Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

plienas strypas (skersmuo 40 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš žalvaris (išorinis skersmuo 120 mm, vidinis skersmuo 50 mm, E = 100 GPa). Abu 300 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 80 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 80 kNstrypas: Ø40 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 15 kN1 ruožas: Ø35 mm, 2 m, plienas (E = 200 GPa)2 ruožas: Ø20 mm, 1 m, plienas (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (aliuminis) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 200 N·md = 50 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas perduoda 15 kW esant 1450 aps./min. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

P = 15 kWN = 1450 rpmd_o = 40 mmd_i = 20 mm

τ_max = MPa

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 0,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 4 mw = 2 kN/m nuo 0 iki 4 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Laisvai atremta sija dalyje tarpatramio apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą M_max.

L = 6 mw = 24 kN/m nuo 3 iki 5 m

M_max = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 100 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 40 kN·m. Raskite lenkimo įtempį σ_apačia apatiniame krašte.

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 280 mmM = 40 kN·m

σ_apačia = MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 160 MPa, σᵧ = −20 MPa ir τₓᵧ = −50 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_p nuo x ašies iki didžiausio pagrindinio įtempio krypties, intervale nuo −90° iki 90°.

σ_x = 160 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_p = °

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = −50 MPa, σᵧ = 50 MPa ir τₓᵧ = −30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 60° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = −50 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

L ilgio gembė įtvirtinta taške A ir apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 0,5 m atstumu nuo A. Raskite įlinkį δ_B laisvajame gale B.

P = 5 kNa = 0,5 mL = 2 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P tarpatramio viduryje. Taikydami superpoziciją, raskite įlinkį viduryje δ_max.

P = 30 kNw = 4 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (plienas)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 60 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 60 kNn = 2,5L = 3 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,02024 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·9346 = 1,186 × 10⁹ N

Sutrumpėjimas

δ = 80000·300/1,186 × 10⁹ = 0,02024 mm

Atsakymas

δ = 0,02024 mm

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,3946 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 15,59 MPa

σ₂ = 47,75 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 15,59·2000/200000 = 0,1559 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 47,75·1000/200000 = 0,2387 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,3946 mm

Atsakymas

δ = 0,3946 mm

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 2,155 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 200·1000·3000/(26000·613592) = 0,03761 rad

φ = 0,03761·180/π = 2,155°

Atsakymas

φ = 2,155°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 8,385 MPa

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 15000/151,8 = 98,79 N·m

Polinis inercijos momentas

J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴

Didžiausias tangentinis įtempis

τ_max = T·(d_o/2)/J = 98786·20/235619 = 8,385 MPa

Atsakymas

τ_max = 8,385 MPa

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 1,75 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, veikianti taške x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 2·4·2

R_B = 16/4 = 4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 8 − 4 = 4 kN

Perpjaukite ties x = 0,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 4·0,5 − 2·0,5·0,25 = 1,75 kN·m

Atsakymas

M_x = 1,75 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_max = 53,33 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 24·2 = 48 kN, veikianti taške x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 24·2·4

R_B = 192/6 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 32 = 16 kN

Nulinė skersinė jėga

Skersinė jėga prasideda nuo R_A, neapkrautuose ruožuose išlieka pastovi, o apkrovos ruože mažėja nuolydžiu w.

R_A − w·(x₀ − 3) = 0

x₀ = 3 + 16/24 = 3,667 m

Didžiausias momentas

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 3)²/2 = 16·3,667 − 24·0,6667²/2 = 53,33 kN·m

Atsakymas

M_max = 53,33 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 28,22 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 100·15 = 1500 mm², y_f = 260 + 15/2 = 267,5 mm

sienelė: A_w = 8·260 = 2080 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1500·267,5 + 2080·130)/3580 = 187,6 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 100·15³/12 + 1500·(267,5 − 187,6)² = 9,601 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 8·260³/12 + 2080·(130 − 187,6)² = 1,862 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,601 × 10⁶ + 1,862 × 10⁷ = 2,822 × 10⁷ mm⁴ = 28,22 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 28,22 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_apačia = 102,8 MPa

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 100·20 = 2000 mm², y_f = 280 + 20/2 = 290 mm

sienelė: A_w = 20·280 = 5600 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·290 + 5600·140)/7600 = 179,5 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 100·20³/12 + 2000·(290 − 179,5)² = 2,45 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 20·280³/12 + 5600·(140 − 179,5)² = 4,531 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,45 × 10⁷ + 4,531 × 10⁷ = 6,981 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Apatinis kraštas yra ȳ atstumu nuo ašies.

y = 179,5 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·179,5/6,981 × 10⁷ = 102,8 MPa

Atsakymas

σ_apačia = 102,8 MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_p = −14,53 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Kampas apskritime

Moro apskritime taškas x yra kampu 2θp nuo σ ašies; ketvirtis priklauso nuo σₓ − σᵧ ir τₓᵧ ženklų.

2θ_p = atan2(2·−50, 160 − −20) = −29,05°

Kampas elemente

θ_p = −14,53°

Atsakymas

θ_p = −14,53°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = −0,9808 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = 0 + −50·−0,5 + −30·0,866 = −0,9808 MPa

Atsakymas

σ_θ = −0,9808 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_B = 1,24 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 5000 N, a = 500 mm, L = 2000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Laisvojo galo įlinkis

Įlinkis po apkrova plius posūkio kampas po apkrova, padaugintas iš likusio ilgio.

δ_P = Pa³/(3EI) = 0,2255 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,0006764 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 1,24 mm

Atsakymas

δ_B = 1,24 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 1,405 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 30000 N, w = 4 N/mm, L = 2500 mm, EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δ_P = PL³/(48EI) = 30000·2500³/(48·8,4 × 10¹²) = 1,163 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·2500⁴/(384·8,4 × 10¹²) = 0,2422 mm

Sudėkite

δ_max = 1,163 + 0,2422 = 1,405 mm

Atsakymas

δ_max = 1,405 mm

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 24,22 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·5000 = 5000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/5000² = 24224 N = 24,22 kN

Atsakymas

P_cr = 24,22 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 61,1 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2,5·60000 = 150000 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 61,1 mm

Atsakymas

d = 61,1 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 196,4, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials