Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Strypą sudaro plienas atkarpa (skersmuo 30 mm, ilgis 300 mm, E = 200 GPa), galais sujungta su atkarpa iš žalvaris (skersmuo 60 mm, ilgis 500 mm, E = 100 GPa). Vienas galas įtvirtintas, kitas traukiamas. Raskite ašinę apkrovą P, kuri jį iš viso pailgina 0,3 mm.

1 atkarpa: plienas, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: žalvaris, Ø60 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 65 kN1 ruožas: Ø40 mm, 2 m, plienas (E = 200 GPa)2 ruožas: Ø16 mm, 0,5 m, žalvaris (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Velenų sukimasVidutinis

Tuščiaviduris velenas turi perduoti 100 N·m sukimo momentą. Jo vidinio ir išorinio skersmenų santykis turi būti 0,5, o tangentinis įtempis negali viršyti 60 MPa. Raskite mažiausią išorinį skersmenį d_o.

T = 100 N·md_i/d_o = 0,5τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (žalvaris), kurio skersmuo 30 mm, abiem galais A ir B įtvirtintas standžiose sienose. Taške C, 0,5 m atstumu nuo A ir 2 m atstumu nuo B, pridėtas 250 N·m sukimo momentas. Raskite skerspjūvio C posūkio kampą φ_C laipsniais.

d = 30 mmT₀ = 250 N·ma = 0,5 mb = 2 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

40 kN @ 6 m8 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

35 kN @ 12 m55 kN @ 2 m4 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 15 kN·m. Raskite lenkimo įtempį σ_apačia apatiniame krašte.

b_f = 220 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 200 mmM = 15 kN·m

σ_apačia = MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 60 MPa, σᵧ = −60 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa, σ_z = 0. Raskite absoliutųjį didžiausią tangentinį įtempį τ_abs taške (atsižvelgiant į visas plokštumas trijuose matmenyse).

σ_x = 60 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 100 MPa, σᵧ = −20 MPa ir τₓᵧ = 40 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 30° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = 100 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite laisvojo galo įlinkį δ.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (plienas)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta sutelktąja jėga P, esančia b = 2 m atstumu nuo atramos B. Raskite įlinkį δ_mid tarpatramio viduryje.

P = 7 kNb = 2 mL = 8 mE = 200 GPa (plienas)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (plienas)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 145 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 145 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P = 77,11 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Lankstumai

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·706,9) = 2,122 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·2827) = 1,768 × 10⁻⁶ mm/N

Apkrova

P = 0,3/3,89 × 10⁻⁶ = 77112 N = 77,11 kN

Atsakymas

P = 77,11 kN

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 2,134 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 51,73 MPa

σ₂ = 323,3 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 51,73·2000/200000 = 0,5173 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 323,3·500/100000 = 1,616 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,134 mm

Atsakymas

δ = 2,134 mm

3.Velenų sukimas

Atsakymas: d_o = 20,84 mm

Išorinis skersmuo iš leistinojo įtempio

T = 100 N·m = 100000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·100000/(π·60·0,9375)) = 20,84 mm

d_i = 0,5·20,84 = 10,42 mm

Atsakymas

d_o = 20,84 mm

Pilnaviduriam velenui reikėtų d = 20,4 mm; tuščiaviduris kiek didesnis, bet daug lengvesnis.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: φ_C = 1,847 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω. Kai abu galai įtvirtinti, vien statika duoda tik T_A + T_B = T₀; antroji lygtis yra suderinamumas (abiejų dalių vienodas sukimo kampas apkrautame skerspjūvyje).

Pusiausvyra ir suderinamumas

T_A + T_B = 250

T_A·a = T_B·b

T_A = 250·2/2,5 = 200 N·m

T_B = 250·0,5/2,5 = 50 N·m

C posūkio kampas

Naudokite ruožą AC: jis įtvirtintas ties A ir perduoda T_A.

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 200000·500/(39000·79522) = 0,03224 rad = 1,847°

Atsakymas

φ_C = 1,847°

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: D (x = 6 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 68 kN, R₂ = 68 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 120, M_C = 208, M_D = 264 kN·m, M_E = 208, M_F = 120, M_G = 0

Atsakymas

Žymė D: M_D = 264 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: B (x = 2 m)

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 57 kN, R₂ = 73 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 106 kN·m, M_C = 86, M_D = 50, M_E = −2, M_F = −70, M_G = 0

Atsakymas

Žymė B: M_B = 106 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 27,15 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 200 + 10/2 = 205 mm

sienelė: A_w = 16·200 = 3200 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·205 + 3200·100)/6000 = 149 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 280·10³/12 + 2800·(205 − 149)² = 8,804 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 16·200³/12 + 3200·(100 − 149)² = 1,835 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,804 × 10⁶ + 1,835 × 10⁷ = 2,715 × 10⁷ mm⁴ = 27,15 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 27,15 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_apačia = 118,6 MPa

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 220·15 = 3300 mm², y_f = 200 + 15/2 = 207,5 mm

sienelė: A_w = 10·200 = 2000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3300·207,5 + 2000·100)/5300 = 166,9 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 220·15³/12 + 3300·(207,5 − 166,9)² = 5,492 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 10·200³/12 + 2000·(100 − 166,9)² = 1,563 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,492 × 10⁶ + 1,563 × 10⁷ = 2,112 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Apatinis kraštas yra ȳ atstumu nuo ašies.

y = 166,9 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·166,9/2,112 × 10⁷ = 118,6 MPa

Atsakymas

σ_apačia = 118,6 MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_abs = 67,08 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Trijuose matmenyse absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis yra (σ_max − σ_min)/2 tarp visų trijų pagrindinių įtempių; plokščiajame įtempių būvyje trečiasis lygus nuliui.

Pagrindiniai įtempiai plokštumoje

C = 0 MPa, R = √(60² + 30²) = 67,08 MPa

σ₁ = 67,08 MPa, σ₂ = −67,08 MPa, σ_z = 0

Didžiausias iš trijų apskritimų

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(134,2, 67,08, 67,08)/2 = 67,08 MPa

Atsakymas

τ_abs = 67,08 MPa

Čia σ₁ ir σ₂ priešingų ženklų, todėl maksimumas plokštumoje R kartu yra ir absoliutusis maksimumas.

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = 104,6 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = 40 + 60·0,5 + 40·0,866 = 104,6 MPa

Atsakymas

σ_θ = 104,6 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 1,688 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Įlinkis

δ = wL⁴/(8EI) = 4·3000⁴/(8·2,4 × 10¹³) = 1,688 mm

Atsakymas

δ = 1,688 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_mid = 4,503 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 7000 N, b = 2000 mm, L = 8000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Įlinkis tarpatramio viduryje

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 7000·2000·(3·8000² − 4·2000²)/(48·1,14 × 10¹³) = 4,503 mm

Atsakymas

δ_mid = 4,503 mm

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 4,205 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·6000 = 12000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/12000² = 4205 N = 4,205 kN

Atsakymas

P_cr = 4,205 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 65,76 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2·145000 = 290000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·290000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 65,76 mm

Atsakymas

d = 65,76 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 152,1, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials