Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite ašinę deformaciją ε strype (varis) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 65 kNd = 10 mmL = 3 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas atkarpa (skersmuo 40 mm, ilgis 600 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš varis (skersmuo 30 mm, ilgis 500 mm, E = 120 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 40 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ₂.

1 atkarpa: plienas, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: varis, Ø30 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Velenų sukimasVidutinis

Pakopinis pilnaviduris velenas (plienas) įtvirtintas taške A. Ruožo AB skersmuo 25 mm, ilgis 1,2 m; ruožo BC skersmuo 20 mm, ilgis 1,5 m. Laisvajame gale C veikia 100 N·m sukimo momentas. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

T = 100 N·md₁ = 25 mm, L₁ = 1,2 md₂ = 20 mm, L₂ = 1,5 m

τ_max = MPa

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas turi perduoti 15 kW esant 1450 aps./min, o tangentinis įtempis negali viršyti 40 MPa. Raskite mažiausią tinkamą skersmenį d.

P = 15 kWN = 1450 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 1,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 4 mw = 10 kN/m nuo 0 iki 4 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

40 kN @ 12 m10 kN @ 4 m6 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 120 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Suvirinto dvitėjo skerspjūvio viršutinė lentyna yra 190 × 22 mm, sienelė 270 mm aukščio ir 10 mm storio, o apatinė lentyna 290 × 14 mm (plotis × storis). Raskite jo inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

viršutinė lentyna: 190 × 22 mmsienelė: 10 × 270 mmapatinė lentyna: 290 × 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 110 MPa, σᵧ = −30 MPa ir τₓᵧ = −10 MPa (tempimas teigiamas). Elementas pasukamas 45° pagal laikrodžio rodyklę. Raskite normalinį įtempį σ_y′ pasukto elemento sienelėse, statmenose pasuktajai y′ ašiai.

σ_x = 110 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −10 MPaθ = -45°

σ_y′ = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = −40 MPa, σᵧ = −50 MPa ir τₓᵧ = −10 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 25° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = −40 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite sijos posūkio kampą θ_A ties atrama A, radianais.

w = 8 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 23 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P tarpatramio viduryje. Taikydami superpoziciją, raskite įlinkį viduryje δ_max.

P = 16 kNw = 15 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (plienas)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 140 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 140 kNn = 2,5L = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)

d = mm

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 7074 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 65·1000/78,54 = 827,6 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for varis = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 827,6/117000 = 0,007074 = 7074 µε

Atsakymas

ε = 7074 µε

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ₂ = 16,31 MPa

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Standumai

k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm

k₂ = 120000·706,9/500 = 169646 N/mm

2 atkarpos dalis

F₂ = 40000·169646/588525 = 11530 N

Įtempis

σ₂ = 11530/706,9 = 16,31 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ₂ = 16,31 MPa

3.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 63,66 MPa

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Įtempis kiekviename ruože

T = 100 N·m = 100000 N·mm

τ_AB = 16·100000/(π·25³) = 32,59 MPa

τ_BC = 16·100000/(π·20³) = 63,66 MPa

Atsakymas

τ_max = 63,66 MPa

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 23,26 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 15000/151,8 = 98,79 N·m

Skersmuo pagal leistinąjį įtempį

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·98786/(π·40)) = 23,26 mm

Atsakymas

d = 23,26 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 18,75 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, veikianti taške x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·4·2

R_B = 80/4 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Perpjaukite ties x = 1,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 20·1,5 − 10·1,5·0,75 = 18,75 kN·m

Atsakymas

M_x = 18,75 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: E (x = 8 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 9 kN, R₂ = 89 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 6, M_C = −12, M_D = −74, M_E = −160 kN·m, M_F = −80, M_G = 0

Atsakymas

Žymė E: M_E = −160 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 25,05 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 120·20 = 2400 mm², y_f = 200 + 20/2 = 210 mm

sienelė: A_w = 14·200 = 2800 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·210 + 2800·100)/5200 = 150,8 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 120·20³/12 + 2400·(210 − 150,8)² = 8,5 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 14·200³/12 + 2800·(100 − 150,8)² = 1,655 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,5 × 10⁶ + 1,655 × 10⁷ = 2,505 × 10⁷ mm⁴ = 25,05 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 25,05 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 187,5 × 10⁶ mm⁴

Padalykite į tris stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

viršutinė lentyna: A = 4180 mm², y = 295 mm

sienelė: A = 2700 mm², y = 149 mm

apatinė lentyna: A = 4060 mm², y = 7 mm

Svorio centras

ȳ = (4180·295 + 2700·149 + 4060·7)/10940 = 152,1 mm

Šteinerio teorema

viršutinė lentyna: 190·22³/12 + 4180·142,9² = 8,554 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 10·270³/12 + 2700·3,086² = 1,643 × 10⁷ mm⁴

apatinė lentyna: 290·14³/12 + 4060·145,1² = 8,553 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,554 × 10⁷ + 1,643 × 10⁷ + 8,553 × 10⁷

I_x = 1,875 × 10⁸ mm⁴ = 187,5 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 187,5 × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_y′ = 30 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Transformacijos lygtis y′ sienelei

σ_y′ = 40 − 70·0 − (−10)·(−1) = 30 MPa

Patikra

Normalinių įtempių suma sukant elementą nekinta.

σ_x′ = 50 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 80 = σ_x + σ_y

Atsakymas

σ_y′ = 30 MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = −49,45 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = −45 + 5·0,6428 + −10·0,766 = −49,45 MPa

Atsakymas

σ_θ = −49,45 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: θ_A = 0,004447 rad

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija). Posūkio kampas θ = dv/dx yra pirmasis M/(EI) integralas; suderintais vienetais jis gaunamas radianais.

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 1500 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Galo posūkio kampas

θ_A = wL³/(24EI) = 8·1500³/(24·2,53 × 10¹¹) = 0,004447 rad

Atsakymas

θ_A = 0,004447 rad

Tai yra 0,2548°.

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 1,477 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 16000 N, w = 15 N/mm, L = 3000 mm, EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δ_P = PL³/(48EI) = 16000·3000³/(48·1,68 × 10¹³) = 0,5357 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·3000⁴/(384·1,68 × 10¹³) = 0,9417 mm

Sudėkite

δ_max = 0,5357 + 0,9417 = 1,477 mm

Atsakymas

δ_max = 1,477 mm

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 6,867 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·2000 = 2000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2000² = 6867 N = 6,867 kN

Atsakymas

P_cr = 6,867 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 80,16 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2,5·140000 = 350000 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·350000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 80,16 mm

Atsakymas

d = 80,16 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 99,8, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials