Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

plienas strypas (skersmuo 30 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš bronza (išorinis skersmuo 120 mm, vidinis skersmuo 70 mm, E = 110 GPa). Abu 600 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 100 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 100 kNstrypas: Ø30 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 20 kN1 ruožas: Ø40 mm, 1,5 m, plienas (E = 200 GPa)2 ruožas: Ø20 mm, 1 m, plienas (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Velenų sukimasVidutinis

Tuščiaviduris velenas (žalvaris; išorinis skersmuo 40 mm, vidinis skersmuo 20 mm, ilgis 1 m) viename gale įtvirtintas, o kitame sukamas 500 N·m sukimo momentu. Raskite sukimo kampą φ laipsniais.

T = 500 N·md_o = 40 mmd_i = 20 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas turi perduoti 20 kW esant 500 aps./min, o tangentinis įtempis negali viršyti 80 MPa. Raskite mažiausią tinkamą skersmenį d.

P = 20 kWN = 500 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

15 kN @ 2 m15 kN/m, 2–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

20 kN @ 6 m20 kN @ 3 m5 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

200 mm × 150 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 30 mm pločio ir 30 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 90 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 200 mmh = 150 mmiškirpimas: 30 × 30 mmskylės centras: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 0 MPa, σᵧ = 50 MPa ir τₓᵧ = 20 MPa (tempimas teigiamas). Elementas pasukamas 20° pagal laikrodžio rodyklę. Raskite normalinį įtempį σ_y′ pasukto elemento sienelėse, statmenose pasuktajai y′ ašiai.

σ_x = 0 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 20 MPaθ = -20°

σ_y′ = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 150 MPa, σᵧ = 20 MPa ir τₓᵧ = −20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite tangentinį įtempį τ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 45° pagal laikrodžio rodyklę nuo x ašies (teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σ_x = 150 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −20 MPaθ = -45°

τ_θ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite laisvojo galo įlinkį δ.

w = 12 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P tarpatramio viduryje. Taikydami superpoziciją, raskite įlinkį viduryje δ_max.

P = 11 kNw = 15 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 85 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 85 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,06236 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·7461 = 9,621 × 10⁸ N

Sutrumpėjimas

δ = 100000·600/9,621 × 10⁸ = 0,06236 mm

Atsakymas

δ = 0,06236 mm

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,4377 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 15,92 MPa

σ₂ = 63,66 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 15,92·1500/200000 = 0,1194 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 63,66·1000/200000 = 0,3183 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,4377 mm

Atsakymas

δ = 0,4377 mm

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 3,118 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴

Sukimo kampas

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 500000·1000/(39000·235619) = 0,05441 rad

φ = 0,05441·180/π = 3,118°

Atsakymas

φ = 3,118°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 28,97 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 20000/52,36 = 382 N·m

Skersmuo pagal leistinąjį įtempį

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·381972/(π·80)) = 28,97 mm

Atsakymas

d = 28,97 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: D (x = 3 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 30 kN, R₂ = 45 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 30, M_C = 60, M_D = 67,5 kN·m, M_E = 60, M_F = 37,5, M_G = 0

Atsakymas

Žymė D: M_D = 67,5 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: D (x = 3 m)

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 16,5 kN, R₂ = 48,5 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 14, M_C = 23, M_D = 27 kN·m, M_E = 6, M_F = −20, M_G = 0

Atsakymas

Žymė D: M_D = 27 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 21,61 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 280·20 = 5600 mm², y_f = 180 + 20/2 = 190 mm

sienelė: A_w = 12·180 = 2160 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5600·190 + 2160·90)/7760 = 162,2 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 280·20³/12 + 5600·(190 − 162,2)² = 4,525 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 12·180³/12 + 2160·(90 − 162,2)² = 1,708 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,525 × 10⁶ + 1,708 × 10⁷ = 2,161 × 10⁷ mm⁴ = 21,61 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 21,61 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 55,97 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio I_c = bh³/12, o skritulio I_c = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (30000·75 − 900·90)/(30000 − 900) = 74,54 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

200·150³/12 + 30000·0,4639² = 56,26 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

30·30³/12 + 900·15,46² = 0,2827 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 55,97 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 55,97 × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_y′ = 57,01 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Transformacijos lygtis y′ sienelei

σ_y′ = 25 − (−25)·0,766 − 20·(−0,6428) = 57,01 MPa

Patikra

Normalinių įtempių suma sukant elementą nekinta.

σ_x′ = −7,007 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 50 = σ_x + σ_y

Atsakymas

σ_y′ = 57,01 MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_θ = 65 MPa

Transformacijos lygtis

τ_θ = −65·−1 + −20·0 = 65 MPa

Atsakymas

τ_θ = 65 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 9,04 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 1500 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Įlinkis

δ = wL⁴/(8EI) = 12·1500⁴/(8·8,4 × 10¹¹) = 9,04 mm

Atsakymas

δ = 9,04 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 1,335 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 11000 N, w = 15 N/mm, L = 2500 mm, EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δ_P = PL³/(48EI) = 11000·2500³/(48·8,4 × 10¹²) = 0,4263 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2500⁴/(384·8,4 × 10¹²) = 0,9083 mm

Sudėkite

δ_max = 0,4263 + 0,9083 = 1,335 mm

Atsakymas

δ_max = 1,335 mm

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 8,393 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/2800² = 8393 N = 8,393 kN

Atsakymas

P_cr = 8,393 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 44,57 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2·85000 = 170000 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·170000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 44,57 mm

Atsakymas

d = 44,57 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 134,6, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials