Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis
σ = F/A
Deformacija
ε = ΔL/L
Huko dėsnis
σ = E·ε
Pailgėjimas
ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija
εT = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis
τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas
J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas
φ = TL/(GJ)
Galia
P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

  1. Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
  2. Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
  3. Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
  4. Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8

Metodas

  1. Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
  2. Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
  3. Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
  4. Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Stačiakampis
I = bh³/12
Šteinerio teorema
I = Ic + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras
C = (σx + σy)/2
Spindulys
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Pagrindiniai įtempiai
σ1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Pasvirasis pjūvis
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metodas

  1. Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
  2. Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
  4. Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje
δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija
δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale
δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija
δ = δ1 + δ2

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis
Ø 16 mmPlienas2,5 mP = 110 kN

Raskite strypo (plienas) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 110 kNd = 16 mmL = 2,5 mE = 200 GPa
δ = mm
2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus
P = ?Ø40120 GPaØ120/70800 mm

plienas strypas (skersmuo 40 mm, E = 200 GPa, leistinasis įtempis 120 MPa) yra viduje vamzdžio iš varis (išorinis skersmuo 120 mm, vidinis skersmuo 70 mm, E = 120 GPa, leistinasis įtempis 60 MPa). Jie kartu gniuždomi tarp standžių plokščių. Raskite didžiausią apkrovą Pmax.

strypas: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPavamzdis: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
3.Velenų sukimasVidutinis
d = ?T = 1500 N·mL = 0,5 m

Pilnavidurį 0,5 m ilgio veleną (žalvaris) veikia 1500 N·m sukimo momentas. Sukimo kampas tarp jo galų negali viršyti 2°. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį šią sąlygą.

T = 1500 N·mL = 0,5 mG = 39 GPaφallow = 2°
d = mm
4.Velenų sukimasSunkus
d = ?30 kW, 1450 rpm

Pilnaviduris velenas (žalvaris) perduoda 30 kW esant 1450 rpm. Tangentinis įtempis negali viršyti 40 MPa, o santykinis sukimo kampas – 1°/m. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį abi sąlygas.

P = 30 kWN = 1450 rpmτallow = 40 MPaθallow = 1°/mG = 39 GPa
d = mm
5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
M0​ = 30 kN·mAB3 m1 m

Laisvai atremtą siją veikia tik jėgų pora M0 = 30 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, esanti x = 3 m atstumu nuo A. Raskite lenkimo momentą Mx iš karto kairiau jėgų poros. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 4 mM0 = 30 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, ties 3 m
Mx = kN·m
6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
25 kN25 kN50 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

25 kN @ 0 m25 kN @ 6 m50 kN @ 3 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis
2202522016xmatmenys mm

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

bf = 220 mmtf = 25 mmtw = 16 mmhw = 220 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus
150 mm200 mm60 mm80 × 50xIx​ = ?

150 mm × 200 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 80 mm pločio ir 50 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 60 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 150 mmh = 200 mmiškirpimas: 80 × 50 mmskylės centras: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis
σx​ = 20σy​ = 10τxy​ = 30MPa

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 20 MPa, σᵧ = 10 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa, σz = 0. Raskite absoliutųjį didžiausią tangentinį įtempį τabs taške (atsižvelgiant į visas plokštumas trijuose matmenyse).

σx = 20 MPaσy = 10 MPaτxy = 30 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus
σx​ = −20σy​ = 100τxy​ = −30MPa

Apkrautos detalės taške σₓ = −20 MPa, σᵧ = 100 MPa ir τₓᵧ = −30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite tangentinį įtempį τθ pjūvyje, kurio normalė pasukta 30° pagal laikrodžio rodyklę nuo x ašies (teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σx = −20 MPaσy = 100 MPaτxy = −30 MPaθ = -30°
τθ = MPa
11.Sijos įlinkisVidutinis
w = 8 kN/mδL = 2 m

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite laisvojo galo įlinkį δ.

w = 8 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Sijos įlinkisSunkus
w = 4 kN/mABδ3,5 m

Laisvai atremta stačiakampio skerspjūvio medinė sija, 75 mm pločio, visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis tarpatramio viduryje negali viršyti tarpatramis/250. Raskite mažiausią skerspjūvio aukštį hreq.

w = 4 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)b = 75 mm
hreq = mm
13.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 2 md = 30 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 2 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 30 mm
Pcr = kN
14.Kolonų klupimasSunkus
P = 125 kNL = 6 md = ?skerspjūvis

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 125 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 125 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (plienas)
d = mm

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 6,839 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 110·1000/201,1 = 547,1 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for plienas = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 547,1/200000 = 0,002735 = 2735 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,002735·2500 mm = 6,839 mm

Atsakymas

δ = 6,839 mm
2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: Pmax = 573,3 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, Pi = P·EiAi/ΣEA, o σi = Ei·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·7461 = 1,147 × 10⁹ N

Lemiančioji deformacija

ε = min(0,0006, 0,0005) = 0,0005 (varis)

Didžiausia apkrova

Pmax = 0,0005·1,147 × 10⁹ = 573341 N = 573,3 kN

Atsakymas

Pmax = 573,3 kN
3.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 48,67 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Reikiamas polinis inercijos momentas

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm
L = 0,5 m = 500 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 2·π/180 = 0,03491 rad
J = TL/(Gφ) = 1,5 × 10⁶·500/(39000·0,03491) = 550921 mm⁴

Skersmuo

d = (32J/π)1/4 = 48,67 mm

Atsakymas

d = 48,67 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 41,47 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 30000/151,8 = 197,6 N·m

Skersmuo pagal stiprumą

T = 197,6 N·m = 197572 N·mm
dτ = ∛(16·197572/(π·40)) = 29,3 mm

Skersmuo pagal standumą

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·197572/(π·39000·1,745 × 10⁻⁵))1/4 = 41,47 mm

Lemiamasis skersmuo

Turi būti tenkinamos abi sąlygos, todėl lemia didesnis skersmuo.

d = max(29,3, 41,47) = 41,47 mm

Atsakymas

d = 41,47 mm

Čia lemia standumas.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mx = −22,5 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Pridėta jėgų pora lenkimo momentų diagramoje sukelia šuolį, lygų poros dydžiui.

Atramų reakcijos

Momentai taško A atžvilgiu, prieš laikrodžio rodyklę teigiami: RB·L − M0 = 0. Vertikalioji pusiausvyra: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 30/4 = 7,5 kN (aukštyn)
RA = −RB = −7,5 kN (žemyn)

Pjūvis iš karto kairiau jėgų poros

Kairiojoje dalyje yra tik RA.

Mx = RA·a = −7,5·3 = −22,5 kN·m

Atsakymas

Mx = −22,5 kN·m
6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: E (x = 4 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R1 = 33,33 kN, R2 = 66,67 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

MA = 0, MB = −25, MC = −16,67, MD = −8,333, ME = −50 kN·m, MF = −25, MG = 0

Atsakymas

Žymė E: ME = −50 kN·m
7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: Ix = 46,69 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: Af = 220·25 = 5500 mm², yf = 220 + 25/2 = 232,5 mm
sienelė: Aw = 16·220 = 3520 mm², yw = 220/2 = 110 mm

Svorio centras

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5500·232,5 + 3520·110)/9020 = 184,7 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 220·25³/12 + 5500·(232,5 − 184,7)² = 1,286 × 10⁷ mm⁴
sienelė: 16·220³/12 + 3520·(110 − 184,7)² = 3,384 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,286 × 10⁷ + 3,384 × 10⁷ = 4,669 × 10⁷ mm⁴ = 46,69 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

Ix = 46,69 × 10⁶ mm⁴
8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: Ix = 91,78 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio Ic = bh³/12, o skritulio Ic = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (30000·100 − 4000·60)/(30000 − 4000) = 106,2 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

150·200³/12 + 30000·−6,154² = 101,1 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

80·50³/12 + 4000·−46,15² = 9,354 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

Ix = 91,78 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

Ix = 91,78 × 10⁶ mm⁴
9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τabs = 30,41 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Trijuose matmenyse absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis yra (σmax − σmin)/2 tarp visų trijų pagrindinių įtempių; plokščiajame įtempių būvyje trečiasis lygus nuliui.

στxyCσ1​σ2​

Pagrindiniai įtempiai plokštumoje

C = 15 MPa, R = √(5² + 30²) = 30,41 MPa
σ1 = 45,41 MPa, σ2 = −15,41 MPa, σz = 0

Didžiausias iš trijų apskritimų

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(60,83, 45,41, 15,41)/2 = 30,41 MPa

Atsakymas

τabs = 30,41 MPa

Čia σ₁ ir σ₂ priešingų ženklų, todėl maksimumas plokštumoje R kartu yra ir absoliutusis maksimumas.

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τθ = −66,96 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Transformacijos lygtis

τθ = −−60·−0,866 + −30·0,5 = −66,96 MPa

Atsakymas

τθ = −66,96 MPa
11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 9,091 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Įlinkis

δ = wL⁴/(8EI) = 8·2000⁴/(8·1,76 × 10¹²) = 9,091 mm

Atsakymas

δ = 9,091 mm
12.Sijos įlinkis

Atsakymas: hreq = 201 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Įlinkio riba

δallow = L/250 = 3500/250 = 14 mm

Reikiamas inercijos momentas

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·3500⁴/(384·11000·14) = 5,075 × 10⁷ mm⁴

Reikiamas aukštis

bh³/12 = Ireq → h = (12·5,075 × 10⁷/75)1/3 = 201 mm

Atsakymas

hreq = 201 mm

Praktikoje parinkite artimiausią didesnį standartinį aukštį.

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 14,02 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1400² = 14015 N = 14,02 kN

Atsakymas

Pcr = 14,02 kN
14.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 98,17 mm

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Reikiama kritinė jėga

Pcr = n·P = 2·125000 = 250000 N
KL = 1·6000 = 6000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 98,17 mm

Atsakymas

d = 98,17 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 244,5, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials