Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite ašinę deformaciją ε strype (žalvaris) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 15 kNd = 25 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 30 kN1 ruožas: Ø25 mm, 1,5 m, plienas (E = 200 GPa)2 ruožas: Ø12 mm, 1,5 m, varis (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (žalvaris) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 250 N·md = 25 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas turi perduoti 30 kW esant 750 aps./min, o tangentinis įtempis negali viršyti 80 MPa. Raskite mažiausią tinkamą skersmenį d.

P = 30 kWN = 750 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

60 kN @ 3 m60 kN @ 5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 4 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 6 mP = 50 kN ties 4 mw = 10 kN/m nuo 0 iki 6 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

150 mm × 200 mm plokštė turi apvalią 50 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 130 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 150 mmh = 200 mmd = 50 mmskylės centras: y = 130 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Ketaus sija turi pavaizduotą tėjinį skerspjūvį, lentyna viršuje. Leistinieji įtempiai: 35 MPa tempiant ir 100 MPa gniuždant. Raskite didžiausią teigiamą lenkimo momentą M_allow, kurį sija gali atlaikyti.

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 300 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 70 MPa, σᵧ = 10 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = 70 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 140 MPa, σᵧ = 70 MPa ir τₓᵧ = −10 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 40° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = 140 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 1 m atstumu nuo atramos A. Raskite įlinkį δ_P po apkrova.

P = 21 kNa = 1 mL = 4 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta stačiakampio skerspjūvio medinė sija, 75 mm pločio, visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis tarpatramio viduryje negali viršyti tarpatramis/250. Raskite mažiausią skerspjūvio aukštį h_req.

w = 2 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)b = 75 mm

h_req = mm

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (plienas)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 2 mE = 200 GPa (plienas)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 305,6 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 15·1000/490,9 = 30,56 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for žalvaris = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 30,56/100000 = 0,0003056 = 305,6 µε

Atsakymas

ε = 305,6 µε

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 3,859 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 61,12 MPa

σ₂ = 265,3 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 61,12·1500/200000 = 0,4584 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 265,3·1500/117000 = 3,401 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,859 mm

Atsakymas

δ = 3,859 mm

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 23,94 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2500/(39000·38350) = 0,4179 rad

φ = 0,4179·180/π = 23,94°

Atsakymas

φ = 23,94°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 28,97 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 30000/78,54 = 382 N·m

Skersmuo pagal leistinąjį įtempį

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·381972/(π·80)) = 28,97 mm

Atsakymas

d = 28,97 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: D (x = 3 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 40 kN, R₂ = 80 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 40, M_C = 80, M_D = 120 kN·m, M_E = 100, M_F = 80, M_G = 0

Atsakymas

Žymė D: M_D = 120 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 106,7 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, veikianti taške x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·4 + 10·6·3

R_B = 380/6 = 63,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 63,33 = 46,67 kN

Perpjaukite ties x = 4 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 46,67·4 − 10·4·2 = 106,7 kN·m

Atsakymas

M_x = 106,7 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 97,8 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio I_c = bh³/12, o skritulio I_c = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (30000·100 − 1963·130)/(30000 − 1963) = 97,9 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

150·200³/12 + 30000·2,101² = 100,1 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

π·50⁴/64 + 1963·32,1² = 2,33 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 97,8 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 97,8 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: M_allow = 7,535 kN·m

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Svorio centras

ȳ = (3000·307,5 + 2400·150)/5400 = 237,5 mm

viršutinė kraštinė: c = 315 − 237,5 = 77,5 mm

Inercijos momentas

I = 200·15³/12 + 3000·70² + 8·300³/12 + 2400·87,5² = 5,113 × 10⁷ mm⁴

Kiekvienos kraštinės leidžiamas momentas

Teigiamas lenkimas: viršus gniuždomas, apačia tempiama.

viršutinė kraštinė: M = 100·5,113 × 10⁷/77,5 = 65,98 kN·m

apatinė kraštinė: M = 35·5,113 × 10⁷/237,5 = 7,535 kN·m

Lemiamoji reikšmė

M_allow = min = 7,535 kN·m (apatinė kraštinė)

Atsakymas

M_allow = 7,535 kN·m

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 42,43 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((70 − 10)/2)² + 30²) = 42,43 MPa

Atsakymas

τ_max = 42,43 MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = 101,2 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = 105 + 35·0,1736 + −10·0,9848 = 101,2 MPa

Atsakymas

σ_θ = 101,2 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_P = 17,05 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 21000 N, a = 1000 mm, b = 3000 mm, L = 4000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Įlinkis po apkrova

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 21000·1000²·3000²/(3·9,24 × 10¹¹·4000) = 17,05 mm

Atsakymas

δ_P = 17,05 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: h_req = 159,5 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Įlinkio riba

δ_allow = L/250 = 3500/250 = 14 mm

Reikiamas inercijos momentas

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·3500⁴/(384·11000·14) = 2,538 × 10⁷ mm⁴

Reikiamas aukštis

bh³/12 = I_req → h = (12·2,538 × 10⁷/75)^1/3 = 159,5 mm

Atsakymas

h_req = 159,5 mm

Praktikoje parinkite artimiausią didesnį standartinį aukštį.

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 17,8 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2100² = 17797 N = 17,8 kN

Atsakymas

P_cr = 17,8 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 19,28 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/12,5 = 320

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/320² = 19,28 MPa

Atsakymas

σ_cr = 19,28 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials