Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Strypą sudaro plienas atkarpa (skersmuo 20 mm, ilgis 500 mm, E = 200 GPa), galais sujungta su atkarpa iš bronza (skersmuo 30 mm, ilgis 500 mm, E = 110 GPa). Vienas galas įtvirtintas, kitas traukiamas. Raskite ašinę apkrovą P, kuri jį iš viso pailgina 0,5 mm.

1 atkarpa: plienas, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: bronza, Ø30 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite didžiausią normalinį įtempį σ_max strype.

P = 90 kN1 ruožas: Ø40 mm, 0,5 m, varis (E = 117 GPa)2 ruožas: Ø20 mm, 0,5 m, žalvaris (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (žalvaris) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 750 N·md = 25 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas turi perduoti 15 kW esant 1000 aps./min, o tangentinis įtempis negali viršyti 40 MPa. Raskite mažiausią tinkamą skersmenį d.

P = 15 kWN = 1000 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 1,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 5 mw = 10 kN/m nuo 0 iki 5 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Sija remiasi į šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, o už B tęsiasi 2,5 m ilgio konsolė iki laisvojo galo C. Visą ilgį A–C veikia tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite atstumą x_c nuo A iki persilenkimo taško tarp atramų (kur lenkimo momentas keičia ženklą).

L = 7,5 mw = 5 kN/m nuo 0 iki 7,5 matramos ties x = 0 ir x = 5 m

x_c = m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Simetriško dvitėjo skerspjūvio lentynos yra 180 mm pločio ir 12 mm storio, bendrasis aukštis 280 mm, o sienelės storis 8 mm. Raskite jo tamprųjį atsparumo momentą S_x lenkiant horizontaliosios centrinės ašies x atžvilgiu.

B = 180 mmH = 280 mmt_f = 12 mmt_w = 8 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Ketaus sija turi pavaizduotą tėjinį skerspjūvį, lentyna viršuje. Leistinieji įtempiai: 60 MPa tempiant ir 100 MPa gniuždant. Raskite didžiausią teigiamą lenkimo momentą M_allow, kurį sija gali atlaikyti.

b_f = 120 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 100 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 120 MPa ir σᵧ = −20 MPa. Kokio didumo gali būti tangentinis įtempis τ_xy, kol didžiausias pagrindinis įtempis pasieks 180 MPa?

σ_x = 120 MPaσ_y = −20 MPaσ₁ = 180 MPa

τ_xy = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 20 MPa, σᵧ = 40 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite tangentinį įtempį τ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 15° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies (teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σ_x = 20 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 15°

τ_θ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite sijos posūkio kampą θ_A ties atrama A, radianais.

w = 6 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (plienas)I = 23 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta sutelktąja jėga P, esančia b = 2 m atstumu nuo atramos B. Raskite didžiausią sijos įlinkį δ_max.

P = 7 kNb = 2 mL = 6 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 40 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 40 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P = 34,75 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 706,9 mm²

Lankstumai

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·706,9) = 6,431 × 10⁻⁶ mm/N

Apkrova

P = 0,5/1,439 × 10⁻⁵ = 34751 N = 34,75 kN

Atsakymas

P = 34,75 kN

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ_max = 286,5 MPa

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 71,62 MPa

σ₂ = 286,5 MPa

Didžiausias įtempis

Plonesnio ruožo plotas mažesnis, todėl jame įtempis didesnis.

σ_max = 286,5 MPa

Atsakymas

σ_max = 286,5 MPa

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 14,37 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 750·1000·500/(39000·38350) = 0,2507 rad

φ = 0,2507·180/π = 14,37°

Atsakymas

φ = 14,37°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 26,32 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 15000/104,7 = 143,2 N·m

Skersmuo pagal leistinąjį įtempį

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·143239/(π·40)) = 26,32 mm

Atsakymas

d = 26,32 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 26,25 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, veikianti taške x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·5·2,5

R_B = 125/5 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

Perpjaukite ties x = 1,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 25·1,5 − 10·1,5·0,75 = 26,25 kN·m

Atsakymas

M_x = 26,25 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: x_c = 3,75 m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra, įskaitant konsolės apkrovą.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 5·7,5 = 37,5 kN, veikianti taške x̄ = 3,75 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 5·7,5·3,75

R_B = 140,6/5 = 28,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 37,5 − 28,13 = 9,375 kN

Nulinis momentas

Tarp atramų M(x) = R_A·x − w·x²/2. Be x = 0, jis lygus nuliui ties x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·9,375/5 = 3,75 m

Atsakymas

x_c = 3,75 m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: S_x = 634,3 × 10³ mm³

Inercijos momentas: stačiakampio inercijos momentas jo centrinės ašies atžvilgiu I = bh³/12, o pagrindo atžvilgiu bh³/3 (Šteinerio teorema I = I_c + A·d²). Angą įskaitykite atimdami jos I, jei abi dalys turi tą pačią ašį. Tamprusis atsparumo momentas S = I/c, kur c – atstumas iki kraštinio sluoksnio.

Išorinis stačiakampis atėmus dvi šonines išpjovas

Abi išpjovos kartu yra (B − t_w) pločio ir h_w = H − 2t_f aukščio, o jų ašis ta pati – x.

h_w = 280 − 2·12 = 256 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (180·280³ − 172·256³)/12

I_x = 8,881 × 10⁷ mm⁴

Atsparumo momentas

c = H/2 = 140 mm

S_x = I/c = 8,881 × 10⁷/140

S_x = 634333 mm³ = 634,3 × 10³ mm³

Atsakymas

S_x = 634,3 × 10³ mm³

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: M_allow = 3,761 kN·m

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Svorio centras

ȳ = (2400·110 + 1800·50)/4200 = 84,29 mm

viršutinė kraštinė: c = 120 − 84,29 = 35,71 mm

Inercijos momentas

I = 120·20³/12 + 2400·25,71² + 18·100³/12 + 1800·34,29² = 5,283 × 10⁶ mm⁴

Kiekvienos kraštinės leidžiamas momentas

Teigiamas lenkimas: viršus gniuždomas, apačia tempiama.

viršutinė kraštinė: M = 100·5,283 × 10⁶/35,71 = 14,79 kN·m

apatinė kraštinė: M = 60·5,283 × 10⁶/84,29 = 3,761 kN·m

Lemiamoji reikšmė

M_allow = min = 3,761 kN·m (apatinė kraštinė)

Atsakymas

M_allow = 3,761 kN·m

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_xy = 109,5 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Reikiamas spindulys

C = (120 + (−20))/2 = 50 MPa

R = σ₁ − C = 180 − 50 = 130 MPa

Tangentinis įtempis

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(130² − 70²) = 109,5 MPa

Atsakymas

τ_xy = 109,5 MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_θ = 30,98 MPa

Transformacijos lygtis

τ_θ = −−10·0,5 + 30·0,866 = 30,98 MPa

Atsakymas

τ_θ = 30,98 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: θ_A = 0,003478 rad

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija). Posūkio kampas θ = dv/dx yra pirmasis M/(EI) integralas; suderintais vienetais jis gaunamas radianais.

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 4000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Galo posūkio kampas

θ_A = wL³/(24EI) = 6·4000³/(24·4,6 × 10¹²) = 0,003478 rad

Atsakymas

θ_A = 0,003478 rad

Tai yra 0,1993°.

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 4,608 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 7000 N, b = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Maksimumo vieta

Prilyginus ilgesniojo ruožo posūkio kampą nuliui, gaunama vieta.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 2000²)/3) = 3266 mm

Didžiausias įlinkis

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 4,608 mm

Atsakymas

δ_max = 4,608 mm

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 3,071 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·1500 = 3000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·40000/3000² = 3071 N = 3,071 kN

Atsakymas

P_cr = 3,071 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 73,84 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2·40000 = 80000 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·80000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 73,84 mm

Atsakymas

d = 73,84 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 325, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials