Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite strypo (aliuminis) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 70 kNd = 12 mmL = 1,5 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas strypas (skersmuo 30 mm, E = 200 GPa, leistinasis įtempis 160 MPa) yra viduje vamzdžio iš aliuminis (išorinis skersmuo 80 mm, vidinis skersmuo 60 mm, E = 70 GPa, leistinasis įtempis 100 MPa). Jie kartu gniuždomi tarp standžių plokščių. Raskite didžiausią apkrovą P_max.

strypas: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPavamzdis: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (aliuminis) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 750 N·md = 50 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (žalvaris) perduoda 15 kW esant 1000 rpm. Tangentinis įtempis negali viršyti 40 MPa, o santykinis sukimo kampas – 0,5°/m. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį abi sąlygas.

P = 15 kWN = 1000 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite skersinę jėgą V_x pjūvyje x = 3 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 4 mw = 12 kN/m nuo 0 iki 4 mx = 3 m

V_x = kN

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 4 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 6 mP = 50 kN ties 4 mw = 2 kN/m nuo 0 iki 6 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Suvirinto dvitėjo skerspjūvio viršutinė lentyna yra 120 × 18 mm, sienelė 210 mm aukščio ir 16 mm storio, o apatinė lentyna 150 × 16 mm (plotis × storis). Raskite jo inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

viršutinė lentyna: 120 × 18 mmsienelė: 16 × 210 mmapatinė lentyna: 150 × 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = −60 MPa, σᵧ = 110 MPa ir τₓᵧ = −30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_s tarp −90° ir 90° nuo x ašies iki plokštumos, kurioje tangentinis įtempis pasiekia didžiausią teigiamą vertę +R, normalės (tangentinis įtempis teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σ_x = −60 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_s = °

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 140 MPa, σᵧ = 100 MPa ir τₓᵧ = 10 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 30° pagal laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = 140 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 10 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite sijos posūkio kampą θ_A ties atrama A, radianais.

w = 2 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 12 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis negali viršyti tarpatramis/360. Raskite mažiausią inercijos momentą I_req, tenkinantį šią sąlygą.

w = 5 kN/mL = 8 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 1,5 mE = 200 GPa (plienas)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 13,26 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 70·1000/113,1 = 618,9 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for aliuminis = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 618,9/70000 = 0,008842 = 8842 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,008842·1500 mm = 13,26 mm

Atsakymas

δ = 13,26 mm

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P_max = 236,2 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·2199 = 2,953 × 10⁸ N

Lemiančioji deformacija

ε = min(0,0008, 0,001429) = 0,0008 (plienas)

Didžiausia apkrova

P_max = 0,0008·2,953 × 10⁸ = 236248 N = 236,2 kN

Atsakymas

P_max = 236,2 kN

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 1,347 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 750·1000·500/(26000·613592) = 0,02351 rad

φ = 0,02351·180/π = 1,347°

Atsakymas

φ = 1,347°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 45,5 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 15000/104,7 = 143,2 N·m

Skersmuo pagal stiprumą

T = 143,2 N·m = 143239 N·mm

d_τ = ∛(16·143239/(π·40)) = 26,32 mm

Skersmuo pagal standumą

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·143239/(π·39000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 45,5 mm

Lemiamasis skersmuo

Turi būti tenkinamos abi sąlygos, todėl lemia didesnis skersmuo.

d = max(26,32, 45,5) = 45,5 mm

Atsakymas

d = 45,5 mm

Čia lemia standumas.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: V_x = −12 kN

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, veikianti taške x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·4·2

R_B = 96/4 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Perpjaukite ties x = 3 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

V = R_A − (visos žemyn nukreiptos apkrovos kairiau pjūvio)

V_x = 24 − 12·3 = −12 kN

Atsakymas

V_x = −12 kN

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 74,67 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, veikianti taške x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·4 + 2·6·3

R_B = 236/6 = 39,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 62 − 39,33 = 22,67 kN

Perpjaukite ties x = 4 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 22,67·4 − 2·4·2 = 74,67 kN·m

Atsakymas

M_x = 74,67 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 53,01 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

sienelė: A_w = 10·300 = 3000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·305 + 3000·150)/5200 = 215,6 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 220·10³/12 + 2200·(305 − 215,6)² = 1,761 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 10·300³/12 + 3000·(150 − 215,6)² = 3,54 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,761 × 10⁷ + 3,54 × 10⁷ = 5,301 × 10⁷ mm⁴ = 53,01 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 53,01 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 71,1 × 10⁶ mm⁴

Padalykite į tris stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

viršutinė lentyna: A = 2160 mm², y = 235 mm

sienelė: A = 3360 mm², y = 121 mm

apatinė lentyna: A = 2400 mm², y = 8 mm

Svorio centras

ȳ = (2160·235 + 3360·121 + 2400·8)/7920 = 117,8 mm

Šteinerio teorema

viršutinė lentyna: 120·18³/12 + 2160·117,2² = 2,97 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 16·210³/12 + 3360·3,152² = 1,238 × 10⁷ mm⁴

apatinė lentyna: 150·16³/12 + 2400·109,8² = 2,901 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,97 × 10⁷ + 1,238 × 10⁷ + 2,901 × 10⁷

I_x = 7,11 × 10⁷ mm⁴ = 71,1 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 71,1 × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_s = 54,72 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Kampas apskritime

Moro apskritime viršutinis taškas (+R) nuo pagrindinio taško σ₁ nutolęs 90°; elemente tai atitinka 45°.

cos 2θ_s = −30/90,14 = −0,3328, sin 2θ_s = −(−85)/90,14 = 0,943

2θ_s = atan2(85, −30) = 109,4°

Kampas elemente

θ_s = 54,72°

patikra: θ_s − θ_p = 54,72 − (−80,28) = 135°

Atsakymas

θ_s = 54,72°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = 121,3 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = 120 + 20·0,5 + 10·−0,866 = 121,3 MPa

Atsakymas

σ_θ = 121,3 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: θ_A = 0,005051 rad

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija). Posūkio kampas θ = dv/dx yra pirmasis M/(EI) integralas; suderintais vienetais jis gaunamas radianais.

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Galo posūkio kampas

θ_A = wL³/(24EI) = 2·2000³/(24·1,32 × 10¹¹) = 0,005051 rad

Atsakymas

θ_A = 0,005051 rad

Tai yra 0,2894°.

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: I_req = 1091 × 10⁶ mm⁴

Įlinkio riba

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Reikiamas inercijos momentas

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·8000⁴/(384·11000·22,22) = 1,091 × 10⁹ mm⁴

I_req = 1091 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_req = 1091 × 10⁶ mm⁴

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 92,12 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/2500² = 92116 N = 92,12 kN

Atsakymas

P_cr = 92,12 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 179 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/10 = 105

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/105² = 179 MPa

Atsakymas

σ_cr = 179 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials