Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

plienas strypas (skersmuo 30 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš žalvaris (išorinis skersmuo 120 mm, vidinis skersmuo 70 mm, E = 100 GPa). Abu 800 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 150 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 150 kNstrypas: Ø30 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite didžiausią normalinį įtempį σ_max strype.

P = 35 kN1 ruožas: Ø25 mm, 0,5 m, aliuminis (E = 70 GPa)2 ruožas: Ø16 mm, 1,5 m, aliuminis (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnavidurį 2 m ilgio veleną (žalvaris) veikia 2000 N·m sukimo momentas. Sukimo kampas tarp jo galų negali viršyti 1°. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį šią sąlygą.

T = 2000 N·mL = 2 mG = 39 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas turi perduoti 50 kW esant 300 aps./min, o tangentinis įtempis negali viršyti 60 MPa. Raskite mažiausią tinkamą skersmenį d.

P = 50 kWN = 300 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Laisvai atremtą siją veikia tik jėgų pora M₀ = 60 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, esanti x = 4 m atstumu nuo A. Raskite lenkimo momentą M_x iš karto kairiau jėgų poros. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 5 mM₀ = 60 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, ties 4 m

M_x = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą M_max.

L = 5 mP = 25 kN ties 1,5 mw = 4 kN/m nuo 0 iki 5 m

M_max = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 200 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 25 kN·m. Raskite lenkimo įtempį σ_apačia apatiniame krašte.

b_f = 280 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 140 mmM = 25 kN·m

σ_apačia = MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 20 MPa, σᵧ = −30 MPa ir τₓᵧ = 60 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = 20 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 60 MPa

τ_max = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 100 MPa, σᵧ = 70 MPa ir τₓᵧ = −50 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 20° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = 100 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite sijos posūkio kampą θ_A ties atrama A, radianais.

w = 5 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 57 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P tarpatramio viduryje. Taikydami superpoziciją, raskite įlinkį viduryje δ_max.

P = 24 kNw = 8 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Ji turi atlaikyti 60 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 60 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (aliuminis)

d = mm

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,1352 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·7461 = 8,875 × 10⁸ N

Sutrumpėjimas

δ = 150000·800/8,875 × 10⁸ = 0,1352 mm

Atsakymas

δ = 0,1352 mm

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ_max = 174,1 MPa

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 71,3 MPa

σ₂ = 174,1 MPa

Didžiausias įtempis

Plonesnio ruožo plotas mažesnis, todėl jame įtempis didesnis.

σ_max = 174,1 MPa

Atsakymas

σ_max = 174,1 MPa

3.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 87,96 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Reikiamas polinis inercijos momentas

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 2 × 10⁶·2000/(39000·0,01745) = 5,876 × 10⁶ mm⁴

Skersmuo

d = (32J/π)^1/4 = 87,96 mm

Atsakymas

d = 87,96 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 51,31 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 50000/31,42 = 1592 N·m

Skersmuo pagal leistinąjį įtempį

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1,592 × 10⁶/(π·60)) = 51,31 mm

Atsakymas

d = 51,31 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = −48 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Pridėta jėgų pora lenkimo momentų diagramoje sukelia šuolį, lygų poros dydžiui.

Atramų reakcijos

Momentai taško A atžvilgiu, prieš laikrodžio rodyklę teigiami: R_B·L − M₀ = 0. Vertikalioji pusiausvyra: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 60/5 = 12 kN (aukštyn)

R_A = −R_B = −12 kN (žemyn)

Pjūvis iš karto kairiau jėgų poros

Kairiojoje dalyje yra tik R_A.

M_x = R_A·a = −12·4 = −48 kN·m

Atsakymas

M_x = −48 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_max = 36,75 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, veikianti taške x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·1,5 + 4·5·2,5

R_B = 87,5/5 = 17,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 17,5 = 27,5 kN

Kur V = 0?

V(1,5⁻) = R_A − w·1,5 = 21,5 kN

V(1,5⁺) = 21,5 − 25 = −3,5 kN

Skersinė jėga keičia ženklą ties apkrova, todėl maksimumas yra po apkrova.

Didžiausias momentas

M_max = R_A·1,5 − w·1,5²/2 = 27,5·1,5 − 4·1,5²/2 = 36,75 kN·m

Atsakymas

M_max = 36,75 kN·m

Tai yra taške x = 1,5 m nuo A.

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 20,04 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 200·10 = 2000 mm², y_f = 200 + 10/2 = 205 mm

sienelė: A_w = 12·200 = 2400 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·205 + 2400·100)/4400 = 147,7 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 200·10³/12 + 2000·(205 − 147,7)² = 6,577 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 12·200³/12 + 2400·(100 − 147,7)² = 1,347 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,577 × 10⁶ + 1,347 × 10⁷ = 2,004 × 10⁷ mm⁴ = 20,04 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 20,04 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_apačia = 261 MPa

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 280·30 = 8400 mm², y_f = 140 + 30/2 = 155 mm

sienelė: A_w = 12·140 = 1680 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (8400·155 + 1680·70)/10080 = 140,8 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 280·30³/12 + 8400·(155 − 140,8)² = 2,316 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 12·140³/12 + 1680·(70 − 140,8)² = 1,117 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,316 × 10⁶ + 1,117 × 10⁷ = 1,349 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Apatinis kraštas yra ȳ atstumu nuo ašies.

y = 140,8 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·140,8/1,349 × 10⁷ = 261 MPa

Atsakymas

σ_apačia = 261 MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 65 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((20 − −30)/2)² + 60²) = 65 MPa

Atsakymas

τ_max = 65 MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = 64,35 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = 85 + 15·0,766 + −50·0,6428 = 64,35 MPa

Atsakymas

σ_θ = 64,35 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: θ_A = 0,002658 rad

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija). Posūkio kampas θ = dv/dx yra pirmasis M/(EI) integralas; suderintais vienetais jis gaunamas radianais.

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2000 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Galo posūkio kampas

θ_A = wL³/(24EI) = 5·2000³/(24·6,27 × 10¹¹) = 0,002658 rad

Atsakymas

θ_A = 0,002658 rad

Tai yra 0,1523°.

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 8,754 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 24000 N, w = 8 N/mm, L = 1500 mm, EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δ_P = PL³/(48EI) = 24000·1500³/(48·2,53 × 10¹¹) = 6,67 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·1500⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 2,084 mm

Sudėkite

δ_max = 6,67 + 2,084 = 8,754 mm

Atsakymas

δ_max = 8,754 mm

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 80,57 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/2800² = 80568 N = 80,57 kN

Atsakymas

P_cr = 80,57 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 106,2 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2·60000 = 120000 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 106,2 mm

Atsakymas

d = 106,2 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 225,9, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials