Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Strypą sudaro plienas atkarpa (skersmuo 40 mm, ilgis 300 mm, E = 200 GPa), galais sujungta su atkarpa iš aliuminis (skersmuo 40 mm, ilgis 200 mm, E = 70 GPa). Vienas galas įtvirtintas, kitas traukiamas. Raskite ašinę apkrovą P, kuri jį iš viso pailgina 0,5 mm.

1 atkarpa: plienas, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: aliuminis, Ø40 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite didžiausią normalinį įtempį σ_max strype.

P = 105 kN1 ruožas: Ø40 mm, 1,5 m, aliuminis (E = 70 GPa)2 ruožas: Ø16 mm, 1 m, plienas (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Velenų sukimasVidutinis

Sukimo bandyme pilnaviduris bandinys, kurio skersmuo 15 mm, sukamas 50 N·m sukimo momentu. Abu 300 mm matavimo bazės galai vienas kito atžvilgiu pasisuka 2,16° (medžiaga dar tampri). Raskite medžiagos šlyties modulį G.

T = 50 N·md = 15 mmL = 300 mmφ = 2,16°

G = GPa

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (aliuminis), kurio skersmuo 50 mm, įtvirtintas taške A. Taške B, 1 m atstumu nuo A, veikia 1000 N·m sukimo momentas, o laisvajame gale C, dar 0,5 m toliau, veikia ta pačia kryptimi nukreiptas 400 N·m sukimo momentas. Raskite galo C sukimo kampo didumą φ_C laipsniais.

d = 50 mmT_B = 1000 N·mT_C = 400 N·mAB = 1 mBC = 0,5 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite skersinę jėgą V_x pjūvyje x = 1 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 6 mw = 5 kN/m nuo 0 iki 6 mx = 1 m

V_x = kN

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 1 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 8 mP = 35 kN ties 1 mw = 10 kN/m nuo 0 iki 8 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 240 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 5 kN·m. Raskite lenkimo įtempio σ_viršus dydį viršutiniame krašte.

b_f = 180 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 260 mmM = 5 kN·m

σ_viršus = MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 30 MPa ir σᵧ = 100 MPa. Kokio didumo gali būti tangentinis įtempis τ_xy, kol didžiausias pagrindinis įtempis pasieks 150 MPa?

σ_x = 30 MPaσ_y = 100 MPaσ₁ = 150 MPa

τ_xy = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = −80 MPa, σᵧ = 80 MPa ir τₓᵧ = 20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 40° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = −80 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią įlinkį δ_max tarpatramio viduryje.

w = 8 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P tarpatramio viduryje. Taikydami superpoziciją, raskite įlinkį viduryje δ_max.

P = 6 kNw = 10 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 110 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 110 kNn = 2,5L = 2 mE = 70 GPa (aliuminis)

d = mm

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P = 144,2 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

Lankstumai

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1,194 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·1257) = 2,274 × 10⁻⁶ mm/N

Apkrova

P = 0,5/3,467 × 10⁻⁶ = 144204 N = 144,2 kN

Atsakymas

P = 144,2 kN

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ_max = 522,2 MPa

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 83,56 MPa

σ₂ = 522,2 MPa

Didžiausias įtempis

Plonesnio ruožo plotas mažesnis, todėl jame įtempis didesnis.

σ_max = 522,2 MPa

Atsakymas

σ_max = 522,2 MPa

3.Velenų sukimas

Atsakymas: G = 80,06 GPa

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas ir kampas

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 2,16·π/180 = 0,0377 rad

Šlyties modulis

T = 50 N·m = 50000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 50000·300/(4970·0,0377) = 80056 MPa

G = 80,06 GPa

Atsakymas

G = 80,06 GPa

Palyginimui: plienas ≈ 80 GPa, žalvaris ≈ 39 GPa, aliuminis ≈ 26 GPa.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: φ_C = 5,746 °

Vidiniai sukimo momentai

T_C kryptis laikoma teigiama.

T_BC = T_C = 400 N·m

T_AB = T_C + T_B = 400 + 1000 = 1400 N·m

Kiekvieno ruožo sukimo kampas

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 1,4 × 10⁶·1000/(26000·613592) = 0,08776 rad

φ_BC = 400000·500/(26000·613592) = 0,01254 rad

Galo C sukimo kampas

φ_C = 0,08776 + 0,01254 = 0,1003 rad → |φ_C| = 5,746°

Atsakymas

φ_C = 5,746°

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: V_x = 10 kN

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, veikianti taške x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·6·3

R_B = 90/6 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Perpjaukite ties x = 1 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

V = R_A − (visos žemyn nukreiptos apkrovos kairiau pjūvio)

V_x = 15 − 5·1 = 10 kN

Atsakymas

V_x = 10 kN

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 65,63 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, veikianti taške x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·1 + 10·8·4

R_B = 355/8 = 44,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 44,38 = 70,63 kN

Perpjaukite ties x = 1 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 70,63·1 − 10·1·0,5 = 65,63 kN·m

Atsakymas

M_x = 65,63 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 9,383 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 240·20 = 4800 mm², y_f = 140 + 20/2 = 150 mm

sienelė: A_w = 10·140 = 1400 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·150 + 1400·70)/6200 = 131,9 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 240·20³/12 + 4800·(150 − 131,9)² = 1,726 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 10·140³/12 + 1400·(70 − 131,9)² = 7,657 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,726 × 10⁶ + 7,657 × 10⁶ = 9,383 × 10⁶ mm⁴ = 9,383 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 9,383 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_viršus = 5,331 MPa

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 180·30 = 5400 mm², y_f = 260 + 30/2 = 275 mm

sienelė: A_w = 16·260 = 4160 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5400·275 + 4160·130)/9560 = 211,9 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 180·30³/12 + 5400·(275 − 211,9)² = 2,19 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 16·260³/12 + 4160·(130 − 211,9)² = 5,134 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,19 × 10⁷ + 5,134 × 10⁷ = 7,324 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Viršutinis kraštas yra h − ȳ atstumu nuo ašies.

y = 290 − 211,9 = 78,1 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·78,1/7,324 × 10⁷ = 5,331 MPa

Atsakymas

σ_viršus = 5,331 MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_xy = 77,46 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Reikiamas spindulys

C = (30 + 100)/2 = 65 MPa

R = σ₁ − C = 150 − 65 = 85 MPa

Tangentinis įtempis

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(85² − 35²) = 77,46 MPa

Atsakymas

τ_xy = 77,46 MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = 5,804 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = 0 + −80·0,1736 + 20·0,9848 = 5,804 MPa

Atsakymas

σ_θ = 5,804 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 1,615 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Įlinkis

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2500⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 1,615 mm

Atsakymas

δ_max = 1,615 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 1,915 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 6000 N, w = 10 N/mm, L = 2000 mm, EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δ_P = PL³/(48EI) = 6000·2000³/(48·1,61 × 10¹²) = 0,6211 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 1,294 mm

Sudėkite

δ_max = 0,6211 + 1,294 = 1,915 mm

Atsakymas

δ_max = 1,915 mm

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 227,4 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/1250² = 227396 N = 227,4 kN

Atsakymas

P_cr = 227,4 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 75,47 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2,5·110000 = 275000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·275000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 75,47 mm

Atsakymas

d = 75,47 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 106, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials