Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Strypą sudaro plienas atkarpa (skersmuo 20 mm, ilgis 600 mm, E = 200 GPa), galais sujungta su atkarpa iš žalvaris (skersmuo 40 mm, ilgis 300 mm, E = 100 GPa). Vienas galas įtvirtintas, kitas traukiamas. Raskite ašinę apkrovą P, kuri jį iš viso pailgina 0,4 mm.

1 atkarpa: plienas, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: žalvaris, Ø40 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 90 kN1 ruožas: Ø35 mm, 1 m, aliuminis (E = 70 GPa)2 ruožas: Ø16 mm, 0,5 m, plienas (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Velenų sukimasVidutinis

Sukimo bandyme pilnaviduris bandinys, kurio skersmuo 15 mm, sukamas 20 N·m sukimo momentu. Abu 400 mm matavimo bazės galai vienas kito atžvilgiu pasisuka 3,55° (medžiaga dar tampri). Raskite medžiagos šlyties modulį G.

T = 20 N·md = 15 mmL = 400 mmφ = 3,55°

G = GPa

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas perduoda 15 kW esant 500 aps./min. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

P = 15 kWN = 500 rpmd_o = 80 mmd_i = 60 mm

τ_max = MPa

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

60 kN @ 2 m8 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 10 mP = 30 kN ties 7 mw = 6 kN/m nuo 0 iki 10 mx = 5 m

M_x = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

150 mm × 150 mm plokštė turi apvalią 30 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 60 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 150 mmh = 150 mmd = 30 mmskylės centras: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Ketaus sija turi pavaizduotą tėjinį skerspjūvį, lentyna viršuje. Leistinieji įtempiai: 40 MPa tempiant ir 150 MPa gniuždant. Raskite didžiausią neigiamą lenkimo momentą M_allow, kurį sija gali atlaikyti (nurodykite jo didumą).

b_f = 260 mmt_f = 30 mmt_w = 8 mmh_w = 240 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = −10 MPa, σᵧ = 80 MPa ir τₓᵧ = −30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_p nuo x ašies iki didžiausio pagrindinio įtempio krypties, intervale nuo −90° iki 90°.

σ_x = −10 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_p = °

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = −20 MPa, σᵧ = −50 MPa ir τₓᵧ = −20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 40° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = −20 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite laisvojo galo įlinkį δ.

w = 5 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (plienas)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Papildomai atremta gembė įtvirtinta taške A ir laisvai atremta taške B. Tarpatramio viduryje ją veikia sutelktoji jėga P. EI pastovus. Raskite lenkimo momento įtvirtinime didumą M_A.

L = 4 mP = 15 kN ties 2 m

M_A = kN·m

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (plienas)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Ji turi atlaikyti 70 kN su 3 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 70 kNn = 3L = 1,5 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P = 33,51 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²

Lankstumai

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314,2) = 9,549 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N

Apkrova

P = 0,4/1,194 × 10⁻⁵ = 33510 N = 33,51 kN

Atsakymas

P = 33,51 kN

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 2,455 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 93,54 MPa

σ₂ = 447,6 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 93,54·1000/70000 = 1,336 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 447,6·500/200000 = 1,119 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,455 mm

Atsakymas

δ = 2,455 mm

3.Velenų sukimas

Atsakymas: G = 25,98 GPa

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas ir kampas

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 3,55·π/180 = 0,06196 rad

Šlyties modulis

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·400/(4970·0,06196) = 25979 MPa

G = 25,98 GPa

Atsakymas

G = 25,98 GPa

Palyginimui: plienas ≈ 80 GPa, žalvaris ≈ 39 GPa, aliuminis ≈ 26 GPa.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 4,169 MPa

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 15000/52,36 = 286,5 N·m

Polinis inercijos momentas

J = π(80⁴ − 60⁴)/32 = 2,749 × 10⁶ mm⁴

Didžiausias tangentinis įtempis

τ_max = T·(d_o/2)/J = 286479·40/2,749 × 10⁶ = 4,169 MPa

Atsakymas

τ_max = 4,169 MPa

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: C (x = 2 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 64 kN, R₂ = 44 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 60, M_C = 112 kN·m, M_D = 96, M_E = 72, M_F = 40, M_G = 0

Atsakymas

Žymė C: M_C = 112 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 120 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, veikianti taške x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 30·7 + 6·10·5

R_B = 510/10 = 51 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 51 = 39 kN

Perpjaukite ties x = 5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 39·5 − 6·5·2,5 = 120 kN·m

Atsakymas

M_x = 120 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 41,98 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio I_c = bh³/12, o skritulio I_c = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (22500·75 − 706,9·60)/(22500 − 706,9) = 75,49 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

150·150³/12 + 22500·−0,4865² = 42,19 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

π·30⁴/64 + 706,9·−15,49² = 0,2093 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 41,98 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 41,98 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: M_allow = 24,89 kN·m

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Svorio centras

ȳ = (7800·255 + 1920·120)/9720 = 228,3 mm

viršutinė kraštinė: c = 270 − 228,3 = 41,67 mm

Inercijos momentas

I = 260·30³/12 + 7800·26,67² + 8·240³/12 + 1920·108,3² = 3,788 × 10⁷ mm⁴

Kiekvienos kraštinės leidžiamas momentas

Neigiamas lenkimas: viršus tempiamas, apačia gniuždoma.

viršutinė kraštinė: M = 40·3,788 × 10⁷/41,67 = 36,37 kN·m

apatinė kraštinė: M = 150·3,788 × 10⁷/228,3 = 24,89 kN·m

Lemiamoji reikšmė

M_allow = min = 24,89 kN·m (apatinė kraštinė)

Atsakymas

M_allow = 24,89 kN·m

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_p = −73,15 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Kampas apskritime

Moro apskritime taškas x yra kampu 2θp nuo σ ašies; ketvirtis priklauso nuo σₓ − σᵧ ir τₓᵧ ženklų.

2θ_p = atan2(2·−30, −10 − 80) = −146,3°

Kampas elemente

θ_p = −73,15°

Atsakymas

θ_p = −73,15°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = −52,09 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = −35 + 15·0,1736 + −20·0,9848 = −52,09 MPa

Atsakymas

σ_θ = −52,09 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 5,882 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Įlinkis

δ = wL⁴/(8EI) = 5·2000⁴/(8·1,7 × 10¹²) = 5,882 mm

Atsakymas

δ = 5,882 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: M_A = 11,25 kN·m

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija). Statiškai neišsprendžiamoje sijoje pašalinkite perteklinę atramą ir pareikalaukite, kad įlinkis toje vietoje būtų lygus nuliui (suderinamumas).

Pašalinkite papildomą atramą

Be papildomos atramos sija yra gembė. Jos laisvasis galas įlinktų nuo apkrovos.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Suderinamumas ties papildoma atrama

Vien papildomos atramos jėga R_B pakelia laisvąjį galą dydžiu R_BL³/(3EI). Atrama išlaiko B nulinį įlinkį, todėl abu dydžiai turi vienas kitą panaikinti. EI susiprastina.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·15/16 = 4,688 kN

Momentas įtvirtinime

Apkrovų ir papildomos atramos jėgos momentai taško A atžvilgiu.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 30 − 18,75 = 11,25 kN·m

Atsakymas

M_A = 11,25 kN·m

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 2,481 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·5000 = 10000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/10000² = 2481 N = 2,481 kN

Atsakymas

P_cr = 2,481 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 39,32 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 3·70000 = 210000 N

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·1050²/(π³·200000))^(1/4) = 39,32 mm

Atsakymas

d = 39,32 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 106,8, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials