Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite ašinę deformaciją ε strype (aliuminis) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 45 kNd = 30 mmL = 2 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 15 kN1 ruožas: Ø40 mm, 1 m, varis (E = 117 GPa)2 ruožas: Ø20 mm, 1,5 m, aliuminis (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Velenų sukimasVidutinis

Tuščiaviduris velenas turi perduoti 400 N·m sukimo momentą. Jo vidinio ir išorinio skersmenų santykis turi būti 0,8, o tangentinis įtempis negali viršyti 75 MPa. Raskite mažiausią išorinį skersmenį d_o.

T = 400 N·md_i/d_o = 0,8τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas turi perduoti 15 kW esant 750 aps./min, o tangentinis įtempis negali viršyti 60 MPa. Raskite mažiausią tinkamą skersmenį d.

P = 15 kWN = 750 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 6,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 8 mw = 2 kN/m nuo 0 iki 8 mx = 6,5 m

M_x = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

30 kN @ 0 m50 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

120 mm × 200 mm plokštė turi apvalią 40 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 70 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 120 mmh = 200 mmd = 40 mmskylės centras: y = 70 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Ketaus sija turi pavaizduotą tėjinį skerspjūvį, lentyna viršuje. Leistinieji įtempiai: 40 MPa tempiant ir 150 MPa gniuždant. Raskite didžiausią neigiamą lenkimo momentą M_allow, kurį sija gali atlaikyti (nurodykite jo didumą).

b_f = 220 mmt_f = 20 mmt_w = 16 mmh_w = 220 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 60 MPa, σᵧ = −30 MPa ir τₓᵧ = −10 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_s tarp −90° ir 90° nuo x ašies iki plokštumos, kurioje tangentinis įtempis pasiekia didžiausią teigiamą vertę +R, normalės (tangentinis įtempis teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σ_x = 60 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_s = °

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 10 MPa, σᵧ = 80 MPa ir τₓᵧ = −40 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 30° pagal laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = 10 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −40 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią įlinkį δ_max tarpatramio viduryje.

w = 2 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (plienas)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Papildomai atremta gembė įtvirtinta taške A ir laisvai atremta taške B. Tarpatramio viduryje ją veikia sutelktoji jėga P. EI pastovus. Raskite papildomos atramos reakciją R_B.

L = 3 mP = 55 kN ties 1,5 m

R_B = kN

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 2 mE = 200 GPa (plienas)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 909,5 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 45·1000/706,9 = 63,66 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for aliuminis = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 63,66/70000 = 0,0009095 = 909,5 µε

Atsakymas

ε = 909,5 µε

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 1,125 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 11,94 MPa

σ₂ = 47,75 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 11,94·1000/117000 = 0,102 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 47,75·1500/70000 = 1,023 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,125 mm

Atsakymas

δ = 1,125 mm

3.Velenų sukimas

Atsakymas: d_o = 35,83 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Išorinis skersmuo iš leistinojo įtempio

T = 400 N·m = 400000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·400000/(π·75·0,5904)) = 35,83 mm

d_i = 0,8·35,83 = 28,67 mm

Atsakymas

d_o = 35,83 mm

Pilnaviduriam velenui reikėtų d = 30,06 mm; tuščiaviduris kiek didesnis, bet daug lengvesnis.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 25,31 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 15000/78,54 = 191 N·m

Skersmuo pagal leistinąjį įtempį

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·190986/(π·60)) = 25,31 mm

Atsakymas

d = 25,31 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 9,75 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, veikianti taške x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 2·8·4

R_B = 64/8 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

Perpjaukite ties x = 6,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 8·6,5 − 2·6,5·3,25 = 9,75 kN·m

Atsakymas

M_x = 9,75 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: E (x = 4 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 6,667 kN, R₂ = 73,33 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = −30, M_C = −53,33, M_D = −76,67, M_E = −100 kN·m, M_F = −50, M_G = 0

Atsakymas

Žymė E: M_E = −100 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 78,68 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio I_c = bh³/12, o skritulio I_c = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (24000·100 − 1257·70)/(24000 − 1257) = 101,7 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

120·200³/12 + 24000·−1,658² = 80,07 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

π·40⁴/64 + 1257·−31,66² = 1,385 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 78,68 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 78,68 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: M_allow = 26,84 kN·m

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Svorio centras

ȳ = (4400·230 + 3520·110)/7920 = 176,7 mm

viršutinė kraštinė: c = 240 − 176,7 = 63,33 mm

Inercijos momentas

I = 220·20³/12 + 4400·53,33² + 16·220³/12 + 3520·66,67² = 4,25 × 10⁷ mm⁴

Kiekvienos kraštinės leidžiamas momentas

Neigiamas lenkimas: viršus tempiamas, apačia gniuždoma.

viršutinė kraštinė: M = 40·4,25 × 10⁷/63,33 = 26,84 kN·m

apatinė kraštinė: M = 150·4,25 × 10⁷/176,7 = 36,09 kN·m

Lemiamoji reikšmė

M_allow = min = 26,84 kN·m (viršutinė kraštinė)

Atsakymas

M_allow = 26,84 kN·m

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_s = −51,26 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Kampas apskritime

Moro apskritime viršutinis taškas (+R) nuo pagrindinio taško σ₁ nutolęs 90°; elemente tai atitinka 45°.

cos 2θ_s = −10/46,1 = −0,2169, sin 2θ_s = −45/46,1 = −0,9762

2θ_s = atan2(−45, −10) = −102,5°

Kampas elemente

θ_s = −51,26°

patikra: θ_s − θ_p = −51,26 − (−6,264) = −45°

Atsakymas

θ_s = −51,26°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = 62,14 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = 45 + −35·0,5 + −40·−0,866 = 62,14 MPa

Atsakymas

σ_θ = 62,14 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 44,44 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 8000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Įlinkis

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·8000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 44,44 mm

Atsakymas

δ_max = 44,44 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: R_B = 17,19 kN

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija). Statiškai neišsprendžiamoje sijoje pašalinkite perteklinę atramą ir pareikalaukite, kad įlinkis toje vietoje būtų lygus nuliui (suderinamumas).

Pašalinkite papildomą atramą

Be papildomos atramos sija yra gembė. Jos laisvasis galas įlinktų nuo apkrovos.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Suderinamumas ties papildoma atrama

Vien papildomos atramos jėga R_B pakelia laisvąjį galą dydžiu R_BL³/(3EI). Atrama išlaiko B nulinį įlinkį, todėl abu dydžiai turi vienas kitą panaikinti. EI susiprastina.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·55/16 = 17,19 kN

Atsakymas

R_B = 17,19 kN

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 3,57 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·6000 = 6000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/6000² = 3570 N = 3,57 kN

Atsakymas

P_cr = 3,57 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 56,65 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/7,5 = 186,7

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/186,7² = 56,65 MPa

Atsakymas

σ_cr = 56,65 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials