Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

plienas strypas (skersmuo 20 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš žalvaris (išorinis skersmuo 100 mm, vidinis skersmuo 70 mm, E = 100 GPa). Abu 300 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 150 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 150 kNstrypas: Ø20 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø100/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas atkarpa (skersmuo 30 mm, ilgis 400 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš bronza (skersmuo 60 mm, ilgis 400 mm, E = 110 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 60 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ₂.

1 atkarpa: plienas, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: bronza, Ø60 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (žalvaris) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 400 N·md = 25 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (žalvaris), kurio skersmuo 30 mm, įtvirtintas taške A. Taške B, 3 m atstumu nuo A, veikia 250 N·m sukimo momentas, o laisvajame gale C, dar 1,2 m toliau, veikia priešinga kryptimi nukreiptas 750 N·m sukimo momentas. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

d = 30 mmT_B = 250 N·mT_C = 750 N·mAB = 3 mBC = 1,2 m

τ_max = MPa

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Laisvai atremtą siją veikia tik jėgų pora M₀ = 35 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, esanti x = 9 m atstumu nuo A. Raskite lenkimo momentą M_x iš karto dešiniau jėgų poros. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 10 mM₀ = 35 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, ties 9 m

M_x = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 1,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 6 mP = 30 kN ties 1,5 mw = 10 kN/m nuo 0 iki 6 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

100 mm × 150 mm plokštė turi apvalią 30 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 60 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 100 mmh = 150 mmd = 30 mmskylės centras: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 30 kN·m. Raskite lenkimo įtempį σ_apačia apatiniame krašte.

b_f = 260 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 120 mmM = 30 kN·m

σ_apačia = MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 140 MPa, σᵧ = 90 MPa ir τₓᵧ = 60 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_p nuo x ašies iki didžiausio pagrindinio įtempio krypties, intervale nuo −90° iki 90°.

σ_x = 140 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 160 MPa, σᵧ = 100 MPa ir τₓᵧ = 20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 30° pagal laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = 160 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 20 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią įlinkį δ_max tarpatramio viduryje.

w = 2 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis negali viršyti tarpatramis/360. Raskite mažiausią inercijos momentą I_req, tenkinantį šią sąlygą.

w = 5 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (plienas)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Ji turi atlaikyti 40 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 40 kNn = 2,5L = 2 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,09711 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·4006 = 4,634 × 10⁸ N

Sutrumpėjimas

δ = 150000·300/4,634 × 10⁸ = 0,09711 mm

Atsakymas

δ = 0,09711 mm

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ₂ = 14,59 MPa

Standumai

k₁ = 200000·706,9/400 = 353429 N/mm

k₂ = 110000·2827/400 = 777544 N/mm

2 atkarpos dalis

F₂ = 60000·777544/1,131 × 10⁶ = 41250 N

Įtempis

σ₂ = 41250/2827 = 14,59 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ₂ = 14,59 MPa

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 18,39 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1200/(39000·38350) = 0,3209 rad

φ = 0,3209·180/π = 18,39°

Atsakymas

φ = 18,39°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 141,5 MPa

Vidiniai sukimo momentai

T_C kryptis laikoma teigiama.

T_BC = T_C = 750 N·m

T_AB = T_C − T_B = 750 − 250 = 500 N·m

Didžiausias tangentinis įtempis

Ruože su didžiausiu vidiniu sukimo momentu įtempis didžiausias (skersmuo tas pats).

|T|_max = 750 N·m

τ_max = 16·750000/(π·30³) = 141,5 MPa

Atsakymas

τ_max = 141,5 MPa

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 3,5 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Pridėta jėgų pora lenkimo momentų diagramoje sukelia šuolį, lygų poros dydžiui.

Atramų reakcijos

Momentai taško A atžvilgiu, prieš laikrodžio rodyklę teigiami: R_B·L − M₀ = 0. Vertikalioji pusiausvyra: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 35/10 = 3,5 kN (aukštyn)

R_A = −R_B = −3,5 kN (žemyn)

Pjūvis iš karto dešiniau jėgų poros

Kairiojoje dalyje dabar yra R_A ir jėgų pora.

M_x = R_A·a + M₀ = −3,5·9 + 35 = 3,5 kN·m

Atsakymas

M_x = 3,5 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 67,5 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, veikianti taške x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·1,5 + 10·6·3

R_B = 225/6 = 37,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 37,5 = 52,5 kN

Perpjaukite ties x = 1,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 52,5·1,5 − 10·1,5·0,75 = 67,5 kN·m

Atsakymas

M_x = 67,5 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 27,92 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio I_c = bh³/12, o skritulio I_c = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (15000·75 − 706,9·60)/(15000 − 706,9) = 75,74 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

100·150³/12 + 15000·−0,7418² = 28,13 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

π·30⁴/64 + 706,9·−15,74² = 0,2149 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 27,92 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 27,92 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_apačia = 333,5 MPa

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 260·25 = 6500 mm², y_f = 120 + 25/2 = 132,5 mm

sienelė: A_w = 16·120 = 1920 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6500·132,5 + 1920·60)/8420 = 116 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 260·25³/12 + 6500·(132,5 − 116)² = 2,115 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 16·120³/12 + 1920·(60 − 116)² = 8,318 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,115 × 10⁶ + 8,318 × 10⁶ = 1,043 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Apatinis kraštas yra ȳ atstumu nuo ašies.

y = 116 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·116/1,043 × 10⁷ = 333,5 MPa

Atsakymas

σ_apačia = 333,5 MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_p = 33,69 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Kampas apskritime

Moro apskritime taškas x yra kampu 2θp nuo σ ašies; ketvirtis priklauso nuo σₓ − σᵧ ir τₓᵧ ženklų.

2θ_p = atan2(2·60, 140 − 90) = 67,38°

Kampas elemente

θ_p = 33,69°

Atsakymas

θ_p = 33,69°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = 127,7 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = 130 + 30·0,5 + 20·−0,866 = 127,7 MPa

Atsakymas

σ_θ = 127,7 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 19,18 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Įlinkis

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·6000⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 19,18 mm

Atsakymas

δ_max = 19,18 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: I_req = 60 × 10⁶ mm⁴

Įlinkio riba

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Reikiamas inercijos momentas

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·8000⁴/(384·200000·22,22) = 6 × 10⁷ mm⁴

I_req = 60 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_req = 60 × 10⁶ mm⁴

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 14,02 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1400² = 14015 N = 14,02 kN

Atsakymas

P_cr = 14,02 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 37,71 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2,5·40000 = 100000 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 37,71 mm

Atsakymas

d = 37,71 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 148,5, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials