Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

plienas strypas (skersmuo 20 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš bronza (išorinis skersmuo 120 mm, vidinis skersmuo 70 mm, E = 110 GPa). Abu 800 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 300 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 300 kNstrypas: Ø20 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 60 kN1 ruožas: Ø40 mm, 1,5 m, žalvaris (E = 100 GPa)2 ruožas: Ø12 mm, 1,5 m, žalvaris (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Velenų sukimasVidutinis

Pakopinis pilnaviduris velenas (žalvaris) įtvirtintas taške A. Ruožo AB skersmuo 60 mm, ilgis 1,5 m; ruožo BC skersmuo 50 mm, ilgis 3 m. Laisvajame gale C veikia 400 N·m sukimo momentas. Raskite galo C sukimo kampą φ_C laipsniais.

T = 400 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 1,5 md₂ = 50 mm, L₂ = 3 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas perduoda 20 kW esant 500 aps./min. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

P = 20 kWN = 500 rpmd_o = 50 mmd_i = 40 mm

τ_max = MPa

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

40 kN @ 4 m4 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

35 kN @ 0 m40 kN @ 6 m60 kN @ 3 m12 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 5 kN·m. Raskite lenkimo įtempio σ_viršus dydį viršutiniame krašte.

b_f = 180 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 180 mmM = 5 kN·m

σ_viršus = MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 160 MPa, σᵧ = −50 MPa ir τₓᵧ = −30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_p nuo x ašies iki didžiausio pagrindinio įtempio krypties, intervale nuo −90° iki 90°.

σ_x = 160 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_p = °

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 80 MPa, σᵧ = 0 MPa ir τₓᵧ = −20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 40° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = 80 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite laisvojo galo įlinkį δ.

w = 4 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Papildomai atremta gembė įtvirtinta taške A ir laisvai atremta taške B. Tarpatramio viduryje ją veikia sutelktoji jėga P. EI pastovus. Raskite papildomos atramos reakciją R_B.

L = 6 mP = 80 kN ties 3 m

R_B = kN

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 15 kN su 3 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 15 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,2716 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·7461 = 8,836 × 10⁸ N

Sutrumpėjimas

δ = 300000·800/8,836 × 10⁸ = 0,2716 mm

Atsakymas

δ = 0,2716 mm

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 8,674 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 47,75 MPa

σ₂ = 530,5 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 47,75·1500/100000 = 0,7162 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 530,5·1500/100000 = 7,958 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 8,674 mm

Atsakymas

δ = 8,674 mm

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ_C = 3,566 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Poliniai inercijos momentai

J₁ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Kiekvieno ruožo sukimo kampas

T = 400 N·m = 400000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 400000·1500/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,01209 rad

φ_BC = 400000·3000/(39000·613592) = 0,05015 rad

Bendras sukimo kampas

φ_C = 0,01209 + 0,05015 = 0,06224 rad = 3,566°

Atsakymas

φ_C = 3,566°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 26,36 MPa

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 20000/52,36 = 382 N·m

Polinis inercijos momentas

J = π(50⁴ − 40⁴)/32 = 362265 mm⁴

Didžiausias tangentinis įtempis

τ_max = T·(d_o/2)/J = 381972·25/362265 = 26,36 MPa

Atsakymas

τ_max = 26,36 MPa

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: E (x = 4 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 25,33 kN, R₂ = 38,67 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 23,33, M_C = 42,67, M_D = 58, M_E = 69,33 kN·m, M_F = 36,67, M_G = 0

Atsakymas

Žymė E: M_E = 69,33 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: D (x = 3 m)

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 87,75 kN, R₂ = 95,25 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = −35, M_C = 11,75, M_D = 46,5 kN·m, M_E = 9,25, M_F = −40, M_G = 0

Atsakymas

Žymė D: M_D = 46,5 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 16,86 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 180·15 = 2700 mm², y_f = 160 + 15/2 = 167,5 mm

sienelė: A_w = 18·160 = 2880 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2700·167,5 + 2880·80)/5580 = 122,3 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 180·15³/12 + 2700·(167,5 − 122,3)² = 5,557 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 18·160³/12 + 2880·(80 − 122,3)² = 1,131 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,557 × 10⁶ + 1,131 × 10⁷ = 1,686 × 10⁷ mm⁴ = 16,86 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 16,86 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_viršus = 11,23 MPa

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 180·25 = 4500 mm², y_f = 180 + 25/2 = 192,5 mm

sienelė: A_w = 10·180 = 1800 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·192,5 + 1800·90)/6300 = 163,2 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 180·25³/12 + 4500·(192,5 − 163,2)² = 4,094 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 10·180³/12 + 1800·(90 − 163,2)² = 1,451 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,094 × 10⁶ + 1,451 × 10⁷ = 1,86 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Viršutinis kraštas yra h − ȳ atstumu nuo ašies.

y = 205 − 163,2 = 41,79 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·41,79/1,86 × 10⁷ = 11,23 MPa

Atsakymas

σ_viršus = 11,23 MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_p = −7,973 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Kampas apskritime

Moro apskritime taškas x yra kampu 2θp nuo σ ašies; ketvirtis priklauso nuo σₓ − σᵧ ir τₓᵧ ženklų.

2θ_p = atan2(2·−30, 160 − −50) = −15,95°

Kampas elemente

θ_p = −7,973°

Atsakymas

θ_p = −7,973°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = 27,25 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = 40 + 40·0,1736 + −20·0,9848 = 27,25 MPa

Atsakymas

σ_θ = 27,25 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 19,18 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 1500 mm

EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Įlinkis

δ = wL⁴/(8EI) = 4·1500⁴/(8·1,32 × 10¹¹) = 19,18 mm

Atsakymas

δ = 19,18 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: R_B = 25 kN

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija). Statiškai neišsprendžiamoje sijoje pašalinkite perteklinę atramą ir pareikalaukite, kad įlinkis toje vietoje būtų lygus nuliui (suderinamumas).

Pašalinkite papildomą atramą

Be papildomos atramos sija yra gembė. Jos laisvasis galas įlinktų nuo apkrovos.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Suderinamumas ties papildoma atrama

Vien papildomos atramos jėga R_B pakelia laisvąjį galą dydžiu R_BL³/(3EI). Atrama išlaiko B nulinį įlinkį, todėl abu dydžiai turi vienas kitą panaikinti. EI susiprastina.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·80/16 = 25 kN

Atsakymas

R_B = 25 kN

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 23,03 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/1000² = 23029 N = 23,03 kN

Atsakymas

P_cr = 23,03 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 36,92 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 3·15000 = 45000 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·45000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 36,92 mm

Atsakymas

d = 36,92 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 216,7, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials