Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite strypo (žalvaris) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 100 kNd = 30 mmL = 2 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas atkarpa (skersmuo 40 mm, ilgis 400 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš bronza (skersmuo 50 mm, ilgis 400 mm, E = 110 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 30 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ₂.

1 atkarpa: plienas, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: bronza, Ø50 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Velenų sukimasVidutinis

Pakopinis pilnaviduris velenas (plienas) įtvirtintas taške A. Ruožo AB skersmuo 30 mm, ilgis 1,5 m; ruožo BC skersmuo 25 mm, ilgis 1,2 m. Laisvajame gale C veikia 200 N·m sukimo momentas. Raskite galo C sukimo kampą φ_C laipsniais.

T = 200 N·md₁ = 30 mm, L₁ = 1,5 md₂ = 25 mm, L₂ = 1,2 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (žalvaris) perduoda 10 kW esant 1500 rpm. Tangentinis įtempis negali viršyti 75 MPa, o santykinis sukimo kampas – 0,75°/m. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį abi sąlygas.

P = 10 kWN = 1500 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

50 kN @ 2 m4 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

35 kN @ 0 m30 kN @ 6 m30 kN @ 2 m8 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

100 mm × 150 mm plokštė turi apvalią 60 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 60 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 100 mmh = 150 mmd = 60 mmskylės centras: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 30 kN·m. Raskite lenkimo įtempio σ_viršus dydį viršutiniame krašte.

b_f = 300 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 180 mmM = 30 kN·m

σ_viršus = MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 80 MPa, σᵧ = −60 MPa ir τₓᵧ = −20 MPa (tempimas teigiamas). Elementas pasukamas 45° pagal laikrodžio rodyklę. Raskite normalinį įtempį σ_y′ pasukto elemento sienelėse, statmenose pasuktajai y′ ašiai.

σ_x = 80 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −20 MPaθ = -45°

σ_y′ = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = −20 MPa, σᵧ = −80 MPa ir τₓᵧ = −40 MPa (tempimas teigiamas). Raskite tangentinį įtempį τ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 15° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies (teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σ_x = −20 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 15°

τ_θ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią įlinkį δ_max tarpatramio viduryje.

w = 2 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P tarpatramio viduryje. Taikydami superpoziciją, raskite įlinkį viduryje δ_max.

P = 27 kNw = 5 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 3 mE = 200 GPa (plienas)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 2,829 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 100·1000/706,9 = 141,5 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for žalvaris = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 141,5/100000 = 0,001415 = 1415 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,001415·2000 mm = 2,829 mm

Atsakymas

δ = 2,829 mm

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ₂ = 7,062 MPa

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Standumai

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm

k₂ = 110000·1963/400 = 539961 N/mm

2 atkarpos dalis

F₂ = 30000·539961/1,168 × 10⁶ = 13866 N

Įtempis

σ₂ = 13866/1963 = 7,062 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ₂ = 7,062 MPa

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ_C = 7,184 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Poliniai inercijos momentai

J₁ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Kiekvieno ruožo sukimo kampas

T = 200 N·m = 200000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 200000·1500/(80000·79522) = 0,04716 rad

φ_BC = 200000·1200/(80000·38350) = 0,07823 rad

Bendras sukimo kampas

φ_C = 0,04716 + 0,07823 = 0,1254 rad = 7,184°

Atsakymas

φ_C = 7,184°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 33,57 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 10000/157,1 = 63,66 N·m

Skersmuo pagal stiprumą

T = 63,66 N·m = 63662 N·mm

d_τ = ∛(16·63662/(π·75)) = 16,29 mm

Skersmuo pagal standumą

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·63662/(π·39000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 33,57 mm

Lemiamasis skersmuo

Turi būti tenkinamos abi sąlygos, todėl lemia didesnis skersmuo.

d = max(16,29, 33,57) = 33,57 mm

Atsakymas

d = 33,57 mm

Čia lemia standumas.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: C (x = 2 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 44 kN, R₂ = 22 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 42, M_C = 80 kN·m, M_D = 64, M_E = 44, M_F = 22, M_G = 0

Atsakymas

Žymė C: M_C = 80 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: B (x = 1 m)

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 74,75 kN, R₂ = 52,25 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = −35 kN·m, M_C = 0,75, M_D = −1,5, M_E = −11,75, M_F = −30, M_G = 0

Atsakymas

Žymė B: M_B = −35 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 26,7 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio I_c = bh³/12, o skritulio I_c = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (15000·75 − 2827·60)/(15000 − 2827) = 78,48 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

100·150³/12 + 15000·−3,484² = 28,31 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

π·60⁴/64 + 2827·−18,48² = 1,602 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 26,7 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 26,7 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_viršus = 73,4 MPa

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 300·10 = 3000 mm², y_f = 180 + 10/2 = 185 mm

sienelė: A_w = 16·180 = 2880 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·185 + 2880·90)/5880 = 138,5 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 300·10³/12 + 3000·(185 − 138,5)² = 6,52 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 16·180³/12 + 2880·(90 − 138,5)² = 1,454 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,52 × 10⁶ + 1,454 × 10⁷ = 2,106 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Viršutinis kraštas yra h − ȳ atstumu nuo ašies.

y = 190 − 138,5 = 51,53 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·51,53/2,106 × 10⁷ = 73,4 MPa

Atsakymas

σ_viršus = 73,4 MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_y′ = −10 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Transformacijos lygtis y′ sienelei

σ_y′ = 10 − 70·0 − (−20)·(−1) = −10 MPa

Patikra

Normalinių įtempių suma sukant elementą nekinta.

σ_x′ = 30 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 20 = σ_x + σ_y

Atsakymas

σ_y′ = −10 MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_θ = −49,64 MPa

Transformacijos lygtis

τ_θ = −30·0,5 + −40·0,866 = −49,64 MPa

Atsakymas

τ_θ = −49,64 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 1,211 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 2500 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Įlinkis

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·2500⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 1,211 mm

Atsakymas

δ_max = 1,211 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 51,6 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 27000 N, w = 5 N/mm, L = 6000 mm, EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δ_P = PL³/(48EI) = 27000·6000³/(48·3,99 × 10¹²) = 30,45 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·6000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 21,15 mm

Sudėkite

δ_max = 30,45 + 21,15 = 51,6 mm

Atsakymas

δ_max = 51,6 mm

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 42,64 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/2500² = 42637 N = 42,64 kN

Atsakymas

P_cr = 42,64 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 87,73 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/10 = 150

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/150² = 87,73 MPa

Atsakymas

σ_cr = 87,73 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials