Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

plienas strypas (skersmuo 30 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš aliuminis (išorinis skersmuo 120 mm, vidinis skersmuo 70 mm, E = 70 GPa). Abu 800 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 50 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 50 kNstrypas: Ø30 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas atkarpa (skersmuo 20 mm, ilgis 300 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš žalvaris (skersmuo 50 mm, ilgis 400 mm, E = 100 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 80 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ₂.

1 atkarpa: plienas, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: žalvaris, Ø50 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (plienas) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 250 N·md = 25 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas perduoda 100 kW esant 1800 aps./min. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

P = 100 kWN = 1800 rpmd_o = 40 mmd_i = 28 mm

τ_max = MPa

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Laisvai atremta sija apkrauta dviem sutelktosiomis jėgomis. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą M_max.

L = 8 mP₁ = 75 kN ties 2 mP₂ = 40 kN ties 3 m

M_max = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 3 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 5 mP = 25 kN ties 1,5 mw = 5 kN/m nuo 0 iki 5 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Simetriško dvitėjo skerspjūvio lentynos yra 120 mm pločio ir 24 mm storio, bendrasis aukštis 500 mm, o sienelės storis 10 mm. Raskite jo inercijos momentą I_x horizontaliosios centrinės ašies x atžvilgiu.

B = 120 mmH = 500 mmt_f = 24 mmt_w = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Ketaus sija turi pavaizduotą tėjinį skerspjūvį, lentyna viršuje. Leistinieji įtempiai: 30 MPa tempiant ir 90 MPa gniuždant. Raskite didžiausią teigiamą lenkimo momentą M_allow, kurį sija gali atlaikyti.

b_f = 300 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 100 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = −50 MPa, σᵧ = 90 MPa ir τₓᵧ = −20 MPa, σ_z = 0. Raskite absoliutųjį didžiausią tangentinį įtempį τ_abs taške (atsižvelgiant į visas plokštumas trijuose matmenyse).

σ_x = −50 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = −10 MPa, σᵧ = 50 MPa ir τₓᵧ = −20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite tangentinį įtempį τ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 45° pagal laikrodžio rodyklę nuo x ašies (teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σ_x = −10 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −20 MPaθ = -45°

τ_θ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

L ilgio gembė įtvirtinta taške A ir apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 2 m atstumu nuo A. Raskite įlinkį δ_P po apkrova.

P = 14 kNa = 2 mL = 5 mE = 200 GPa (plienas)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis negali viršyti tarpatramis/360. Raskite mažiausią inercijos momentą I_req, tenkinantį šią sąlygą.

w = 6 kN/mL = 8 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (plienas)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 90 kN su 3 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 90 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,06027 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·7461 = 6,637 × 10⁸ N

Sutrumpėjimas

δ = 50000·800/6,637 × 10⁸ = 0,06027 mm

Atsakymas

δ = 0,06027 mm

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ₂ = 28,56 MPa

Standumai

k₁ = 200000·314,2/300 = 209440 N/mm

k₂ = 100000·1963/400 = 490874 N/mm

2 atkarpos dalis

F₂ = 80000·490874/700313 = 56075 N

Įtempis

σ₂ = 56075/1963 = 28,56 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ₂ = 28,56 MPa

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 5,603 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1200/(80000·38350) = 0,09778 rad

φ = 0,09778·180/π = 5,603°

Atsakymas

φ = 5,603°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 55,56 MPa

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 100000/188,5 = 530,5 N·m

Polinis inercijos momentas

J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴

Didžiausias tangentinis įtempis

τ_max = T·(d_o/2)/J = 530516·20/190984 = 55,56 MPa

Atsakymas

τ_max = 55,56 MPa

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_max = 168,8 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 75·2 + 40·3

R_B = 270/8 = 33,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 33,75 = 81,25 kN

Momentas po kiekviena apkrova

Palikite dalį kairiau kiekvienos apkrovos.

po P₁: M = R_A·2 = 81,25·2 = 162,5 kN·m

po P₂: M = R_B·5 = 33,75·5 = 168,8 kN·m

Didžiausia reikšmė

M_max = 168,8 kN·m (po P₂)

Atsakymas

M_max = 168,8 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 30 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, veikianti taške x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·1,5 + 5·5·2,5

R_B = 100/5 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 20 = 30 kN

Perpjaukite ties x = 3 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 30·3 − 25·(3 − 1,5) − 5·3·1,5 = 30 kN·m

Atsakymas

M_x = 30 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 403,5 × 10⁶ mm⁴

Inercijos momentas: stačiakampio inercijos momentas jo centrinės ašies atžvilgiu I = bh³/12, o pagrindo atžvilgiu bh³/3 (Šteinerio teorema I = I_c + A·d²). Angą įskaitykite atimdami jos I, jei abi dalys turi tą pačią ašį. Tamprusis atsparumo momentas S = I/c, kur c – atstumas iki kraštinio sluoksnio.

Išorinis stačiakampis atėmus dvi šonines išpjovas

Abi išpjovos kartu yra (B − t_w) pločio ir h_w = H − 2t_f aukščio, o jų ašis ta pati – x.

h_w = 500 − 2·24 = 452 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·500³ − 110·452³)/12

I_x = 4,035 × 10⁸ mm⁴ = 403,5 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 403,5 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: M_allow = 1,44 kN·m

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Svorio centras

ȳ = (6000·110 + 1200·50)/7200 = 100 mm

viršutinė kraštinė: c = 120 − 100 = 20 mm

Inercijos momentas

I = 300·20³/12 + 6000·10² + 12·100³/12 + 1200·50² = 4,8 × 10⁶ mm⁴

Kiekvienos kraštinės leidžiamas momentas

Teigiamas lenkimas: viršus gniuždomas, apačia tempiama.

viršutinė kraštinė: M = 90·4,8 × 10⁶/20 = 21,6 kN·m

apatinė kraštinė: M = 30·4,8 × 10⁶/100 = 1,44 kN·m

Lemiamoji reikšmė

M_allow = min = 1,44 kN·m (apatinė kraštinė)

Atsakymas

M_allow = 1,44 kN·m

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_abs = 72,8 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Trijuose matmenyse absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis yra (σ_max − σ_min)/2 tarp visų trijų pagrindinių įtempių; plokščiajame įtempių būvyje trečiasis lygus nuliui.

Pagrindiniai įtempiai plokštumoje

C = 20 MPa, R = √((−70)² + (−20)²) = 72,8 MPa

σ₁ = 92,8 MPa, σ₂ = −52,8 MPa, σ_z = 0

Didžiausias iš trijų apskritimų

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(145,6, 92,8, 52,8)/2 = 72,8 MPa

Atsakymas

τ_abs = 72,8 MPa

Čia σ₁ ir σ₂ priešingų ženklų, todėl maksimumas plokštumoje R kartu yra ir absoliutusis maksimumas.

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_θ = −30 MPa

Transformacijos lygtis

τ_θ = −−30·−1 + −20·0 = −30 MPa

Atsakymas

τ_θ = −30 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_P = 1,556 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 14000 N, a = 2000 mm, L = 5000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Įlinkis po apkrova

δ_P = Pa³/(3EI) = 14000·2000³/(3·2,4 × 10¹³) = 1,556 mm

Atsakymas

δ_P = 1,556 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: I_req = 1309 × 10⁶ mm⁴

Įlinkio riba

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Reikiamas inercijos momentas

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·8000⁴/(384·11000·22,22) = 1,309 × 10⁹ mm⁴

I_req = 1309 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_req = 1309 × 10⁶ mm⁴

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 19,62 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2000² = 19621 N = 19,62 kN

Atsakymas

P_cr = 19,62 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 100,1 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 3·90000 = 270000 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 100,1 mm

Atsakymas

d = 100,1 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 239,8, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials