Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite ašinę deformaciją ε strype (varis) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 95 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas atkarpa (skersmuo 30 mm, ilgis 600 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš žalvaris (skersmuo 40 mm, ilgis 400 mm, E = 100 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 100 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ₂.

1 atkarpa: plienas, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: žalvaris, Ø40 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

3.Velenų sukimasVidutinis

Tuščiaviduris velenas turi perduoti 1500 N·m sukimo momentą. Jo vidinio ir išorinio skersmenų santykis turi būti 0,6, o tangentinis įtempis negali viršyti 75 MPa. Raskite mažiausią išorinį skersmenį d_o.

T = 1500 N·md_i/d_o = 0,6τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (aliuminis) perduoda 15 kW esant 1000 rpm. Tangentinis įtempis negali viršyti 75 MPa, o santykinis sukimo kampas – 1°/m. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį abi sąlygas.

P = 15 kWN = 1000 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 1°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite skersinę jėgą V_x pjūvyje x = 8 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 10 mw = 6 kN/m nuo 0 iki 10 mx = 8 m

V_x = kN

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 2,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 6 mP = 20 kN ties 4 mw = 12 kN/m nuo 0 iki 6 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Tuščiavidurio stačiakampio (dėžinio) skerspjūvio išorinis plotis B = 280 mm, išorinis aukštis H = 350 mm, o sienelių storis vienodas t = 12 mm. Raskite jo inercijos spindulį r horizontaliosios centrinės ašies atžvilgiu.

B = 280 mmH = 350 mmt = 12 mm

r = mm

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Simetriško dvitėjo skerspjūvio lentynos yra 210 mm pločio ir 24 mm storio, bendrasis aukštis 380 mm, o sienelės storis 10 mm. Jį veikia 80 kN·m lenkimo momentas ašies x atžvilgiu. Raskite didžiausio lenkimo įtempio didumą σ_max skerspjūvyje.

B = 210 mmH = 380 mmt_f = 24 mmt_w = 10 mmM = 80 kN·m

σ_max = MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = −60 MPa, σᵧ = 30 MPa ir τₓᵧ = −10 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_p nuo x ašies iki didžiausio pagrindinio įtempio krypties, intervale nuo −90° iki 90°.

σ_x = −60 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_p = °

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Pilnaviduris 30 mm skersmens velenas perduoda 200 N·m lenkimo momentą kartu su 250 N·m sukimo momentu. Viršutiniame paviršiuje, kur lenkimo įtempis tempiamasis ir didžiausias, raskite didžiausią pagrindinį įtempį σ₁.

d = 30 mmM = 200 N·mT = 250 N·m

σ₁ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 7 m atstumu nuo atramos A. Raskite įlinkį δ_P po apkrova.

P = 2 kNa = 7 mL = 8 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta sutelktąja jėga P, esančia b = 1,5 m atstumu nuo atramos B. Raskite didžiausią sijos įlinkį δ_max.

P = 8 kNb = 1,5 mL = 4 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 140 kN su 3 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 140 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 1149 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 95·1000/706,9 = 134,4 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for varis = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 134,4/117000 = 0,001149 = 1149 µε

Atsakymas

ε = 1149 µε

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ₂ = 45,47 MPa

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Standumai

k₁ = 200000·706,9/600 = 235619 N/mm

k₂ = 100000·1257/400 = 314159 N/mm

2 atkarpos dalis

F₂ = 100000·314159/549779 = 57143 N

Įtempis

σ₂ = 57143/1257 = 45,47 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ₂ = 45,47 MPa

3.Velenų sukimas

Atsakymas: d_o = 48,91 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Išorinis skersmuo iš leistinojo įtempio

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,5 × 10⁶/(π·75·0,8704)) = 48,91 mm

d_i = 0,6·48,91 = 29,35 mm

Atsakymas

d_o = 48,91 mm

Pilnaviduriam velenui reikėtų d = 46,7 mm; tuščiaviduris kiek didesnis, bet daug lengvesnis.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 42,35 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 15000/104,7 = 143,2 N·m

Skersmuo pagal stiprumą

T = 143,2 N·m = 143239 N·mm

d_τ = ∛(16·143239/(π·75)) = 21,35 mm

Skersmuo pagal standumą

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·143239/(π·26000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 42,35 mm

Lemiamasis skersmuo

Turi būti tenkinamos abi sąlygos, todėl lemia didesnis skersmuo.

d = max(21,35, 42,35) = 42,35 mm

Atsakymas

d = 42,35 mm

Čia lemia standumas.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: V_x = −18 kN

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, veikianti taške x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 6·10·5

R_B = 300/10 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Perpjaukite ties x = 8 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

V = R_A − (visos žemyn nukreiptos apkrovos kairiau pjūvio)

V_x = 30 − 6·8 = −18 kN

Atsakymas

V_x = −18 kN

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 69,17 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, veikianti taške x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·4 + 12·6·3

R_B = 296/6 = 49,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 92 − 49,33 = 42,67 kN

Perpjaukite ties x = 2,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 42,67·2,5 − 12·2,5·1,25 = 69,17 kN·m

Atsakymas

M_x = 69,17 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: r = 134 mm

Inercijos momentas: stačiakampio inercijos momentas jo centrinės ašies atžvilgiu I = bh³/12, o pagrindo atžvilgiu bh³/3 (Šteinerio teorema I = I_c + A·d²). Angą įskaitykite atimdami jos I, jei abi dalys turi tą pačią ašį. Tamprusis atsparumo momentas S = I/c, kur c – atstumas iki kraštinio sluoksnio. Inercijos spindulys r = √(I/A) yra atstumas, kuriame sutelktas visas plotas duotų tą patį I; jis naudojamas kolonų klupumo skaičiavimuose.

Grynasis plotas ir inercijos momentas

b = 256 mm, h = 326 mm

A = BH − bh = 280·350 − 256·326 = 14544 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 2,613 × 10⁸ mm⁴

Inercijos spindulys

r = √(I/A) = √(2,613 × 10⁸/14544) = 134 mm

Atsakymas

r = 134 mm

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_max = 43,38 MPa

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Išorinis stačiakampis atėmus dvi šonines išpjovas

Abi išpjovos kartu yra (B − t_w) pločio ir h_w = H − 2t_f aukščio, o jų ašis ta pati – x.

h_w = 380 − 2·24 = 332 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (210·380³ − 200·332³)/12

I_x = 3,504 × 10⁸ mm⁴

Lenkimo įtempis

y = 190 mm

σ = M·y/I = 8 × 10⁷·190/3,504 × 10⁸ = 43,38 MPa

Atsakymas

σ_max = 43,38 MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_p = −83,74 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Kampas apskritime

Moro apskritime taškas x yra kampu 2θp nuo σ ašies; ketvirtis priklauso nuo σₓ − σᵧ ir τₓᵧ ženklų.

2θ_p = atan2(2·−10, −60 − 30) = −167,5°

Kampas elemente

θ_p = −83,74°

Atsakymas

θ_p = −83,74°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ₁ = 98,12 MPa

Įtempiai paviršiuje

σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·30³) = 75,45 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·30³) = 47,16 MPa

Moro apskritimas

C = σ/2 = 37,73 MPa

R = √(37,73² + 47,16²) = 60,39 MPa

σ₁ = C + R = 98,12 MPa

σ₂ = C − R = −22,66 MPa

Atsakymas

σ₁ = 98,12 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_P = 2,536 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 2000 N, a = 7000 mm, b = 1000 mm, L = 8000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Įlinkis po apkrova

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 2000·7000²·1000²/(3·1,61 × 10¹²·8000) = 2,536 mm

Atsakymas

δ_P = 2,536 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 10,62 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 8000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Maksimumo vieta

Prilyginus ilgesniojo ruožo posūkio kampą nuliui, gaunama vieta.

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1500²)/3) = 2141 mm

Didžiausias įlinkis

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 10,62 mm

Atsakymas

δ_max = 10,62 mm

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 46,06 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/1250² = 46058 N = 46,06 kN

Atsakymas

P_cr = 46,06 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 64,53 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 3·140000 = 420000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·420000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 64,53 mm

Atsakymas

d = 64,53 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 124, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials