Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite ašinę deformaciją ε strype (varis) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 120 kNd = 10 mmL = 2 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 85 kN1 ruožas: Ø25 mm, 0,5 m, žalvaris (E = 100 GPa)2 ruožas: Ø12 mm, 2 m, varis (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Velenų sukimasVidutinis

Sukimo bandyme pilnaviduris bandinys, kurio skersmuo 15 mm, sukamas 75 N·m sukimo momentu. Abu 200 mm matavimo bazės galai vienas kito atžvilgiu pasisuka 2,16° (medžiaga dar tampri). Raskite medžiagos šlyties modulį G.

T = 75 N·md = 15 mmL = 200 mmφ = 2,16°

G = GPa

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas turi perduoti 75 kW esant 750 aps./min, o tangentinis įtempis negali viršyti 75 MPa. Raskite mažiausią tinkamą skersmenį d.

P = 75 kWN = 750 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 1 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 10 mw = 4 kN/m nuo 0 iki 10 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Sija remiasi į šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, o už B tęsiasi 2,5 m ilgio konsolė iki laisvojo galo C. Visą ilgį A–C veikia tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią teigiamą lenkimo momentą M_max tarp atramų.

L = 7,5 mw = 5 kN/m nuo 0 iki 7,5 matramos ties x = 0 ir x = 5 m

M_max = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Tuščiavidurio stačiakampio (dėžinio) skerspjūvio išorinis plotis B = 240 mm, išorinis aukštis H = 375 mm, o sienelių storis vienodas t = 6 mm. Raskite jo inercijos spindulį r horizontaliosios centrinės ašies atžvilgiu.

B = 240 mmH = 375 mmt = 6 mm

r = mm

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 10 kN·m. Raskite lenkimo įtempį σ_apačia apatiniame krašte.

b_f = 260 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 180 mmM = 10 kN·m

σ_apačia = MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 100 MPa, σᵧ = 0 MPa ir τₓᵧ = −10 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = 100 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −10 MPa

τ_max = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Pilnaviduris 25 mm skersmens velenas perduoda 30 kN ašinę tempimo jėgą kartu su 200 N·m sukimo momentu. Veleno paviršiuje raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

d = 25 mmF = 30 kNT = 200 N·m

τ_max = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią įlinkį δ_max tarpatramio viduryje.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (plienas)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta stačiakampio skerspjūvio medinė sija, 75 mm pločio, visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis tarpatramio viduryje negali viršyti tarpatramis/360. Raskite mažiausią skerspjūvio aukštį h_req.

w = 2 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)b = 75 mm

h_req = mm

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Ji turi atlaikyti 50 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 50 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 13059 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 120·1000/78,54 = 1528 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for varis = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 1528/117000 = 0,01306 = 13059 µε

Atsakymas

ε = 13059 µε

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 13,71 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 173,2 MPa

σ₂ = 751,6 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 173,2·500/100000 = 0,8658 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 751,6·2000/117000 = 12,85 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 13,71 mm

Atsakymas

δ = 13,71 mm

3.Velenų sukimas

Atsakymas: G = 80,06 GPa

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas ir kampas

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 2,16·π/180 = 0,0377 rad

Šlyties modulis

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·200/(4970·0,0377) = 80056 MPa

G = 80,06 GPa

Atsakymas

G = 80,06 GPa

Palyginimui: plienas ≈ 80 GPa, žalvaris ≈ 39 GPa, aliuminis ≈ 26 GPa.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 40,18 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 75000/78,54 = 954,9 N·m

Skersmuo pagal leistinąjį įtempį

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·954930/(π·75)) = 40,18 mm

Atsakymas

d = 40,18 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 18 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, veikianti taške x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 4·10·5

R_B = 200/10 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Perpjaukite ties x = 1 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 20·1 − 4·1·0,5 = 18 kN·m

Atsakymas

M_x = 18 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_max = 8,789 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra, įskaitant konsolės apkrovą.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 5·7,5 = 37,5 kN, veikianti taške x̄ = 3,75 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 5·7,5·3,75

R_B = 140,6/5 = 28,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 37,5 − 28,13 = 9,375 kN

Nulinė skersinė jėga

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 9,375/5 = 1,875 m

Didžiausias teigiamas momentas

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 9,375²/(2·5) = 8,789 kN·m

Atsakymas

M_max = 8,789 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: r = 142 mm

Inercijos momentas: stačiakampio inercijos momentas jo centrinės ašies atžvilgiu I = bh³/12, o pagrindo atžvilgiu bh³/3 (Šteinerio teorema I = I_c + A·d²). Angą įskaitykite atimdami jos I, jei abi dalys turi tą pačią ašį. Tamprusis atsparumo momentas S = I/c, kur c – atstumas iki kraštinio sluoksnio. Inercijos spindulys r = √(I/A) yra atstumas, kuriame sutelktas visas plotas duotų tą patį I; jis naudojamas kolonų klupumo skaičiavimuose.

Grynasis plotas ir inercijos momentas

b = 228 mm, h = 363 mm

A = BH − bh = 240·375 − 228·363 = 7236 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 1,459 × 10⁸ mm⁴

Inercijos spindulys

r = √(I/A) = √(1,459 × 10⁸/7236) = 142 mm

Atsakymas

r = 142 mm

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_apačia = 51 MPa

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 260·15 = 3900 mm², y_f = 180 + 15/2 = 187,5 mm

sienelė: A_w = 20·180 = 3600 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3900·187,5 + 3600·90)/7500 = 140,7 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 260·15³/12 + 3900·(187,5 − 140,7)² = 8,615 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 20·180³/12 + 3600·(90 − 140,7)² = 1,897 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,615 × 10⁶ + 1,897 × 10⁷ = 2,759 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Apatinis kraštas yra ȳ atstumu nuo ašies.

y = 140,7 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·140,7/2,759 × 10⁷ = 51 MPa

Atsakymas

σ_apačia = 51 MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 50,99 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((100 − 0)/2)² + −10²) = 50,99 MPa

Atsakymas

τ_max = 50,99 MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 72 MPa

Įtempiai paviršiuje

σ = F/A = 30000/(π·25²/4) = 30000/490,9 = 61,12 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·25³) = 65,19 MPa

Moro apskritimas

C = σ/2 = 30,56 MPa

R = √(30,56² + 65,19²) = 72 MPa

Atsakymas

τ_max = 72 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 4,521 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 5000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Įlinkis

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·5000⁴/(384·7,2 × 10¹²) = 4,521 mm

Atsakymas

δ_max = 4,521 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: h_req = 257,4 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Įlinkio riba

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Reikiamas inercijos momentas

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·5000⁴/(384·11000·13,89) = 1,065 × 10⁸ mm⁴

Reikiamas aukštis

bh³/12 = I_req → h = (12·1,065 × 10⁸/75)^1/3 = 257,4 mm

Atsakymas

h_req = 257,4 mm

Praktikoje parinkite artimiausią didesnį standartinį aukštį.

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 56,06 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/700² = 56060 N = 56,06 kN

Atsakymas

P_cr = 56,06 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 53,33 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2·50000 = 100000 N

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 53,33 mm

Atsakymas

d = 53,33 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 210, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials