Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis
σ = F/A
Deformacija
ε = ΔL/L
Huko dėsnis
σ = E·ε
Pailgėjimas
ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija
εT = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis
τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas
J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas
φ = TL/(GJ)
Galia
P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

  1. Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
  2. Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
  3. Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
  4. Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8

Metodas

  1. Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
  2. Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
  3. Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
  4. Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Stačiakampis
I = bh³/12
Šteinerio teorema
I = Ic + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras
C = (σx + σy)/2
Spindulys
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Pagrindiniai įtempiai
σ1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Pasvirasis pjūvis
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metodas

  1. Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
  2. Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
  4. Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje
δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija
δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale
δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija
δ = δ1 + δ2

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis
Ø 16 mmPlienas1 mP = 55 kN

Raskite strypo (plienas) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 55 kNd = 16 mmL = 1 mE = 200 GPa
δ = mm
2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus
20 kN12500 mm500 mmØ30Ø30σ2​ = ?

plienas atkarpa (skersmuo 30 mm, ilgis 500 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš žalvaris (skersmuo 30 mm, ilgis 500 mm, E = 100 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 20 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ2.

1 atkarpa: plienas, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: žalvaris, Ø30 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
3.Velenų sukimasVidutinis
T = 500 N·md = 40 mmL = 1,5 mφ = ?

Pilnaviduris velenas (plienas) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 500 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 80 GPa
φ = °
4.Velenų sukimasSunkus
do​ = ?50 kW, 500 rpm

Tuščiaviduris velenas turi perduoti 50 kW esant 500 rpm. Jo vidinio ir išorinio skersmenų santykis turi būti 0,6, o tangentinis įtempis negali viršyti 40 MPa. Raskite mažiausią išorinį skersmenį do.

P = 50 kWN = 500 rpmdi/do = 0,6τallow = 40 MPa
do = mm
5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
w = 6 kN/mP = 35 kNAB4 m

Gembė įtvirtinta taške A. Ją visu ilgiu veikia tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktoji jėga P, esanti 4 m atstumu nuo A. Raskite lenkimo momentą MA įtvirtinime A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 4 mP = 35 kN ties 4 mw = 6 kN/m nuo 0 iki 4 m
MA = kN·m
6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
8 kN/m35 kN30 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

35 kN @ 0 m30 kN @ 12 m8 kN/m, 2–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis
200 mm200 mm80 mmØ50xIx​ = ?

200 mm × 200 mm plokštė turi apvalią 50 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 80 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 200 mmh = 200 mmd = 50 mmskylės centras: y = 80 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus
120 mm200 mm70 mm40 × 20xIx​ = ?

120 mm × 200 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 40 mm pločio ir 20 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 70 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 120 mmh = 200 mmiškirpimas: 40 × 20 mmskylės centras: y = 70 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis
σx​ = 140σy​ = 30τxy​ = 20MPa

Taške σₓ = 140 MPa, σᵧ = 30 MPa ir τₓᵧ = 20 MPa (tempimas teigiamas). Elementas pasukamas 15° prieš laikrodžio rodyklę. Raskite normalinį įtempį σy′ pasukto elemento sienelėse, statmenose pasuktajai y′ ašiai.

σx = 140 MPaσy = 30 MPaτxy = 20 MPaθ = 15°
σy′ = MPa
10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus
σx​ = 30σy​ = 10τxy​ = −20MPa

Apkrautos detalės taške σₓ = 30 MPa, σᵧ = 10 MPa ir τₓᵧ = −20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite tangentinį įtempį τθ pjūvyje, kurio normalė pasukta 15° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies (teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σx = 30 MPaσy = 10 MPaτxy = −20 MPaθ = 15°
τθ = MPa
11.Sijos įlinkisVidutinis
w = 5 kN/mδL = 2,5 m

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią įlinkį δmax tarpatramio viduryje.

w = 5 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Sijos įlinkisSunkus
P = 20 kNAB2,5 m2,5 m

Papildomai atremta gembė įtvirtinta taške A ir laisvai atremta taške B. Tarpatramio viduryje ją veikia sutelktoji jėga P. EI pastovus. Raskite papildomos atramos reakciją RB.

L = 5 mP = 20 kN ties 2,5 m
RB = kN
13.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 6 md = 80 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 6 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 80 mm
Pcr = kN
14.Kolonų klupimasSunkus
PL = 4 md = 60 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σcr pagal Oilerio formulę.

L = 4 mE = 200 GPa (plienas)d = 60 mm
σcr = MPa

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 1,368 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 55·1000/201,1 = 273,5 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for plienas = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 273,5/200000 = 0,001368 = 1368 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,001368·1000 mm = 1,368 mm

Atsakymas

δ = 1,368 mm
2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ2 = 9,431 MPa

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, Pi = P·EiAi/ΣEA, o σi = Ei·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Standumai

k₁ = 200000·706,9/500 = 282743 N/mm
k₂ = 100000·706,9/500 = 141372 N/mm

2 atkarpos dalis

F2 = 20000·141372/424115 = 6667 N

Įtempis

σ2 = 6667/706,9 = 9,431 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ2 = 9,431 MPa
3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 2,137 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1500/(80000·251327) = 0,0373 rad
φ = 0,0373·180/π = 2,137°

Atsakymas

φ = 2,137°
4.Velenų sukimas

Atsakymas: do = 51,89 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s
T = P/ω = 50000/52,36 = 954,9 N·m

Išorinis skersmuo iš leistinojo įtempio

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·954930/(π·40·0,8704)) = 51,89 mm
di = 0,6·51,89 = 31,13 mm

Atsakymas

do = 51,89 mm

Pilnaviduriam velenui reikėtų d = 49,54 mm; tuščiaviduris kiek didesnis, bet daug lengvesnis.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: MA = −188 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Palikite dalį su laisvuoju galu

P: −35·4 = −140 kN·m
w: −6·4²/2 = −48 kN·m
MA = −140 − 48 = −188 kN·m

Atsakymas

MA = −188 kN·m

Neigiamas reiškia neigiamą lenkimą: tempiami viršutiniai sluoksniai.

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: B (x = 2 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R1 = 68,25 kN, R2 = 60,75 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

MA = 0, MB = −70 kN·m, MC = −19,5, MD = −1, ME = −14,5, MF = −60, MG = 0

Atsakymas

Žymė B: MB = −70 kN·m
7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: Ix = 132,2 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio Ic = bh³/12, o skritulio Ic = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (40000·100 − 1963·80)/(40000 − 1963) = 101 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

200·200³/12 + 40000·−1,032² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

π·50⁴/64 + 1963·−21,03² = 1,175 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

Ix = 132,2 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

Ix = 132,2 × 10⁶ mm⁴
8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: Ix = 79,23 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio Ic = bh³/12, o skritulio Ic = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (24000·100 − 800·70)/(24000 − 800) = 101 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

120·200³/12 + 24000·−1,034² = 80,03 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

40·20³/12 + 800·−31,03² = 0,7972 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

Ix = 79,23 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

Ix = 79,23 × 10⁶ mm⁴
9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σy′ = 27,37 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Transformacijos lygtis y′ sienelei

σy′ = 85 − 55·0,866 − 20·0,5 = 27,37 MPa

Patikra

Normalinių įtempių suma sukant elementą nekinta.

σx′ = 142,6 MPa, σx′ + σy′ = 170 = σx + σy

Atsakymas

σy′ = 27,37 MPa
10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τθ = −22,32 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Transformacijos lygtis

τθ = −10·0,5 + −20·0,866 = −22,32 MPa

Atsakymas

τθ = −22,32 MPa
11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δmax = 4,274 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2500 mm
EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Įlinkis

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2500⁴/(384·5,95 × 10¹¹) = 4,274 mm

Atsakymas

δmax = 4,274 mm
12.Sijos įlinkis

Atsakymas: RB = 6,25 kN

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija). Statiškai neišsprendžiamoje sijoje pašalinkite perteklinę atramą ir pareikalaukite, kad įlinkis toje vietoje būtų lygus nuliui (suderinamumas).

Pašalinkite papildomą atramą

Be papildomos atramos sija yra gembė. Jos laisvasis galas įlinktų nuo apkrovos.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Suderinamumas ties papildoma atrama

Vien papildomos atramos jėga RB pakelia laisvąjį galą dydžiu RBL³/(3EI). Atrama išlaiko B nulinį įlinkį, todėl abu dydžiai turi vienas kitą panaikinti. EI susiprastina.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·20/16 = 6,25 kN

Atsakymas

RB = 6,25 kN
13.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 9,646 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·6000 = 12000 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/12000² = 9646 N = 9,646 kN

Atsakymas

Pcr = 9,646 kN
14.Kolonų klupimas

Atsakymas: σcr = 56,65 MPa

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0,7·4000 = 2800 mm
KL/r = 2800/15 = 186,7

Kritinis įtempis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/186,7² = 56,65 MPa

Atsakymas

σcr = 56,65 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials