Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

plienas strypas (skersmuo 40 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš aliuminis (išorinis skersmuo 80 mm, vidinis skersmuo 60 mm, E = 70 GPa). Abu 500 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 150 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 150 kNstrypas: Ø40 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite didžiausią normalinį įtempį σ_max strype.

P = 110 kN1 ruožas: Ø35 mm, 1 m, varis (E = 117 GPa)2 ruožas: Ø12 mm, 2 m, žalvaris (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnavidurį 2,5 m ilgio veleną (plienas) veikia 250 N·m sukimo momentas. Sukimo kampas tarp jo galų negali viršyti 1°. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį šią sąlygą.

T = 250 N·mL = 2,5 mG = 80 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas turi perduoti 5 kW esant 1800 aps./min, o tangentinis įtempis negali viršyti 75 MPa. Raskite mažiausią tinkamą skersmenį d.

P = 5 kWN = 1800 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Sija remiasi į šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, o už B tęsiasi 2 m ilgio konsolė iki laisvojo galo C. Ją veikia sutelktoji jėga P₁ tarp atramų ir sutelktoji jėga P₂ taške C. Raskite lenkimo momentą M_B ties atrama B. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 6 mP₁ = 35 kN ties 2 mP₂ = 15 kN ties 6 matramos ties x = 0 ir x = 4 m

M_B = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Sija remiasi į šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, o už B tęsiasi 1,5 m ilgio konsolė iki laisvojo galo C. Visą ilgį A–C veikia tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite atstumą x_c nuo A iki persilenkimo taško tarp atramų (kur lenkimo momentas keičia ženklą).

L = 5,5 mw = 2 kN/m nuo 0 iki 5,5 matramos ties x = 0 ir x = 4 m

x_c = m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 30 kN·m. Raskite lenkimo įtempį σ_apačia apatiniame krašte.

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 200 mmM = 30 kN·m

σ_apačia = MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 130 MPa, σᵧ = 90 MPa ir τₓᵧ = −30 MPa, σ_z = 0. Raskite absoliutųjį didžiausią tangentinį įtempį τ_abs taške (atsižvelgiant į visas plokštumas trijuose matmenyse).

σ_x = 130 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonasienis cilindrinis rezervuaras, kurio vidinis skersmuo 1000 mm, o sienelės storis 5 mm, laiko dujas, kurių manometrinis slėgis 2 MPa. Jis pagamintas iš lakšto, suvirinto sraigine siūle, sudarančia 60° kampą su cilindro ašimi. Raskite normalinį įtempį σ_n, veikiantį skersai suvirinimo siūlės.

D = 1000 mmt = 5 mmp = 2 MPaα = 60°

σ_n = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w, o laisvajame gale – sutelktąja jėga P. Taikydami superpoziciją, raskite laisvojo galo įlinkį δ.

P = 11 kNw = 6 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P tarpatramio viduryje. Taikydami superpoziciją, raskite įlinkį viduryje δ_max.

P = 9 kNw = 10 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Ji turi atlaikyti 10 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 10 kNn = 2,5L = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)

d = mm

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,1851 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·2199 = 4,053 × 10⁸ N

Sutrumpėjimas

δ = 150000·500/4,053 × 10⁸ = 0,1851 mm

Atsakymas

δ = 0,1851 mm

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ_max = 972,6 MPa

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 114,3 MPa

σ₂ = 972,6 MPa

Didžiausias įtempis

Plonesnio ruožo plotas mažesnis, todėl jame įtempis didesnis.

σ_max = 972,6 MPa

Atsakymas

σ_max = 972,6 MPa

3.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 46,21 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Reikiamas polinis inercijos momentas

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 250000·2500/(80000·0,01745) = 447623 mm⁴

Skersmuo

d = (32J/π)^1/4 = 46,21 mm

Atsakymas

d = 46,21 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 12,17 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 5000/188,5 = 26,53 N·m

Skersmuo pagal leistinąjį įtempį

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·26526/(π·75)) = 12,17 mm

Atsakymas

d = 12,17 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_B = −30 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra. Konsolės apkrova taip pat sukuria momentą taško A atžvilgiu.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·2 + 15·6

R_B = 160/4 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 40 = 10 kN

Pjūvis ties B, paliekama konsolė

Konsolę veikia tik P₂, kurios petys a. Ji lenkia siją virš atramos į viršų (neigiamas lenkimas).

M_B = −P₂·a = −15·2 = −30 kN·m

Atsakymas

M_B = −30 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: x_c = 3,438 m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra, įskaitant konsolės apkrovą.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 2·5,5 = 11 kN, veikianti taške x̄ = 2,75 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 2·5,5·2,75

R_B = 30,25/4 = 7,563 kN

ΣF_y = 0: R_A = 11 − 7,563 = 3,438 kN

Nulinis momentas

Tarp atramų M(x) = R_A·x − w·x²/2. Be x = 0, jis lygus nuliui ties x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·3,438/2 = 3,438 m

Atsakymas

x_c = 3,438 m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 88,88 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 280·15 = 4200 mm², y_f = 280 + 15/2 = 287,5 mm

sienelė: A_w = 20·280 = 5600 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·287,5 + 5600·140)/9800 = 203,2 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 280·15³/12 + 4200·(287,5 − 203,2)² = 2,992 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 20·280³/12 + 5600·(140 − 203,2)² = 5,896 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,992 × 10⁷ + 5,896 × 10⁷ = 8,888 × 10⁷ mm⁴ = 88,88 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 88,88 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_apačia = 170,6 MPa

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 120·25 = 3000 mm², y_f = 200 + 25/2 = 212,5 mm

sienelė: A_w = 14·200 = 2800 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·212,5 + 2800·100)/5800 = 158,2 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 120·25³/12 + 3000·(212,5 − 158,2)² = 9,005 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 14·200³/12 + 2800·(100 − 158,2)² = 1,881 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,005 × 10⁶ + 1,881 × 10⁷ = 2,782 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Apatinis kraštas yra ȳ atstumu nuo ašies.

y = 158,2 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·158,2/2,782 × 10⁷ = 170,6 MPa

Atsakymas

σ_apačia = 170,6 MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_abs = 73,03 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Trijuose matmenyse absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis yra (σ_max − σ_min)/2 tarp visų trijų pagrindinių įtempių; plokščiajame įtempių būvyje trečiasis lygus nuliui.

Pagrindiniai įtempiai plokštumoje

C = 110 MPa, R = √(20² + (−30)²) = 36,06 MPa

σ₁ = 146,1 MPa, σ₂ = 73,94 MPa, σ_z = 0

Didžiausias iš trijų apskritimų

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(72,11, 146,1, 73,94)/2 = 73,03 MPa

Atsakymas

τ_abs = 73,03 MPa

Čia lemia apskritimas už plokštumos ribų: absoliutusis maksimumas didesnis už maksimumą plokštumoje R.

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_n = 125 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Plonasienis cilindras: žiedinis įtempis σ_h = pr/t ir ašinis įtempis σ_a = pr/(2t); tai yra sienelės pagrindiniai įtempiai.

Sienelės įtempiai

r = 1000/2 = 500 mm

σ_h = pr/t = 2·500/5 = 200 MPa

σ_a = pr/(2t) = 100 MPa

Transformuokite į siūlę

Ašį x imkite išilgai cilindro ašies (σ_a), o y – žiedo kryptimi (σ_h). Siūlės normalė su ašimi sudaro 90° − α kampą.

σ_n = 100·sin²60° + 200·cos²60° = 125 MPa

Atsakymas

σ_n = 125 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 36,08 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 11000 N, w = 6 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δ_P = PL³/(3EI) = 11000·2500³/(3·2,4 × 10¹²) = 23,87 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 6·2500⁴/(8·2,4 × 10¹²) = 12,21 mm

Sudėkite

δ = 23,87 + 12,21 = 36,08 mm

Atsakymas

δ = 36,08 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 4,555 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 9000 N, w = 10 N/mm, L = 2500 mm, EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δ_P = PL³/(48EI) = 9000·2500³/(48·1,76 × 10¹²) = 1,665 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2500⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 2,89 mm

Sudėkite

δ_max = 1,665 + 2,89 = 4,555 mm

Atsakymas

δ_max = 4,555 mm

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 35,53 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/2500² = 35531 N = 35,53 kN

Atsakymas

P_cr = 35,53 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 82,88 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2,5·10000 = 25000 N

KL = 2·4000 = 8000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·25000·8000²/(π³·70000))^(1/4) = 82,88 mm

Atsakymas

d = 82,88 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 386,1, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials