Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite strypo (plienas) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 65 kNd = 10 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas atkarpa (skersmuo 25 mm, ilgis 600 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš varis (skersmuo 40 mm, ilgis 300 mm, E = 120 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 80 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ₂.

1 atkarpa: plienas, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: varis, Ø40 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (žalvaris) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 400 N·md = 40 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas perduoda 75 kW esant 1000 aps./min. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

P = 75 kWN = 1000 rpmd_o = 75 mmd_i = 56 mm

τ_max = MPa

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 2,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 5 mw = 6 kN/m nuo 0 iki 5 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

15 kN @ 0 m55 kN @ 12 m45 kN @ 6 m5 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

120 mm × 150 mm plokštė turi apvalią 40 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 60 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 120 mmh = 150 mmd = 40 mmskylės centras: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

200 mm × 240 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 40 mm pločio ir 40 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 156 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 200 mmh = 240 mmiškirpimas: 40 × 40 mmskylės centras: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = −30 MPa ir σᵧ = 10 MPa. Kokio didumo gali būti tangentinis įtempis τ_xy, kol didžiausias pagrindinis įtempis pasieks 20 MPa?

σ_x = −30 MPaσ_y = 10 MPaσ₁ = 20 MPa

τ_xy = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Pilnaviduris 25 mm skersmens velenas perduoda 40 kN ašinę tempimo jėgą kartu su 200 N·m sukimo momentu. Veleno paviršiuje raskite didžiausią pagrindinį įtempį σ₁.

d = 25 mmF = 40 kNT = 200 N·m

σ₁ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią įlinkį δ_max tarpatramio viduryje.

w = 20 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta sutelktąja jėga P, esančia b = 1 m atstumu nuo atramos B. Raskite didžiausią sijos įlinkį δ_max.

P = 19 kNb = 1 mL = 5 mE = 200 GPa (plienas)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (plienas)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 2,069 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 65·1000/78,54 = 827,6 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for plienas = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 827,6/200000 = 0,004138 = 4138 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,004138·500 mm = 2,069 mm

Atsakymas

δ = 2,069 mm

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ₂ = 48,03 MPa

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Standumai

k₁ = 200000·490,9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 120000·1257/300 = 502655 N/mm

2 atkarpos dalis

F₂ = 80000·502655/666279 = 60354 N

Įtempis

σ₂ = 60354/1257 = 48,03 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ₂ = 48,03 MPa

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 5,845 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 400·1000·2500/(39000·251327) = 0,102 rad

φ = 0,102·180/π = 5,845°

Atsakymas

φ = 5,845°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 12,55 MPa

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 75000/104,7 = 716,2 N·m

Polinis inercijos momentas

J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2,141 × 10⁶ mm⁴

Didžiausias tangentinis įtempis

τ_max = T·(d_o/2)/J = 716197·37,5/2,141 × 10⁶ = 12,55 MPa

Atsakymas

τ_max = 12,55 MPa

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 18,75 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, veikianti taške x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·5·2,5

R_B = 75/5 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Perpjaukite ties x = 2,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 15·2,5 − 6·2,5·1,25 = 18,75 kN·m

Atsakymas

M_x = 18,75 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: F (x = 10 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 47,5 kN, R₂ = 107,5 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = −30, M_C = 25, M_D = 60, M_E = −15, M_F = −110 kN·m, M_G = 0

Atsakymas

Žymė F: M_F = −110 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 33,32 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio I_c = bh³/12, o skritulio I_c = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (18000·75 − 1257·60)/(18000 − 1257) = 76,13 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

120·150³/12 + 18000·−1,126² = 33,77 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

π·40⁴/64 + 1257·−16,13² = 0,4524 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 33,32 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 33,32 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 228 × 10⁶ mm⁴

Svorio centras

ȳ = (48000·120 − 1600·156)/(48000 − 1600) = 118,8 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

200·240³/12 + 48000·1,241² = 230,5 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

40·40³/12 + 1600·37,24² = 2,432 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 228 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 228 × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_xy = 22,36 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Reikiamas spindulys

C = (−30 + 10)/2 = −10 MPa

R = σ₁ − C = 20 − (−10) = 30 MPa

Tangentinis įtempis

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(30² − 20²) = 22,36 MPa

Atsakymas

τ_xy = 22,36 MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ₁ = 117,6 MPa

Įtempiai paviršiuje

σ = F/A = 40000/(π·25²/4) = 40000/490,9 = 81,49 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·25³) = 65,19 MPa

Moro apskritimas

C = σ/2 = 40,74 MPa

R = √(40,74² + 65,19²) = 76,87 MPa

σ₁ = C + R = 117,6 MPa

σ₂ = C − R = −36,13 MPa

Atsakymas

σ₁ = 117,6 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 16,47 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2000 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Įlinkis

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2000⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 16,47 mm

Atsakymas

δ_max = 16,47 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 16,86 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 19000 N, b = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Maksimumo vieta

Prilyginus ilgesniojo ruožo posūkio kampą nuliui, gaunama vieta.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1000²)/3) = 2828 mm

Didžiausias įlinkis

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 16,86 mm

Atsakymas

δ_max = 16,86 mm

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 27,56 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/750² = 27561 N = 27,56 kN

Atsakymas

P_cr = 27,56 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 11,05 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/10 = 250

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/250² = 11,05 MPa

Atsakymas

σ_cr = 11,05 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials