Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite ašinę deformaciją ε strype (varis) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 90 kNd = 25 mmL = 2,5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 105 kN1 ruožas: Ø35 mm, 1,5 m, žalvaris (E = 100 GPa)2 ruožas: Ø16 mm, 1 m, plienas (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (aliuminis) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 400 N·md = 50 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (žalvaris) perduoda 30 kW esant 1500 rpm. Tangentinis įtempis negali viršyti 75 MPa, o santykinis sukimo kampas – 0,75°/m. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį abi sąlygas.

P = 30 kWN = 1500 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Gembė įtvirtinta taške A. Ją visu ilgiu veikia tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktoji jėga P, esanti 1 m atstumu nuo A. Raskite lenkimo momentą M_A įtvirtinime A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 3 mP = 60 kN ties 1 mw = 4 kN/m nuo 0 iki 3 m

M_A = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą M_max.

L = 8 mP = 70 kN ties 1 mw = 10 kN/m nuo 0 iki 8 m

M_max = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Tuščiavidurio stačiakampio (dėžinio) skerspjūvio išorinis plotis B = 240 mm, išorinis aukštis H = 375 mm, o sienelių storis vienodas t = 14 mm. Raskite jo inercijos spindulį r horizontaliosios centrinės ašies atžvilgiu.

B = 240 mmH = 375 mmt = 14 mm

r = mm

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 5 kN·m. Raskite lenkimo įtempio σ_viršus dydį viršutiniame krašte.

b_f = 140 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 240 mmM = 5 kN·m

σ_viršus = MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = −50 MPa, σᵧ = 10 MPa ir τₓᵧ = 40 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = −50 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = −40 MPa, σᵧ = 100 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Medžiagos takumo riba 355 MPa. Raskite atsargos koeficientą n takumo atžvilgiu pagal fon Mizeso (formos keitimo energijos) kriterijų.

σ_x = −40 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

11.Sijos įlinkisVidutinis

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite laisvojo galo įlinkį δ.

w = 5 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta sutelktąja jėga P, esančia b = 1 m atstumu nuo atramos B. Raskite įlinkį δ_mid tarpatramio viduryje.

P = 15 kNb = 1 mL = 5 mE = 200 GPa (plienas)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 5 kN su 3 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 5 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 1567 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 90·1000/490,9 = 183,3 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for varis = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 183,3/117000 = 0,001567 = 1567 µε

Atsakymas

ε = 1567 µε

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 4,248 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 109,1 MPa

σ₂ = 522,2 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 109,1·1500/100000 = 1,637 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 522,2·1000/200000 = 2,611 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,248 mm

Atsakymas

δ = 4,248 mm

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 2,873 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 400·1000·2000/(26000·613592) = 0,05015 rad

φ = 0,05015·180/π = 2,873°

Atsakymas

φ = 2,873°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 44,18 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 30000/157,1 = 191 N·m

Skersmuo pagal stiprumą

T = 191 N·m = 190986 N·mm

d_τ = ∛(16·190986/(π·75)) = 23,49 mm

Skersmuo pagal standumą

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·190986/(π·39000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 44,18 mm

Lemiamasis skersmuo

Turi būti tenkinamos abi sąlygos, todėl lemia didesnis skersmuo.

d = max(23,49, 44,18) = 44,18 mm

Atsakymas

d = 44,18 mm

Čia lemia standumas.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_A = −78 kN·m

Palikite dalį su laisvuoju galu

P: −60·1 = −60 kN·m

w: −4·3²/2 = −18 kN·m

M_A = −60 − 18 = −78 kN·m

Atsakymas

M_A = −78 kN·m

Neigiamas reiškia neigiamą lenkimą: tempiami viršutiniai sluoksniai.

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_max = 118,8 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, veikianti taške x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 70·1 + 10·8·4

R_B = 390/8 = 48,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 150 − 48,75 = 101,3 kN

Kur V = 0?

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (101,3 − 70)/10 = 3,125 m

Didžiausias momentas

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 1) − w·x₀²/2 = 118,8 kN·m

Atsakymas

M_max = 118,8 kN·m

Tai yra taške x = 3,125 m nuo A.

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: r = 138,8 mm

Inercijos momentas: stačiakampio inercijos momentas jo centrinės ašies atžvilgiu I = bh³/12, o pagrindo atžvilgiu bh³/3 (Šteinerio teorema I = I_c + A·d²). Angą įskaitykite atimdami jos I, jei abi dalys turi tą pačią ašį. Tamprusis atsparumo momentas S = I/c, kur c – atstumas iki kraštinio sluoksnio. Inercijos spindulys r = √(I/A) yra atstumas, kuriame sutelktas visas plotas duotų tą patį I; jis naudojamas kolonų klupumo skaičiavimuose.

Grynasis plotas ir inercijos momentas

b = 212 mm, h = 347 mm

A = BH − bh = 240·375 − 212·347 = 16436 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 3,165 × 10⁸ mm⁴

Inercijos spindulys

r = √(I/A) = √(3,165 × 10⁸/16436) = 138,8 mm

Atsakymas

r = 138,8 mm

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_viršus = 8,661 MPa

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 140·25 = 3500 mm², y_f = 240 + 25/2 = 252,5 mm

sienelė: A_w = 12·240 = 2880 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3500·252,5 + 2880·120)/6380 = 192,7 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 140·25³/12 + 3500·(252,5 − 192,7)² = 1,27 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 12·240³/12 + 2880·(120 − 192,7)² = 2,904 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,27 × 10⁷ + 2,904 × 10⁷ = 4,174 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Viršutinis kraštas yra h − ȳ atstumu nuo ašies.

y = 265 − 192,7 = 72,31 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·72,31/4,174 × 10⁷ = 8,661 MPa

Atsakymas

σ_viršus = 8,661 MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 50 MPa

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((−50 − 10)/2)² + 40²) = 50 MPa

Atsakymas

τ_max = 50 MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: n = 2,624

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Takumo kriterijai: pagal fon Mizesą takumas prasideda, kai σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) pasiekia σ_Y; pagal Treską – kai absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis pasiekia σ_Y/2.

Pagrindiniai įtempiai

C = 30 MPa, R = 76,16 MPa

σ₁ = 106,2 MPa, σ₂ = −46,16 MPa, σ₃ = 0

Fon Mizesas

σ_vM = √(106,2² − 106,2·(−46,16) + (−46,16)²) = 135,3 MPa

n = 355/135,3 = 2,624

Atsakymas

n = 2,624

n > 1 reiškia, kad taške takumas neprasideda; Treskos kriterijus kiek konservatyvesnis nei fon Mizeso.

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 25,25 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2000 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Įlinkis

δ = wL⁴/(8EI) = 5·2000⁴/(8·3,96 × 10¹¹) = 25,25 mm

Atsakymas

δ = 25,25 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_mid = 4,823 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 15000 N, b = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Įlinkis tarpatramio viduryje

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 15000·1000·(3·5000² − 4·1000²)/(48·4,6 × 10¹²) = 4,823 mm

Atsakymas

δ_mid = 4,823 mm

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 40,94 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/750² = 40941 N = 40,94 kN

Atsakymas

P_cr = 40,94 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 22,18 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 3·5000 = 15000 N

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·15000·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 22,18 mm

Atsakymas

d = 22,18 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 225,5, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials