Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis
σ = F/A
Deformacija
ε = ΔL/L
Huko dėsnis
σ = E·ε
Pailgėjimas
ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija
εT = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis
τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas
J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas
φ = TL/(GJ)
Galia
P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

  1. Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
  2. Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
  3. Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
  4. Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8

Metodas

  1. Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
  2. Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
  3. Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
  4. Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Stačiakampis
I = bh³/12
Šteinerio teorema
I = Ic + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras
C = (σx + σy)/2
Spindulys
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Pagrindiniai įtempiai
σ1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Pasvirasis pjūvis
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metodas

  1. Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
  2. Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
  4. Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje
δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija
δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale
δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija
δ = δ1 + δ2

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis
150 kNØ25100 GPaØ120/50500 mmδ = ?

plienas strypas (skersmuo 25 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš žalvaris (išorinis skersmuo 120 mm, vidinis skersmuo 50 mm, E = 100 GPa). Abu 500 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 150 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 150 kNstrypas: Ø25 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 500 mm
δ = mm
2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus
Ø 25 mmŽalvaris0,5 mØ 16 mmVaris0,5 mP = 75 kN

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 75 kN1 ruožas: Ø25 mm, 0,5 m, žalvaris (E = 100 GPa)2 ruožas: Ø16 mm, 0,5 m, varis (E = 117 GPa)
δ = mm
3.Velenų sukimasVidutinis
T = 250 N·md = 40 mmL = 3 mφ = ?

Pilnaviduris velenas (žalvaris) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 250 N·md = 40 mmL = 3 mG = 39 GPa
φ = °
4.Velenų sukimasSunkus
do​ = ?10 kW, 300 rpm

Tuščiaviduris velenas turi perduoti 10 kW esant 300 rpm. Jo vidinio ir išorinio skersmenų santykis turi būti 0,75, o tangentinis įtempis negali viršyti 50 MPa. Raskite mažiausią išorinį skersmenį do.

P = 10 kWN = 300 rpmdi/do = 0,75τallow = 50 MPa
do = mm
5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
45 kN15 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

45 kN @ 8 m15 kN @ 10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
20 kN30 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

20 kN @ 6 m30 kN @ 1 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis
1004402010xmatmenys mm

Simetriško dvitėjo skerspjūvio lentynos yra 100 mm pločio ir 20 mm storio, bendrasis aukštis 440 mm, o sienelės storis 10 mm. Raskite jo inercijos momentą Ix horizontaliosios centrinės ašies x atžvilgiu.

B = 100 mmH = 440 mmtf = 20 mmtw = 10 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus
1002530020xM = 20 kN·mmatmenys mm

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 20 kN·m. Raskite lenkimo įtempį σapačia apatiniame krašte.

bf = 100 mmtf = 25 mmtw = 20 mmhw = 300 mmM = 20 kN·m
σapačia = MPa
9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis
σx​ = 40σy​ = −50τxy​ = −10MPa

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 40 MPa, σᵧ = −50 MPa ir τₓᵧ = −10 MPa, σz = 0. Raskite absoliutųjį didžiausią tangentinį įtempį τabs taške (atsižvelgiant į visas plokštumas trijuose matmenyse).

σx = 40 MPaσy = −50 MPaτxy = −10 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus
σx​ = −20σy​ = 50τxy​ = 50MPa

Apkrautos detalės taške σₓ = −20 MPa, σᵧ = 50 MPa ir τₓᵧ = 50 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σθ pjūvyje, kurio normalė pasukta 20° pagal laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σx = −20 MPaσy = 50 MPaτxy = 50 MPaθ = -20°
σθ = MPa
11.Sijos įlinkisVidutinis
w = 6 kN/mδL = 2,5 m

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite laisvojo galo įlinkį δ.

w = 6 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Sijos įlinkisSunkus
P = 11 kNABδ3 m2 m

Laisvai atremta sija apkrauta sutelktąja jėga P, esančia b = 2 m atstumu nuo atramos B. Raskite įlinkį δmid tarpatramio viduryje.

P = 11 kNb = 2 mL = 5 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
13.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 2 m25 × 100 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 2 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
14.Kolonų klupimasSunkus
PL = 4 md = 50 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σcr pagal Oilerio formulę.

L = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 50 mm
σcr = MPa

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,07262 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, Pi = P·EiAi/ΣEA, o σi = Ei·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

Ar = π·25²/4 = 490,9 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·9346 = 1,033 × 10⁹ N

Sutrumpėjimas

δ = 150000·500/1,033 × 10⁹ = 0,07262 mm

Atsakymas

δ = 0,07262 mm
2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 2,358 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 152,8 MPa
σ2 = 373 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ1 = σ1L1/E1 = 152,8·500/100000 = 0,7639 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 373·500/117000 = 1,594 mm
δ = δ1 + δ2 = 2,358 mm

Atsakymas

δ = 2,358 mm
3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 4,384 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 250·1000·3000/(39000·251327) = 0,07652 rad
φ = 0,07652·180/π = 4,384°

Atsakymas

φ = 4,384°
4.Velenų sukimas

Atsakymas: do = 36,2 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 10000/31,42 = 318,3 N·m

Išorinis skersmuo iš leistinojo įtempio

T = 318,3 N·m = 318310 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·318310/(π·50·0,6836)) = 36,2 mm
di = 0,75·36,2 = 27,15 mm

Atsakymas

do = 36,2 mm

Pilnaviduriam velenui reikėtų d = 31,89 mm; tuščiaviduris kiek didesnis, bet daug lengvesnis.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: E (x = 8 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R1 = 17,5 kN, R2 = 42,5 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

MA = 0, MB = 35, MC = 70, MD = 105, ME = 140 kN·m, MF = 85, MG = 0

Atsakymas

Žymė E: ME = 140 kN·m
6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: E (x = 4 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R1 = 12,5 kN, R2 = 37,5 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

MA = 0, MB = 12,5, MC = −5, MD = −22,5, ME = −40 kN·m, MF = −20, MG = 0

Atsakymas

Žymė E: ME = −40 kN·m
7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: Ix = 229,9 × 10⁶ mm⁴

Inercijos momentas: stačiakampio inercijos momentas jo centrinės ašies atžvilgiu I = bh³/12, o pagrindo atžvilgiu bh³/3 (Šteinerio teorema I = Ic + A·d²). Angą įskaitykite atimdami jos I, jei abi dalys turi tą pačią ašį. Tamprusis atsparumo momentas S = I/c, kur c – atstumas iki kraštinio sluoksnio.

Išorinis stačiakampis atėmus dvi šonines išpjovas

Abi išpjovos kartu yra (B − tw) pločio ir hw = H − 2tf aukščio, o jų ašis ta pati – x.

hw = 440 − 2·20 = 400 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (100·440³ − 90·400³)/12
Ix = 2,299 × 10⁸ mm⁴ = 229,9 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

Ix = 229,9 × 10⁶ mm⁴
8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σapačia = 43,13 MPa

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: Af = 100·25 = 2500 mm², yf = 300 + 25/2 = 312,5 mm
sienelė: Aw = 20·300 = 6000 mm², yw = 300/2 = 150 mm

Svorio centras

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2500·312,5 + 6000·150)/8500 = 197,8 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 100·25³/12 + 2500·(312,5 − 197,8)² = 3,302 × 10⁷ mm⁴
sienelė: 20·300³/12 + 6000·(150 − 197,8)² = 5,871 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3,302 × 10⁷ + 5,871 × 10⁷ = 9,173 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Apatinis kraštas yra ȳ atstumu nuo ašies.

y = 197,8 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁷·197,8/9,173 × 10⁷ = 43,13 MPa

Atsakymas

σapačia = 43,13 MPa
9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τabs = 46,1 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Trijuose matmenyse absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis yra (σmax − σmin)/2 tarp visų trijų pagrindinių įtempių; plokščiajame įtempių būvyje trečiasis lygus nuliui.

στxyCσ1​σ2​

Pagrindiniai įtempiai plokštumoje

C = −5 MPa, R = √(45² + (−10)²) = 46,1 MPa
σ1 = 41,1 MPa, σ2 = −51,1 MPa, σz = 0

Didžiausias iš trijų apskritimų

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(92,2, 41,1, 51,1)/2 = 46,1 MPa

Atsakymas

τabs = 46,1 MPa

Čia σ₁ ir σ₂ priešingų ženklų, todėl maksimumas plokštumoje R kartu yra ir absoliutusis maksimumas.

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σθ = −43,95 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Transformacijos lygtis

σθ = 15 + −35·0,766 + 50·−0,6428 = −43,95 MPa

Atsakymas

σθ = −43,95 MPa
11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 2,57 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 2500 mm
EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Įlinkis

δ = wL⁴/(8EI) = 6·2500⁴/(8·1,14 × 10¹³) = 2,57 mm

Atsakymas

δ = 2,57 mm
12.Sijos įlinkis

Atsakymas: δmid = 4,599 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 11000 N, b = 2000 mm, L = 5000 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Įlinkis tarpatramio viduryje

δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 11000·2000·(3·5000² − 4·2000²)/(48·5,88 × 10¹²) = 4,599 mm

Atsakymas

δmid = 4,599 mm
13.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 16,06 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·2000 = 4000 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/4000² = 16064 N = 16,06 kN

Atsakymas

Pcr = 16,06 kN
14.Kolonų klupimas

Atsakymas: σcr = 26,99 MPa

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 0,5·4000 = 2000 mm
KL/r = 2000/12,5 = 160

Kritinis įtempis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26,99 MPa

Atsakymas

σcr = 26,99 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials