Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite ašinę deformaciją ε strype (plienas) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 45 kNd = 25 mmL = 3 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas atkarpa (skersmuo 40 mm, ilgis 300 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš varis (skersmuo 50 mm, ilgis 500 mm, E = 120 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 30 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ₂.

1 atkarpa: plienas, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: varis, Ø50 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnavidurį 1,5 m ilgio veleną (aliuminis) veikia 1500 N·m sukimo momentas. Sukimo kampas tarp jo galų negali viršyti 1,5°. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį šią sąlygą.

T = 1500 N·mL = 1,5 mG = 26 GPaφ_allow = 1,5°

d = mm

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas turi perduoti 75 kW esant 500 rpm. Jo vidinio ir išorinio skersmenų santykis turi būti 0,8, o tangentinis įtempis negali viršyti 50 MPa. Raskite mažiausią išorinį skersmenį d_o.

P = 75 kWN = 500 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Laisvai atremtą siją veikia tik jėgų pora M₀ = 50 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, esanti x = 3,5 m atstumu nuo A. Raskite lenkimo momentą M_x iš karto kairiau jėgų poros. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 5 mM₀ = 50 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, ties 3,5 m

M_x = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

40 kN @ 6 m10 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

200 mm × 300 mm plokštė turi apvalią 30 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 90 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 200 mmh = 300 mmd = 30 mmskylės centras: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

150 mm × 240 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 40 mm pločio ir 20 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 96 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 150 mmh = 240 mmiškirpimas: 40 × 20 mmskylės centras: y = 96 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = −20 MPa, σᵧ = −80 MPa ir τₓᵧ = 60 MPa (tempimas teigiamas). Elementas pasukamas 60° prieš laikrodžio rodyklę. Raskite normalinį įtempį σ_y′ pasukto elemento sienelėse, statmenose pasuktajai y′ ašiai.

σ_x = −20 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 60°

σ_y′ = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = −60 MPa, σᵧ = −20 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Medžiagos takumo riba 460 MPa. Raskite atsargos koeficientą n takumo atžvilgiu pagal fon Mizeso (formos keitimo energijos) kriterijų.

σ_x = −60 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 460 MPa

n =

11.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią įlinkį δ_max tarpatramio viduryje.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis negali viršyti tarpatramis/360. Raskite mažiausią inercijos momentą I_req, tenkinantį šią sąlygą.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aliuminis)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 458,4 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 45·1000/490,9 = 91,67 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for plienas = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 91,67/200000 = 0,0004584 = 458,4 µε

Atsakymas

ε = 458,4 µε

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ₂ = 5,5 MPa

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Standumai

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm

k₂ = 120000·1963/500 = 471239 N/mm

2 atkarpos dalis

F₂ = 30000·471239/1,309 × 10⁶ = 10800 N

Įtempis

σ₂ = 10800/1963 = 5,5 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ₂ = 5,5 MPa

3.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 76,17 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Reikiamas polinis inercijos momentas

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad

J = TL/(Gφ) = 1,5 × 10⁶·1500/(26000·0,02618) = 3,306 × 10⁶ mm⁴

Skersmuo

d = (32J/π)^1/4 = 76,17 mm

Atsakymas

d = 76,17 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d_o = 62,75 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 75000/52,36 = 1432 N·m

Išorinis skersmuo iš leistinojo įtempio

T = 1432 N·m = 1,432 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,432 × 10⁶/(π·50·0,5904)) = 62,75 mm

d_i = 0,8·62,75 = 50,2 mm

Atsakymas

d_o = 62,75 mm

Pilnaviduriam velenui reikėtų d = 52,64 mm; tuščiaviduris kiek didesnis, bet daug lengvesnis.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = −35 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Pridėta jėgų pora lenkimo momentų diagramoje sukelia šuolį, lygų poros dydžiui.

Atramų reakcijos

Momentai taško A atžvilgiu, prieš laikrodžio rodyklę teigiami: R_B·L − M₀ = 0. Vertikalioji pusiausvyra: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 50/5 = 10 kN (aukštyn)

R_A = −R_B = −10 kN (žemyn)

Pjūvis iš karto kairiau jėgų poros

Kairiojoje dalyje yra tik R_A.

M_x = R_A·a = −10·3,5 = −35 kN·m

Atsakymas

M_x = −35 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: F (x = 5 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 17 kN, R₂ = 73 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 12, M_C = 14, M_D = 6, M_E = −12, M_F = −40 kN·m, M_G = 0

Atsakymas

Žymė F: M_F = −40 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 447,4 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio I_c = bh³/12, o skritulio I_c = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (60000·150 − 706,9·90)/(60000 − 706,9) = 150,7 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

200·300³/12 + 60000·−0,7153² = 450 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

π·30⁴/64 + 706,9·−60,72² = 2,645 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 447,4 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 447,4 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 172,3 × 10⁶ mm⁴

Svorio centras

ȳ = (36000·120 − 800·96)/(36000 − 800) = 120,5 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

150·240³/12 + 36000·−0,5455² = 172,8 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

40·20³/12 + 800·−24,55² = 0,5087 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 172,3 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 172,3 × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_y′ = −86,96 MPa

Transformacijos lygtis y′ sienelei

σ_y′ = −50 − 30·(−0,5) − 60·0,866 = −86,96 MPa

Patikra

Normalinių įtempių suma sukant elementą nekinta.

σ_x′ = −13,04 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −100 = σ_x + σ_y

Atsakymas

σ_y′ = −86,96 MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: n = 6,203

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Takumo kriterijai: pagal fon Mizesą takumas prasideda, kai σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) pasiekia σ_Y; pagal Treską – kai absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis pasiekia σ_Y/2.

Pagrindiniai įtempiai

C = −40 MPa, R = 36,06 MPa

σ₁ = −3,944 MPa, σ₂ = −76,06 MPa, σ₃ = 0

Fon Mizesas

σ_vM = √((−3,944)² − (−3,944)·(−76,06) + (−76,06)²) = 74,16 MPa

n = 460/74,16 = 6,203

Atsakymas

n = 6,203

n > 1 reiškia, kad taške takumas neprasideda; Treskos kriterijus kiek konservatyvesnis nei fon Mizeso.

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 59,52 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 4000 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Įlinkis

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·4000⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 59,52 mm

Atsakymas

δ_max = 59,52 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: I_req = 33,48 × 10⁶ mm⁴

Įlinkio riba

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Reikiamas inercijos momentas

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·5000⁴/(384·70000·13,89) = 3,348 × 10⁷ mm⁴

I_req = 33,48 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_req = 33,48 × 10⁶ mm⁴

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 39,69 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·2500 = 2500 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2500² = 39688 N = 39,69 kN

Atsakymas

P_cr = 39,69 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 7,896 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/5 = 500

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/500² = 7,896 MPa

Atsakymas

σ_cr = 7,896 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials