Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

plienas strypas (skersmuo 20 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš bronza (išorinis skersmuo 100 mm, vidinis skersmuo 50 mm, E = 110 GPa). Abu 400 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 250 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 250 kNstrypas: Ø20 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø100/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite didžiausią normalinį įtempį σ_max strype.

P = 95 kN1 ruožas: Ø40 mm, 0,5 m, plienas (E = 200 GPa)2 ruožas: Ø16 mm, 1 m, aliuminis (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Velenų sukimasVidutinis

Tuščiaviduris velenas (aliuminis; išorinis skersmuo 30 mm, vidinis skersmuo 18 mm, ilgis 2 m) viename gale įtvirtintas, o kitame sukamas 200 N·m sukimo momentu. Raskite sukimo kampą φ laipsniais.

T = 200 N·md_o = 30 mmd_i = 18 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas perduoda 50 kW esant 1500 aps./min. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

P = 50 kWN = 1500 rpmd_o = 50 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

15 kN @ 8 m8 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 3 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 8 mP = 20 kN ties 3 mw = 10 kN/m nuo 0 iki 8 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Apvalaus vamzdžio išorinis skersmuo D = 100 mm, vidinis skersmuo d = 88 mm. Raskite jo inercijos spindulį r horizontaliosios centrinės ašies atžvilgiu.

D = 100 mmd = 88 mm

r = mm

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

150 mm × 150 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 60 mm pločio ir 20 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 90 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 150 mmh = 150 mmiškirpimas: 60 × 20 mmskylės centras: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 160 MPa, σᵧ = 100 MPa ir τₓᵧ = 60 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_p nuo x ašies iki didžiausio pagrindinio įtempio krypties, intervale nuo −90° iki 90°.

σ_x = 160 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 60 MPa, σᵧ = 10 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Raskite fon Mizeso ekvivalentinį įtempį σ_vM.

σ_x = 60 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 30 MPa

σ_vM = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

L ilgio gembė įtvirtinta taške A ir apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 0,5 m atstumu nuo A. Raskite įlinkį δ_B laisvajame gale B.

P = 7 kNa = 0,5 mL = 2,5 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis negali viršyti tarpatramis/360. Raskite mažiausią inercijos momentą I_req, tenkinantį šią sąlygą.

w = 6 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (plienas)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Ji turi atlaikyti 85 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 85 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,1407 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·5890 = 7,108 × 10⁸ N

Sutrumpėjimas

δ = 250000·400/7,108 × 10⁸ = 0,1407 mm

Atsakymas

δ = 0,1407 mm

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ_max = 472,5 MPa

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 75,6 MPa

σ₂ = 472,5 MPa

Didžiausias įtempis

Plonesnio ruožo plotas mažesnis, todėl jame įtempis didesnis.

σ_max = 472,5 MPa

Atsakymas

σ_max = 472,5 MPa

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 12,74 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π(30⁴ − 18⁴)/32 = 69216 mm⁴

Sukimo kampas

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 200000·2000/(26000·69216) = 0,2223 rad

φ = 0,2223·180/π = 12,74°

Atsakymas

φ = 12,74°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 14,9 MPa

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 50000/157,1 = 318,3 N·m

Polinis inercijos momentas

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

Didžiausias tangentinis įtempis

τ_max = T·(d_o/2)/J = 318310·25/534071 = 14,9 MPa

Atsakymas

τ_max = 14,9 MPa

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: D (x = 6 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 33 kN, R₂ = 30 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 66, M_C = 116, M_D = 134 kN·m, M_E = 120, M_F = 60, M_G = 0

Atsakymas

Žymė D: M_D = 134 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 112,5 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, veikianti taške x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·3 + 10·8·4

R_B = 380/8 = 47,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 47,5 = 52,5 kN

Perpjaukite ties x = 3 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 52,5·3 − 10·3·1,5 = 112,5 kN·m

Atsakymas

M_x = 112,5 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: r = 33,3 mm

Inercijos momentas: stačiakampio inercijos momentas jo centrinės ašies atžvilgiu I = bh³/12, o pagrindo atžvilgiu bh³/3 (Šteinerio teorema I = I_c + A·d²). Angą įskaitykite atimdami jos I, jei abi dalys turi tą pačią ašį. Tamprusis atsparumo momentas S = I/c, kur c – atstumas iki kraštinio sluoksnio. Inercijos spindulys r = √(I/A) yra atstumas, kuriame sutelktas visas plotas duotų tą patį I; jis naudojamas kolonų klupumo skaičiavimuose.

Grynasis plotas ir inercijos momentas

A = π(D² − d²)/4 = 1772 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1,965 × 10⁶ mm⁴

Inercijos spindulys

r = √(I/A) = √(1,965 × 10⁶/1772) = 33,3 mm

Atsakymas

r = 33,3 mm

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 41,86 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio I_c = bh³/12, o skritulio I_c = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (22500·75 − 1200·90)/(22500 − 1200) = 74,15 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

150·150³/12 + 22500·0,8451² = 42,2 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

60·20³/12 + 1200·15,85² = 0,3413 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 41,86 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 41,86 × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_p = 31,72 °

Kampas apskritime

Moro apskritime taškas x yra kampu 2θp nuo σ ašies; ketvirtis priklauso nuo σₓ − σᵧ ir τₓᵧ ženklų.

2θ_p = atan2(2·60, 160 − 100) = 63,43°

Kampas elemente

θ_p = 31,72°

Atsakymas

θ_p = 31,72°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_vM = 76,16 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Takumo kriterijai: pagal fon Mizesą takumas prasideda, kai σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) pasiekia σ_Y; pagal Treską – kai absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis pasiekia σ_Y/2.

Pagrindiniai įtempiai

C = 35 MPa, R = 39,05 MPa

σ₁ = 74,05 MPa, σ₂ = −4,051 MPa, σ₃ = 0

Fon Mizesas

σ_vM = √(74,05² − 74,05·(−4,051) + (−4,051)²) = 76,16 MPa

Atsakymas

σ_vM = 76,16 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_B = 2,431 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 7000 N, a = 500 mm, L = 2500 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Laisvojo galo įlinkis

Įlinkis po apkrova plius posūkio kampas po apkrova, padaugintas iš likusio ilgio.

δ_P = Pa³/(3EI) = 0,3472 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,001042 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 2,431 mm

Atsakymas

δ_B = 2,431 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: I_req = 17,58 × 10⁶ mm⁴

Įlinkio riba

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Reikiamas inercijos momentas

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·5000⁴/(384·200000·13,89) = 1,758 × 10⁷ mm⁴

I_req = 17,58 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_req = 17,58 × 10⁶ mm⁴

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 11,66 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/4200² = 11656 N = 11,66 kN

Atsakymas

P_cr = 11,66 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 72,79 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2·85000 = 170000 N

KL = 2·2000 = 4000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·170000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 72,79 mm

Atsakymas

d = 72,79 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 219,8, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials