Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite strypo (plienas) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 115 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite didžiausią normalinį įtempį σ_max strype.

P = 20 kN1 ruožas: Ø35 mm, 0,5 m, plienas (E = 200 GPa)2 ruožas: Ø20 mm, 1,5 m, žalvaris (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (plienas) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 200 N·md = 25 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas turi perduoti 50 kW esant 1800 rpm. Jo vidinio ir išorinio skersmenų santykis turi būti 0,7, o tangentinis įtempis negali viršyti 75 MPa. Raskite mažiausią išorinį skersmenį d_o.

P = 50 kWN = 1800 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

40 kN @ 5 m30 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 2 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 5 mP = 35 kN ties 4 mw = 10 kN/m nuo 0 iki 5 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Apvalaus vamzdžio išorinis skersmuo D = 210 mm, vidinis skersmuo d = 198 mm. Raskite jo inercijos spindulį r horizontaliosios centrinės ašies atžvilgiu.

D = 210 mmd = 198 mm

r = mm

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 5 kN·m. Raskite lenkimo įtempio σ_viršus dydį viršutiniame krašte.

b_f = 100 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 200 mmM = 5 kN·m

σ_viršus = MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = −40 MPa, σᵧ = 80 MPa ir τₓᵧ = 40 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = −40 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 110 MPa, σᵧ = 20 MPa ir τₓᵧ = 60 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 20° pagal laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = 110 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 60 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w, o laisvajame gale – sutelktąja jėga P. Taikydami superpoziciją, raskite laisvojo galo įlinkį δ.

P = 6 kNw = 5 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P tarpatramio viduryje. Taikydami superpoziciją, raskite įlinkį viduryje δ_max.

P = 15 kNw = 2 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (plienas)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 1,43 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 115·1000/201,1 = 572 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for plienas = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 572/200000 = 0,00286 = 2860 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,00286·500 mm = 1,43 mm

Atsakymas

δ = 1,43 mm

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ_max = 63,66 MPa

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 20,79 MPa

σ₂ = 63,66 MPa

Didžiausias įtempis

Plonesnio ruožo plotas mažesnis, todėl jame įtempis didesnis.

σ_max = 63,66 MPa

Atsakymas

σ_max = 63,66 MPa

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 11,21 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 200·1000·3000/(80000·38350) = 0,1956 rad

φ = 0,1956·180/π = 11,21°

Atsakymas

φ = 11,21°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d_o = 28,73 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 50000/188,5 = 265,3 N·m

Išorinis skersmuo iš leistinojo įtempio

T = 265,3 N·m = 265258 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·265258/(π·75·0,7599)) = 28,73 mm

d_i = 0,7·28,73 = 20,11 mm

Atsakymas

d_o = 28,73 mm

Pilnaviduriam velenui reikėtų d = 26,21 mm; tuščiaviduris kiek didesnis, bet daug lengvesnis.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: E (x = 4 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 16,67 kN, R₂ = 53,33 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 16,67, M_C = 33,33, M_D = 50, M_E = 66,67 kN·m, M_F = 53,33, M_G = 0

Atsakymas

Žymė E: M_E = 66,67 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 44 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, veikianti taške x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·4 + 10·5·2,5

R_B = 265/5 = 53 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 53 = 32 kN

Perpjaukite ties x = 2 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 32·2 − 10·2·1 = 44 kN·m

Atsakymas

M_x = 44 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: r = 72,16 mm

Inercijos momentas: stačiakampio inercijos momentas jo centrinės ašies atžvilgiu I = bh³/12, o pagrindo atžvilgiu bh³/3 (Šteinerio teorema I = I_c + A·d²). Angą įskaitykite atimdami jos I, jei abi dalys turi tą pačią ašį. Tamprusis atsparumo momentas S = I/c, kur c – atstumas iki kraštinio sluoksnio. Inercijos spindulys r = √(I/A) yra atstumas, kuriame sutelktas visas plotas duotų tą patį I; jis naudojamas kolonų klupumo skaičiavimuose.

Grynasis plotas ir inercijos momentas

A = π(D² − d²)/4 = 3845 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 2,002 × 10⁷ mm⁴

Inercijos spindulys

r = √(I/A) = √(2,002 × 10⁷/3845) = 72,16 mm

Atsakymas

r = 72,16 mm

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_viršus = 13,74 MPa

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 100·25 = 2500 mm², y_f = 200 + 25/2 = 212,5 mm

sienelė: A_w = 14·200 = 2800 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2500·212,5 + 2800·100)/5300 = 153,1 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 100·25³/12 + 2500·(212,5 − 153,1)² = 8,961 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 14·200³/12 + 2800·(100 − 153,1)² = 1,722 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,961 × 10⁶ + 1,722 × 10⁷ = 2,618 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Viršutinis kraštas yra h − ȳ atstumu nuo ašies.

y = 225 − 153,1 = 71,93 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·71,93/2,618 × 10⁷ = 13,74 MPa

Atsakymas

σ_viršus = 13,74 MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 72,11 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((−40 − 80)/2)² + 40²) = 72,11 MPa

Atsakymas

τ_max = 72,11 MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = 60,9 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = 65 + 45·0,766 + 60·−0,6428 = 60,9 MPa

Atsakymas

σ_θ = 60,9 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 13,95 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 6000 N, w = 5 N/mm, L = 2500 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δ_P = PL³/(3EI) = 6000·2500³/(3·3,99 × 10¹²) = 7,832 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 5·2500⁴/(8·3,99 × 10¹²) = 6,119 mm

Sudėkite

δ = 7,832 + 6,119 = 13,95 mm

Atsakymas

δ = 13,95 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 66,83 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 15000 N, w = 2 N/mm, L = 8000 mm, EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δ_P = PL³/(48EI) = 15000·8000³/(48·3,99 × 10¹²) = 40,1 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·8000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 26,73 mm

Sudėkite

δ_max = 40,1 + 26,73 = 66,83 mm

Atsakymas

δ_max = 66,83 mm

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 9,462 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·4000 = 8000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/8000² = 9462 N = 9,462 kN

Atsakymas

P_cr = 9,462 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 35,25 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/12,5 = 140

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35,25 MPa

Atsakymas

σ_cr = 35,25 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials