Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite ašinę deformaciją ε strype (žalvaris) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 25 kNd = 12 mmL = 2 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 90 kN1 ruožas: Ø35 mm, 1 m, aliuminis (E = 70 GPa)2 ruožas: Ø20 mm, 1 m, varis (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Velenų sukimasVidutinis

Tuščiaviduris velenas turi perduoti 1000 N·m sukimo momentą. Jo vidinio ir išorinio skersmenų santykis turi būti 0,75, o tangentinis įtempis negali viršyti 80 MPa. Raskite mažiausią išorinį skersmenį d_o.

T = 1000 N·md_i/d_o = 0,75τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas turi perduoti 30 kW esant 500 aps./min, o tangentinis įtempis negali viršyti 80 MPa. Raskite mažiausią tinkamą skersmenį d.

P = 30 kWN = 500 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 1 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 10 mw = 5 kN/m nuo 0 iki 10 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 3 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 4 mP = 40 kN ties 3 mw = 3 kN/m nuo 0 iki 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

150 mm × 150 mm plokštė turi apvalią 50 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 90 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 150 mmh = 150 mmd = 50 mmskylės centras: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 15 kN·m. Raskite lenkimo įtempį σ_apačia apatiniame krašte.

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 140 mmM = 15 kN·m

σ_apačia = MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 50 MPa, σᵧ = −60 MPa ir τₓᵧ = −40 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_p nuo x ašies iki didžiausio pagrindinio įtempio krypties, intervale nuo −90° iki 90°.

σ_x = 50 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 80 MPa, σᵧ = −10 MPa ir τₓᵧ = −30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 50° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = 80 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w, o laisvajame gale – sutelktąja jėga P. Taikydami superpoziciją, raskite laisvojo galo įlinkį δ.

P = 26 kNw = 6 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (plienas)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Papildomai atremta gembė įtvirtinta taške A ir laisvai atremta taške B. Ją visu ilgiu veikia tolygiai išskirstyta apkrova w. EI pastovus. Raskite papildomos atramos reakciją R_B.

L = 5 mw = 4 kN/m

R_B = kN

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (plienas)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Ji turi atlaikyti 150 kN su 3 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 150 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 2210 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 25·1000/113,1 = 221 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for žalvaris = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 221/100000 = 0,00221 = 2210 µε

Atsakymas

ε = 2210 µε

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 3,785 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 93,54 MPa

σ₂ = 286,5 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 93,54·1000/70000 = 1,336 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 286,5·1000/117000 = 2,449 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,785 mm

Atsakymas

δ = 3,785 mm

3.Velenų sukimas

Atsakymas: d_o = 45,33 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Išorinis skersmuo iš leistinojo įtempio

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·80·0,6836)) = 45,33 mm

d_i = 0,75·45,33 = 34 mm

Atsakymas

d_o = 45,33 mm

Pilnaviduriam velenui reikėtų d = 39,93 mm; tuščiaviduris kiek didesnis, bet daug lengvesnis.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 33,16 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 30000/52,36 = 573 N·m

Skersmuo pagal leistinąjį įtempį

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·572958/(π·80)) = 33,16 mm

Atsakymas

d = 33,16 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 22,5 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, veikianti taške x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 5·10·5

R_B = 250/10 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

Perpjaukite ties x = 1 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 25·1 − 5·1·0,5 = 22,5 kN·m

Atsakymas

M_x = 22,5 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 34,5 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, veikianti taške x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·3 + 3·4·2

R_B = 144/4 = 36 kN

ΣF_y = 0: R_A = 52 − 36 = 16 kN

Perpjaukite ties x = 3 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 16·3 − 3·3·1,5 = 34,5 kN·m

Atsakymas

M_x = 34,5 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 41,4 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio I_c = bh³/12, o skritulio I_c = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (22500·75 − 1963·90)/(22500 − 1963) = 73,57 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

150·150³/12 + 22500·1,434² = 42,23 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

π·50⁴/64 + 1963·16,43² = 0,8371 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 41,4 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 41,4 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_apačia = 170,2 MPa

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 160·10 = 1600 mm², y_f = 140 + 10/2 = 145 mm

sienelė: A_w = 16·140 = 2240 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1600·145 + 2240·70)/3840 = 101,3 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 160·10³/12 + 1600·(145 − 101,3)² = 3,076 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 16·140³/12 + 2240·(70 − 101,3)² = 5,846 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,076 × 10⁶ + 5,846 × 10⁶ = 8,922 × 10⁶ mm⁴

Lenkimo įtempis

Apatinis kraštas yra ȳ atstumu nuo ašies.

y = 101,3 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·101,3/8,922 × 10⁶ = 170,2 MPa

Atsakymas

σ_apačia = 170,2 MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_p = −18,01 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Kampas apskritime

Moro apskritime taškas x yra kampu 2θp nuo σ ašies; ketvirtis priklauso nuo σₓ − σᵧ ir τₓᵧ ženklų.

2θ_p = atan2(2·−40, 50 − −60) = −36,03°

Kampas elemente

θ_p = −18,01°

Atsakymas

θ_p = −18,01°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = −2,358 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = 35 + 45·−0,1736 + −30·0,9848 = −2,358 MPa

Atsakymas

σ_θ = −2,358 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 17,54 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 26000 N, w = 6 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δ_P = PL³/(3EI) = 26000·3000³/(3·1,68 × 10¹³) = 13,93 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 6·3000⁴/(8·1,68 × 10¹³) = 3,616 mm

Sudėkite

δ = 13,93 + 3,616 = 17,54 mm

Atsakymas

δ = 17,54 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: R_B = 7,5 kN

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija). Statiškai neišsprendžiamoje sijoje pašalinkite perteklinę atramą ir pareikalaukite, kad įlinkis toje vietoje būtų lygus nuliui (suderinamumas).

Pašalinkite papildomą atramą

Be papildomos atramos sija yra gembė. Jos laisvasis galas įlinktų nuo apkrovos.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Suderinamumas ties papildoma atrama

Vien papildomos atramos jėga R_B pakelia laisvąjį galą dydžiu R_BL³/(3EI). Atrama išlaiko B nulinį įlinkį, todėl abu dydžiai turi vienas kitą panaikinti. EI susiprastina.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·4·5/8 = 7,5 kN

Atsakymas

R_B = 7,5 kN

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 6,89 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·1500 = 1500 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1500² = 6890 N = 6,89 kN

Atsakymas

P_cr = 6,89 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 92,84 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 3·150000 = 450000 N

KL = 2·2000 = 4000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·450000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 92,84 mm

Atsakymas

d = 92,84 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 172,3, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials