Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite strypo (plienas) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 100 kNd = 25 mmL = 1 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 75 kN1 ruožas: Ø35 mm, 1,5 m, žalvaris (E = 100 GPa)2 ruožas: Ø12 mm, 1,5 m, varis (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (žalvaris) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 500 N·md = 25 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (aliuminis), kurio skersmuo 60 mm, įtvirtintas taške A. Taške B, 3 m atstumu nuo A, veikia 100 N·m sukimo momentas, o laisvajame gale C, dar 1 m toliau, veikia priešinga kryptimi nukreiptas 400 N·m sukimo momentas. Raskite galo C sukimo kampo didumą φ_C laipsniais.

d = 60 mmT_B = 100 N·mT_C = 400 N·mAB = 3 mBC = 1 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Laisvai atremtą siją veikia tik jėgų pora M₀ = 15 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, esanti x = 3,5 m atstumu nuo A. Raskite lenkimo momentą M_x iš karto kairiau jėgų poros. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 6 mM₀ = 15 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, ties 3,5 m

M_x = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Laisvai atremta sija dalyje tarpatramio apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova. Raskite atstumą x₀ nuo A iki pjūvio, kuriame lenkimo momentas didžiausias.

L = 10 mw = 20 kN/m nuo 7 iki 9 m

x₀ = m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Ketaus sija turi pavaizduotą tėjinį skerspjūvį, lentyna viršuje. Leistinieji įtempiai: 30 MPa tempiant ir 150 MPa gniuždant. Raskite didžiausią neigiamą lenkimo momentą M_allow, kurį sija gali atlaikyti (nurodykite jo didumą).

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 200 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 70 MPa, σᵧ = 10 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = 70 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 130 MPa, σᵧ = 100 MPa ir τₓᵧ = 20 MPa (σ_z = 0). Medžiagos takumo riba 460 MPa. Raskite atsargos koeficientą n takumo atžvilgiu pagal Treskos (didžiausio tangentinio įtempio) kriterijų.

σ_x = 130 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 20 MPaσ_Y = 460 MPa

n =

11.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią įlinkį δ_max tarpatramio viduryje.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Papildomai atremta gembė įtvirtinta taške A ir laisvai atremta taške B. Ją visu ilgiu veikia tolygiai išskirstyta apkrova w. EI pastovus. Raskite papildomos atramos reakciją R_B.

L = 6 mw = 15 kN/m

R_B = kN

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 5 mE = 200 GPa (plienas)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 1,019 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 100·1000/490,9 = 203,7 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for plienas = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 203,7/200000 = 0,001019 = 1019 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,001019·1000 mm = 1,019 mm

Atsakymas

δ = 1,019 mm

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 9,671 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 77,95 MPa

σ₂ = 663,1 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 77,95·1500/100000 = 1,169 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 663,1·1500/117000 = 8,502 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 9,671 mm

Atsakymas

δ = 9,671 mm

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 9,577 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 500·1000·500/(39000·38350) = 0,1672 rad

φ = 0,1672·180/π = 9,577°

Atsakymas

φ = 9,577°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: φ_C = 2,252 °

Vidiniai sukimo momentai

T_C kryptis laikoma teigiama.

T_BC = T_C = 400 N·m

T_AB = T_C − T_B = 400 − 100 = 300 N·m

Kiekvieno ruožo sukimo kampas

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 300000·3000/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,02721 rad

φ_BC = 400000·1000/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,01209 rad

Galo C sukimo kampas

φ_C = 0,02721 + 0,01209 = 0,0393 rad → |φ_C| = 2,252°

Atsakymas

φ_C = 2,252°

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = −8,75 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Pridėta jėgų pora lenkimo momentų diagramoje sukelia šuolį, lygų poros dydžiui.

Atramų reakcijos

Momentai taško A atžvilgiu, prieš laikrodžio rodyklę teigiami: R_B·L − M₀ = 0. Vertikalioji pusiausvyra: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 15/6 = 2,5 kN (aukštyn)

R_A = −R_B = −2,5 kN (žemyn)

Pjūvis iš karto kairiau jėgų poros

Kairiojoje dalyje yra tik R_A.

M_x = R_A·a = −2,5·3,5 = −8,75 kN·m

Atsakymas

M_x = −8,75 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: x₀ = 7,4 m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 20·2 = 40 kN, veikianti taške x̄ = 8 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·2·8

R_B = 320/10 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 32 = 8 kN

Nulinė skersinė jėga

Skersinė jėga prasideda nuo R_A, neapkrautuose ruožuose išlieka pastovi, o apkrovos ruože mažėja nuolydžiu w.

R_A − w·(x₀ − 7) = 0

x₀ = 7 + 8/20 = 7,4 m

Atsakymas

x₀ = 7,4 m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 10,03 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 140·30 = 4200 mm², y_f = 120 + 30/2 = 135 mm

sienelė: A_w = 16·120 = 1920 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·135 + 1920·60)/6120 = 111,5 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 140·30³/12 + 4200·(135 − 111,5)² = 2,64 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 16·120³/12 + 1920·(60 − 111,5)² = 7,391 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,64 × 10⁶ + 7,391 × 10⁶ = 1,003 × 10⁷ mm⁴ = 10,03 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 10,03 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: M_allow = 13,4 kN·m

Svorio centras

ȳ = (2700·207,5 + 4000·100)/6700 = 143,3 mm

viršutinė kraštinė: c = 215 − 143,3 = 71,68 mm

Inercijos momentas

I = 180·15³/12 + 2700·64,18² + 20·200³/12 + 4000·43,32² = 3,201 × 10⁷ mm⁴

Kiekvienos kraštinės leidžiamas momentas

Neigiamas lenkimas: viršus tempiamas, apačia gniuždoma.

viršutinė kraštinė: M = 30·3,201 × 10⁷/71,68 = 13,4 kN·m

apatinė kraštinė: M = 150·3,201 × 10⁷/143,3 = 33,5 kN·m

Lemiamoji reikšmė

M_allow = min = 13,4 kN·m (viršutinė kraštinė)

Atsakymas

M_allow = 13,4 kN·m

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 42,43 MPa

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((70 − 10)/2)² + 30²) = 42,43 MPa

Atsakymas

τ_max = 42,43 MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: n = 3,286

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Takumo kriterijai: pagal fon Mizesą takumas prasideda, kai σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) pasiekia σ_Y; pagal Treską – kai absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis pasiekia σ_Y/2.

Pagrindiniai įtempiai

C = 115 MPa, R = 25 MPa

σ₁ = 140 MPa, σ₂ = 90 MPa, σ₃ = 0

Treska

σ_max − σ_min = 140 MPa

n = 460/140 = 3,286

Atsakymas

n = 3,286

n > 1 reiškia, kad taške takumas neprasideda; Treskos kriterijus kiek konservatyvesnis nei fon Mizeso.

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 1,057 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Įlinkis

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·3000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 1,057 mm

Atsakymas

δ_max = 1,057 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: R_B = 33,75 kN

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija). Statiškai neišsprendžiamoje sijoje pašalinkite perteklinę atramą ir pareikalaukite, kad įlinkis toje vietoje būtų lygus nuliui (suderinamumas).

Pašalinkite papildomą atramą

Be papildomos atramos sija yra gembė. Jos laisvasis galas įlinktų nuo apkrovos.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Suderinamumas ties papildoma atrama

Vien papildomos atramos jėga R_B pakelia laisvąjį galą dydžiu R_BL³/(3EI). Atrama išlaiko B nulinį įlinkį, todėl abu dydžiai turi vienas kitą panaikinti. EI susiprastina.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·15·6/8 = 33,75 kN

Atsakymas

R_B = 33,75 kN

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 4,395 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·2500 = 2500 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2500² = 4395 N = 4,395 kN

Atsakymas

P_cr = 4,395 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 64,45 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/20 = 175

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/175² = 64,45 MPa

Atsakymas

σ_cr = 64,45 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials