Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis
σ = F/A
Deformacija
ε = ΔL/L
Huko dėsnis
σ = E·ε
Pailgėjimas
ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija
εT = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis
τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas
J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas
φ = TL/(GJ)
Galia
P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

  1. Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
  2. Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
  3. Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
  4. Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8

Metodas

  1. Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
  2. Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
  3. Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
  4. Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Stačiakampis
I = bh³/12
Šteinerio teorema
I = Ic + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras
C = (σx + σy)/2
Spindulys
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Pagrindiniai įtempiai
σ1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Pasvirasis pjūvis
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metodas

  1. Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
  2. Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
  4. Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje
δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija
δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale
δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija
δ = δ1 + δ2

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis
Ø 20 mmPlienas2,5 mP = 80 kN

Raskite ašinę deformaciją ε strype (plienas) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 80 kNd = 20 mmL = 2,5 mE = 200 GPa
ε = µε
2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus
Ø 30 mmPlienas1,5 mØ 12 mmŽalvaris2 mP = 30 kN

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 30 kN1 ruožas: Ø30 mm, 1,5 m, plienas (E = 200 GPa)2 ruožas: Ø12 mm, 2 m, žalvaris (E = 100 GPa)
δ = mm
3.Velenų sukimasVidutinis
T = 100 N·md = 20 mmL = 2 mφ = ?

Pilnaviduris velenas (žalvaris) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 100 N·md = 20 mmL = 2 mG = 39 GPa
φ = °
4.Velenų sukimasSunkus
Td = ?

Pilnaviduris velenas turi perduoti 15 kW esant 3000 aps./min, o tangentinis įtempis negali viršyti 60 MPa. Raskite mažiausią tinkamą skersmenį d.

P = 15 kWN = 3000 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
P1​ = 65 kNP2​ = 45 kNAB1,5 m0,5 m3 m

Laisvai atremta sija apkrauta dviem sutelktosiomis jėgomis. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą Mmax.

L = 5 mP1 = 65 kN ties 1,5 mP2 = 45 kN ties 2 m
Mmax = kN·m
6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
w = 8 kN/mP = 45 kNABpjūvis1,5 m2,5 m

Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 1,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 4 mP = 45 kN ties 1,5 mw = 8 kN/m nuo 0 iki 4 mx = 1,5 m
Mx = kN·m
7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis
3002016016xmatmenys mm

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

bf = 300 mmtf = 20 mmtw = 16 mmhw = 160 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus
200500208xM = 150 kN·mmatmenys mm

Simetriško dvitėjo skerspjūvio lentynos yra 200 mm pločio ir 20 mm storio, bendrasis aukštis 500 mm, o sienelės storis 8 mm. Jį veikia 150 kN·m lenkimo momentas ašies x atžvilgiu. Raskite didžiausio lenkimo įtempio didumą σmax skerspjūvyje.

B = 200 mmH = 500 mmtf = 20 mmtw = 8 mmM = 150 kN·m
σmax = MPa
9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis
σx​ = −20σy​ = −20τxy​ = −60MPa

Apkrautos detalės taške σₓ = −20 MPa, σᵧ = −20 MPa ir τₓᵧ = −60 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θp nuo x ašies iki didžiausio pagrindinio įtempio krypties, intervale nuo −90° iki 90°.

σx = −20 MPaσy = −20 MPaτxy = −60 MPa
θp = °
10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus
σx​ = −70σy​ = 80τxy​ = 20MPa

Apkrautos detalės taške σₓ = −70 MPa, σᵧ = 80 MPa ir τₓᵧ = 20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite tangentinį įtempį τθ pjūvyje, kurio normalė pasukta 35° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies (teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σx = −70 MPaσy = 80 MPaτxy = 20 MPaθ = 35°
τθ = MPa
11.Sijos įlinkisVidutinis
w = 15 kN/mδL = 4 m

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią įlinkį δmax tarpatramio viduryje.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (plienas)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Sijos įlinkisSunkus
w = 2,5 kN/mABδ5 m

Laisvai atremta stačiakampio skerspjūvio medinė sija, 100 mm pločio, visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis tarpatramio viduryje negali viršyti tarpatramis/250. Raskite mažiausią skerspjūvio aukštį hreq.

w = 2,5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)b = 100 mm
hreq = mm
13.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 3 m30 × 40 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 3 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
14.Kolonų klupimasSunkus
PL = 6 md = 80 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σcr pagal Oilerio formulę.

L = 6 mE = 200 GPa (plienas)d = 80 mm
σcr = MPa

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 1273 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 80·1000/314,2 = 254,6 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for plienas = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 254,6/200000 = 0,001273 = 1273 µε

Atsakymas

ε = 1273 µε
2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 5,623 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 42,44 MPa
σ2 = 265,3 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ1 = σ1L1/E1 = 42,44·1500/200000 = 0,3183 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 265,3·2000/100000 = 5,305 mm
δ = δ1 + δ2 = 5,623 mm

Atsakymas

δ = 5,623 mm
3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 18,71 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2000/(39000·15708) = 0,3265 rad
φ = 0,3265·180/π = 18,71°

Atsakymas

φ = 18,71°
4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 15,94 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s
T = P/ω = 15000/314,2 = 47,75 N·m

Skersmuo pagal leistinąjį įtempį

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·47746/(π·60)) = 15,94 mm

Atsakymas

d = 15,94 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mmax = 112,5 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

ΣMA = 0: RB·5 = 65·1,5 + 45·2
RB = 187,5/5 = 37,5 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 37,5 = 72,5 kN

Momentas po kiekviena apkrova

Palikite dalį kairiau kiekvienos apkrovos.

po P1: M = RA·1,5 = 72,5·1,5 = 108,8 kN·m
po P2: M = RB·3 = 37,5·3 = 112,5 kN·m

Didžiausia reikšmė

Mmax = 112,5 kN·m (po P2)

Atsakymas

Mmax = 112,5 kN·m
6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mx = 57,19 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, veikianti taške x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 45·1,5 + 8·4·2
RB = 131,5/4 = 32,88 kN
ΣFy = 0: RA = 77 − 32,88 = 44,13 kN
w = 8 kN/mP = 45 kNABRA​ = 44,13RB​ = 32,88pjūvis1,5 m2,5 m

Perpjaukite ties x = 1,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = RA·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)
Mx = 44,13·1,5 − 8·1,5·0,75 = 57,19 kN·m

Atsakymas

Mx = 57,19 kN·m
7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: Ix = 20,2 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: Af = 300·20 = 6000 mm², yf = 160 + 20/2 = 170 mm
sienelė: Aw = 16·160 = 2560 mm², yw = 160/2 = 80 mm

Svorio centras

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6000·170 + 2560·80)/8560 = 143,1 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 300·20³/12 + 6000·(170 − 143,1)² = 4,547 × 10⁶ mm⁴
sienelė: 16·160³/12 + 2560·(80 − 143,1)² = 1,565 × 10⁷ mm⁴
Ix = 4,547 × 10⁶ + 1,565 × 10⁷ = 2,02 × 10⁷ mm⁴ = 20,2 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

Ix = 20,2 × 10⁶ mm⁴
8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σmax = 71,3 MPa

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Išorinis stačiakampis atėmus dvi šonines išpjovas

Abi išpjovos kartu yra (B − tw) pločio ir hw = H − 2tf aukščio, o jų ašis ta pati – x.

hw = 500 − 2·20 = 460 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (200·500³ − 192·460³)/12
Ix = 5,26 × 10⁸ mm⁴

Lenkimo įtempis

y = 250 mm
σ = M·y/I = 1,5 × 10⁸·250/5,26 × 10⁸ = 71,3 MPa

Atsakymas

σmax = 71,3 MPa
9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θp = −45 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

στxyCσ1​σ2​

Kampas apskritime

Moro apskritime taškas x yra kampu 2θp nuo σ ašies; ketvirtis priklauso nuo σₓ − σᵧ ir τₓᵧ ženklų.

2θp = atan2(2·−60, −20 − −20) = −90°

Kampas elemente

θp = −45°

Atsakymas

θp = −45°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τθ = 77,32 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Transformacijos lygtis

τθ = −−75·0,9397 + 20·0,342 = 77,32 MPa

Atsakymas

τθ = 77,32 MPa
11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δmax = 20,83 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 4000 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Įlinkis

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·4000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 20,83 mm

Atsakymas

δmax = 20,83 mm
12.Sijos įlinkis

Atsakymas: hreq = 223,1 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Įlinkio riba

δallow = L/250 = 5000/250 = 20 mm

Reikiamas inercijos momentas

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2,5·5000⁴/(384·11000·20) = 9,248 × 10⁷ mm⁴

Reikiamas aukštis

bh³/12 = Ireq → h = (12·9,248 × 10⁷/100)1/3 = 223,1 mm

Atsakymas

hreq = 223,1 mm

Praktikoje parinkite artimiausią didesnį standartinį aukštį.

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 6,909 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

Imin = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·3000 = 3000 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·90000/3000² = 6909 N = 6,909 kN

Atsakymas

Pcr = 6,909 kN
14.Kolonų klupimas

Atsakymas: σcr = 87,73 MPa

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0,5·6000 = 3000 mm
KL/r = 3000/20 = 150

Kritinis įtempis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/150² = 87,73 MPa

Atsakymas

σcr = 87,73 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials