = 143,6 MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_s = 38,74 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Kampas apskritime

Moro apskritime viršutinis taškas (+R) nuo pagrindinio taško σ₁ nutolęs 90°; elemente tai atitinka 45°.

cos 2θ_s = 10/46,1 = 0,2169, sin 2θ_s = −(−45)/46,1 = 0,9762

2θ_s = atan2(45, 10) = 77,47°

Kampas elemente

θ_s = 38,74°

patikra: θ_s − θ_p = 38,74 − 83,74 = −45°

Atsakymas

θ_s = 38,74°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = 104,4 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = 85 + −25·0,766 + 60·0,6428 = 104,4 MPa

Atsakymas

σ_θ = 104,4 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 1,489 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 1500 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Įlinkis

δ = wL⁴/(8EI) = 4·1500⁴/(8·1,7 × 10¹²) = 1,489 mm

Atsakymas

δ = 1,489 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 5,81 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 11000 N, L = 5000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Viena apkrova taške L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1667 mm

δ₁ = 2,905 mm

Sudėkite abi apkrovas

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 5,81 mm

Atsakymas

δ_max = 5,81 mm

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 19,62 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·4000 = 8000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/8000² = 19621 N = 19,62 kN

Atsakymas

P_cr = 19,62 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 62,66 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/20 = 105

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/105² = 62,66 MPa

Atsakymas

σ_cr = 62,66 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials