Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite strypo (aliuminis) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 20 kNd = 16 mmL = 3 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite didžiausią normalinį įtempį σ_max strype.

P = 100 kN1 ruožas: Ø35 mm, 0,5 m, plienas (E = 200 GPa)2 ruožas: Ø12 mm, 2 m, aliuminis (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Velenų sukimasVidutinis

Tuščiaviduris velenas (aliuminis; išorinis skersmuo 50 mm, vidinis skersmuo 30 mm, ilgis 3 m) viename gale įtvirtintas, o kitame sukamas 250 N·m sukimo momentu. Raskite sukimo kampą φ laipsniais.

T = 250 N·md_o = 50 mmd_i = 30 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas turi perduoti 50 kW esant 1500 rpm. Jo vidinio ir išorinio skersmenų santykis turi būti 0,8, o tangentinis įtempis negali viršyti 60 MPa. Raskite mažiausią išorinį skersmenį d_o.

P = 50 kWN = 1500 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

15 kN @ 4 m4 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą M_max.

L = 6 mP = 45 kN ties 5 mw = 8 kN/m nuo 0 iki 6 m

M_max = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

120 mm × 200 mm plokštė turi apvalią 50 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 130 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 120 mmh = 200 mmd = 50 mmskylės centras: y = 130 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

120 mm × 300 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 50 mm pločio ir 40 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 210 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 120 mmh = 300 mmiškirpimas: 50 × 40 mmskylės centras: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 80 MPa, σᵧ = 80 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (tempimas teigiamas). Elementas pasukamas 40° prieš laikrodžio rodyklę. Raskite normalinį įtempį σ_y′ pasukto elemento sienelėse, statmenose pasuktajai y′ ašiai.

σ_x = 80 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 40°

σ_y′ = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 160 MPa, σᵧ = 20 MPa ir τₓᵧ = 20 MPa (σ_z = 0). Medžiagos takumo riba 300 MPa. Raskite atsargos koeficientą n takumo atžvilgiu pagal fon Mizeso (formos keitimo energijos) kriterijų.

σ_x = 160 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 20 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

11.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią įlinkį δ_max tarpatramio viduryje.

w = 2 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Papildomai atremta gembė įtvirtinta taške A ir laisvai atremta taške B. Ją visu ilgiu veikia tolygiai išskirstyta apkrova w. EI pastovus. Raskite papildomos atramos reakciją R_B.

L = 3 mw = 12 kN/m

R_B = kN

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 2 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 4,263 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 20·1000/201,1 = 99,47 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for aliuminis = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 99,47/70000 = 0,001421 = 1421 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,001421·3000 mm = 4,263 mm

Atsakymas

δ = 4,263 mm

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ_max = 884,2 MPa

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 103,9 MPa

σ₂ = 884,2 MPa

Didžiausias įtempis

Plonesnio ruožo plotas mažesnis, todėl jame įtempis didesnis.

σ_max = 884,2 MPa

Atsakymas

σ_max = 884,2 MPa

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 3,095 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

Sukimo kampas

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 250000·3000/(26000·534071) = 0,05401 rad

φ = 0,05401·180/π = 3,095°

Atsakymas

φ = 3,095°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d_o = 35,77 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 50000/157,1 = 318,3 N·m

Išorinis skersmuo iš leistinojo įtempio

T = 318,3 N·m = 318310 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·318310/(π·60·0,5904)) = 35,77 mm

d_i = 0,8·35,77 = 28,62 mm

Atsakymas

d_o = 35,77 mm

Pilnaviduriam velenui reikėtų d = 30,01 mm; tuščiaviduris kiek didesnis, bet daug lengvesnis.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: E (x = 4 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 17 kN, R₂ = 22 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 15, M_C = 26, M_D = 33, M_E = 36 kN·m, M_F = 20, M_G = 0

Atsakymas

Žymė E: M_E = 36 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_max = 62,02 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, veikianti taške x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·5 + 8·6·3

R_B = 369/6 = 61,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 93 − 61,5 = 31,5 kN

Kur V = 0?

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 31,5/8 = 3,938 m

Didžiausias momentas

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 31,5·3,938 − 8·3,938²/2 = 62,02 kN·m

Atsakymas

M_max = 62,02 kN·m

Tai yra taške x = 3,938 m nuo A.

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 77,77 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio I_c = bh³/12, o skritulio I_c = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (24000·100 − 1963·130)/(24000 − 1963) = 97,33 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

120·200³/12 + 24000·2,673² = 80,17 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

π·50⁴/64 + 1963·32,67² = 2,403 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 77,77 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 77,77 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 262,1 × 10⁶ mm⁴

Svorio centras

ȳ = (36000·150 − 2000·210)/(36000 − 2000) = 146,5 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

120·300³/12 + 36000·3,529² = 270,4 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

50·40³/12 + 2000·63,53² = 8,339 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 262,1 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 262,1 × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_y′ = 50,46 MPa

Transformacijos lygtis y′ sienelei

σ_y′ = 80 − 0·0,1736 − 30·0,9848 = 50,46 MPa

Patikra

Normalinių įtempių suma sukant elementą nekinta.

σ_x′ = 109,5 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 160 = σ_x + σ_y

Atsakymas

σ_y′ = 50,46 MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: n = 1,936

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Takumo kriterijai: pagal fon Mizesą takumas prasideda, kai σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) pasiekia σ_Y; pagal Treską – kai absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis pasiekia σ_Y/2.

Pagrindiniai įtempiai

C = 90 MPa, R = 72,8 MPa

σ₁ = 162,8 MPa, σ₂ = 17,2 MPa, σ₃ = 0

Fon Mizesas

σ_vM = √(162,8² − 162,8·17,2 + 17,2²) = 154,9 MPa

n = 300/154,9 = 1,936

Atsakymas

n = 1,936

n > 1 reiškia, kad taške takumas neprasideda; Treskos kriterijus kiek konservatyvesnis nei fon Mizeso.

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 8,459 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 6000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Įlinkis

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·6000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 8,459 mm

Atsakymas

δ_max = 8,459 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: R_B = 13,5 kN

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija). Statiškai neišsprendžiamoje sijoje pašalinkite perteklinę atramą ir pareikalaukite, kad įlinkis toje vietoje būtų lygus nuliui (suderinamumas).

Pašalinkite papildomą atramą

Be papildomos atramos sija yra gembė. Jos laisvasis galas įlinktų nuo apkrovos.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Suderinamumas ties papildoma atrama

Vien papildomos atramos jėga R_B pakelia laisvąjį galą dydžiu R_BL³/(3EI). Atrama išlaiko B nulinį įlinkį, todėl abu dydžiai turi vienas kitą panaikinti. EI susiprastina.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·12·3/8 = 13,5 kN

Atsakymas

R_B = 13,5 kN

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 77,11 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·4000 = 4000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·625000/4000² = 77106 N = 77,11 kN

Atsakymas

P_cr = 77,11 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 69,09 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

KL/r = 1000/10 = 100

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Atsakymas

σ_cr = 69,09 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials