Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

plienas strypas (skersmuo 20 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš varis (išorinis skersmuo 80 mm, vidinis skersmuo 50 mm, E = 120 GPa). Abu 600 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 250 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 250 kNstrypas: Ø20 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas atkarpa (skersmuo 40 mm, ilgis 500 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš aliuminis (skersmuo 40 mm, ilgis 300 mm, E = 70 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 20 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ₂.

1 atkarpa: plienas, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: aliuminis, Ø40 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnavidurį 1 m ilgio veleną (žalvaris) veikia 1000 N·m sukimo momentas. Sukimo kampas tarp jo galų negali viršyti 0,5°. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį šią sąlygą.

T = 1000 N·mL = 1 mG = 39 GPaφ_allow = 0,5°

d = mm

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (aliuminis), kurio skersmuo 25 mm, abiem galais A ir B įtvirtintas standžiose sienose. Taške C, 3 m atstumu nuo A ir 0,5 m atstumu nuo B, pridėtas 500 N·m sukimo momentas. Raskite reakcijos sukimo momentą T_A sienoje A.

d = 25 mmT₀ = 500 N·ma = 3 mb = 0,5 m

T_A = N·m

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Sija remiasi į šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, o už B tęsiasi 1,5 m ilgio konsolė iki laisvojo galo C. Ją veikia sutelktoji jėga P₁ tarp atramų ir sutelktoji jėga P₂ taške C. Raskite lenkimo momentą M_x po apkrova P₁. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 7,5 mP₁ = 30 kN ties 2,5 mP₂ = 35 kN ties 7,5 matramos ties x = 0 ir x = 6 m

M_x = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Laisvai atremta sija dalyje tarpatramio apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą M_max.

L = 4 mw = 12 kN/m nuo 0 iki 3 m

M_max = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 140 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 20 kN·m. Raskite lenkimo įtempį σ_apačia apatiniame krašte.

b_f = 300 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 200 mmM = 20 kN·m

σ_apačia = MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 60 MPa, σᵧ = −80 MPa ir τₓᵧ = 10 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = 60 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Pilnaviduris 40 mm skersmens velenas perduoda 500 N·m lenkimo momentą kartu su 1000 N·m sukimo momentu. Viršutiniame paviršiuje, kur lenkimo įtempis tempiamasis ir didžiausias, raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

d = 40 mmM = 500 N·mT = 1000 N·m

τ_max = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w, o laisvajame gale – sutelktąja jėga P. Taikydami superpoziciją, raskite laisvojo galo įlinkį δ.

P = 4 kNw = 4 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis negali viršyti tarpatramis/360. Raskite mažiausią inercijos momentą I_req, tenkinantį šią sąlygą.

w = 12 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 6 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,3485 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·3063 = 4,304 × 10⁸ N

Sutrumpėjimas

δ = 250000·600/4,304 × 10⁸ = 0,3485 mm

Atsakymas

δ = 0,3485 mm

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ₂ = 5,864 MPa

Standumai

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 70000·1257/300 = 293215 N/mm

2 atkarpos dalis

F₂ = 20000·293215/795870 = 7368 N

Įtempis

σ₂ = 7368/1257 = 5,864 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ₂ = 5,864 MPa

3.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 73,96 mm

Reikiamas polinis inercijos momentas

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad

J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·1000/(39000·0,008727) = 2,938 × 10⁶ mm⁴

Skersmuo

d = (32J/π)^1/4 = 73,96 mm

Atsakymas

d = 73,96 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: T_A = 71,43 N·m

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω. Kai abu galai įtvirtinti, vien statika duoda tik T_A + T_B = T₀; antroji lygtis yra suderinamumas (abiejų dalių vienodas sukimo kampas apkrautame skerspjūvyje).

Pusiausvyra ir suderinamumas

T_A + T_B = 500

T_A·a = T_B·b

T_A = 500·0,5/3,5 = 71,43 N·m

T_B = 500·3/3,5 = 428,6 N·m

Atsakymas

T_A = 71,43 N·m

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 21,88 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra. Konsolės apkrova taip pat sukuria momentą taško A atžvilgiu.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·2,5 + 35·7,5

R_B = 337,5/6 = 56,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 56,25 = 8,75 kN

Pjūvis po P₁, paliekama kairioji dalis

M_x = R_A·2,5 = 8,75·2,5 = 21,88 kN·m

Atsakymas

M_x = 21,88 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_max = 21,09 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 12·3 = 36 kN, veikianti taške x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·3·1,5

R_B = 54/4 = 13,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 13,5 = 22,5 kN

Nulinė skersinė jėga

Skersinė jėga prasideda nuo R_A, neapkrautuose ruožuose išlieka pastovi, o apkrovos ruože mažėja nuolydžiu w.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 22,5/12 = 1,875 m

Didžiausias momentas

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 22,5·1,875 − 12·1,875²/2 = 21,09 kN·m

Atsakymas

M_max = 21,09 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 9,003 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 140·25 = 3500 mm², y_f = 120 + 25/2 = 132,5 mm

sienelė: A_w = 16·120 = 1920 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3500·132,5 + 1920·60)/5420 = 106,8 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 140·25³/12 + 3500·(132,5 − 106,8)² = 2,491 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 16·120³/12 + 1920·(60 − 106,8)² = 6,512 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,491 × 10⁶ + 6,512 × 10⁶ = 9,003 × 10⁶ mm⁴ = 9,003 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 9,003 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_apačia = 70,95 MPa

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 300·30 = 9000 mm², y_f = 200 + 30/2 = 215 mm

sienelė: A_w = 20·200 = 4000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (9000·215 + 4000·100)/13000 = 179,6 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 300·30³/12 + 9000·(215 − 179,6)² = 1,194 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 20·200³/12 + 4000·(100 − 179,6)² = 3,869 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,194 × 10⁷ + 3,869 × 10⁷ = 5,063 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Apatinis kraštas yra ȳ atstumu nuo ašies.

y = 179,6 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·179,6/5,063 × 10⁷ = 70,95 MPa

Atsakymas

σ_apačia = 70,95 MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 70,71 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((60 − −80)/2)² + 10²) = 70,71 MPa

Atsakymas

τ_max = 70,71 MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 88,97 MPa

Įtempiai paviršiuje

σ = 32M/(πd³) = 32·500000/(π·40³) = 79,58 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·40³) = 79,58 MPa

Moro apskritimas

C = σ/2 = 39,79 MPa

R = √(39,79² + 79,58²) = 88,97 MPa

Atsakymas

τ_max = 88,97 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 3,604 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 4000 N, w = 4 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δ_P = PL³/(3EI) = 4000·2500³/(3·1,12 × 10¹³) = 1,86 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 4·2500⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 1,744 mm

Sudėkite

δ = 1,86 + 1,744 = 3,604 mm

Atsakymas

δ = 3,604 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: I_req = 1105 × 10⁶ mm⁴

Įlinkio riba

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Reikiamas inercijos momentas

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·6000⁴/(384·11000·16,67) = 1,105 × 10⁹ mm⁴

I_req = 1105 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_req = 1105 × 10⁶ mm⁴

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 16,65 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·2000 = 4000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/4000² = 16655 N = 16,65 kN

Atsakymas

P_cr = 16,65 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 7,676 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/10 = 300

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7,676 MPa

Atsakymas

σ_cr = 7,676 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials

Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Velenų sukimas

Metodas

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Metodas

Svorio centras ir inercijos momentas

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Metodas

Sijos įlinkis

Kolonų klupimas

2Uždaviniai

3Tirpalai

Plotai

Bendras ašinis standumas

Sutrumpėjimas

Atsakymas

Standumai

2 atkarpos dalis

Įtempis

Atsakymas

Reikiamas polinis inercijos momentas

Skersmuo

Atsakymas

Pusiausvyra ir suderinamumas

Atsakymas

Atramų reakcijos

Pjūvis po P1, paliekama kairioji dalis

Atsakymas

Atramų reakcijos

Nulinė skersinė jėga

Didžiausias momentas

Atsakymas

Padalykite į du stačiakampius

Svorio centras

Šteinerio teorema

Atsakymas

Padalykite į du stačiakampius

Svorio centras

Šteinerio teorema

Lenkimo įtempis

Atsakymas

Moro apskritimo spindulys

Atsakymas

Įtempiai paviršiuje

Moro apskritimas

Atsakymas

Suderinti vienetai

Kiekviena apkrova atskirai

Sudėkite

Atsakymas

Įlinkio riba

Reikiamas inercijos momentas

Atsakymas

Mažiausias inercijos momentas

Skaičiuojamasis ilgis

Kritinė jėga

Atsakymas

Mažiausias inercijos momentas

Inercijos spindulys ir liaunis

Kritinis įtempis

Atsakymas

Pjūvis po P₁, paliekama kairioji dalis