Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite strypo (varis) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 30 kNd = 25 mmL = 1,5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas atkarpa (skersmuo 25 mm, ilgis 500 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš aliuminis (skersmuo 40 mm, ilgis 400 mm, E = 70 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 50 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ₂.

1 atkarpa: plienas, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: aliuminis, Ø40 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (plienas) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 250 N·md = 25 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas turi perduoti 10 kW esant 750 aps./min, o tangentinis įtempis negali viršyti 60 MPa. Raskite mažiausią tinkamą skersmenį d.

P = 10 kWN = 750 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Gembė įtvirtinta taške A. Ją visu ilgiu veikia tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktoji jėga P, esanti 0,5 m atstumu nuo A. Raskite lenkimo momentą M_A įtvirtinime A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 3 mP = 80 kN ties 0,5 mw = 2 kN/m nuo 0 iki 3 m

M_A = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 2 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 8 mP = 15 kN ties 3 mw = 10 kN/m nuo 0 iki 8 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 15 kN·m. Raskite lenkimo įtempio σ_viršus dydį viršutiniame krašte.

b_f = 160 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 300 mmM = 15 kN·m

σ_viršus = MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 90 MPa, σᵧ = 100 MPa ir τₓᵧ = −40 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = 90 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −40 MPa

τ_max = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 140 MPa, σᵧ = −40 MPa ir τₓᵧ = 20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite tangentinį įtempį τ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 45° pagal laikrodžio rodyklę nuo x ašies (teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σ_x = 140 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 20 MPaθ = -45°

τ_θ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 4 m atstumu nuo atramos A. Raskite įlinkį δ_P po apkrova.

P = 6 kNa = 4 mL = 5 mE = 200 GPa (plienas)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Papildomai atremta gembė įtvirtinta taške A ir laisvai atremta taške B. Tarpatramio viduryje ją veikia sutelktoji jėga P. EI pastovus. Raskite lenkimo momento įtvirtinime didumą M_A.

L = 8 mP = 20 kN ties 4 m

M_A = kN·m

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Ji turi atlaikyti 100 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 100 kNn = 2,5L = 5 mE = 70 GPa (aliuminis)

d = mm

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,7835 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 30·1000/490,9 = 61,12 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for varis = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 61,12/117000 = 0,0005224 = 522,4 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,0005224·1500 mm = 0,7835 mm

Atsakymas

δ = 0,7835 mm

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ₂ = 21,02 MPa

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Standumai

k₁ = 200000·490,9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 70000·1257/400 = 219911 N/mm

2 atkarpos dalis

F₂ = 50000·219911/416261 = 26415 N

Įtempis

σ₂ = 26415/1257 = 21,02 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ₂ = 21,02 MPa

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 4,669 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1000/(80000·38350) = 0,08149 rad

φ = 0,08149·180/π = 4,669°

Atsakymas

φ = 4,669°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 22,11 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 10000/78,54 = 127,3 N·m

Skersmuo pagal leistinąjį įtempį

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·127324/(π·60)) = 22,11 mm

Atsakymas

d = 22,11 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_A = −49 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Palikite dalį su laisvuoju galu

P: −80·0,5 = −40 kN·m

w: −2·3²/2 = −9 kN·m

M_A = −40 − 9 = −49 kN·m

Atsakymas

M_A = −49 kN·m

Neigiamas reiškia neigiamą lenkimą: tempiami viršutiniai sluoksniai.

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 78,75 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, veikianti taške x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15·3 + 10·8·4

R_B = 365/8 = 45,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 45,63 = 49,38 kN

Perpjaukite ties x = 2 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 49,38·2 − 10·2·1 = 78,75 kN·m

Atsakymas

M_x = 78,75 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 41,53 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 240·10 = 2400 mm², y_f = 240 + 10/2 = 245 mm

sienelė: A_w = 16·240 = 3840 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·245 + 3840·120)/6240 = 168,1 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 240·10³/12 + 2400·(245 − 168,1)² = 1,422 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 16·240³/12 + 3840·(120 − 168,1)² = 2,731 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,422 × 10⁷ + 2,731 × 10⁷ = 4,153 × 10⁷ mm⁴ = 41,53 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 41,53 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_viršus = 16,73 MPa

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 160·25 = 4000 mm², y_f = 300 + 25/2 = 312,5 mm

sienelė: A_w = 14·300 = 4200 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·312,5 + 4200·150)/8200 = 229,3 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 160·25³/12 + 4000·(312,5 − 229,3)² = 2,792 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 14·300³/12 + 4200·(150 − 229,3)² = 5,789 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,792 × 10⁷ + 5,789 × 10⁷ = 8,581 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Viršutinis kraštas yra h − ȳ atstumu nuo ašies.

y = 325 − 229,3 = 95,73 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·95,73/8,581 × 10⁷ = 16,73 MPa

Atsakymas

σ_viršus = 16,73 MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 40,31 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((90 − 100)/2)² + −40²) = 40,31 MPa

Atsakymas

τ_max = 40,31 MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_θ = 90 MPa

Transformacijos lygtis

τ_θ = −90·−1 + 20·0 = 90 MPa

Atsakymas

τ_θ = 90 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_P = 3,765 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 6000 N, a = 4000 mm, b = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Įlinkis po apkrova

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 6000·4000²·1000²/(3·1,7 × 10¹²·5000) = 3,765 mm

Atsakymas

δ_P = 3,765 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: M_A = 30 kN·m

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija). Statiškai neišsprendžiamoje sijoje pašalinkite perteklinę atramą ir pareikalaukite, kad įlinkis toje vietoje būtų lygus nuliui (suderinamumas).

Pašalinkite papildomą atramą

Be papildomos atramos sija yra gembė. Jos laisvasis galas įlinktų nuo apkrovos.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Suderinamumas ties papildoma atrama

Vien papildomos atramos jėga R_B pakelia laisvąjį galą dydžiu R_BL³/(3EI). Atrama išlaiko B nulinį įlinkį, todėl abu dydžiai turi vienas kitą panaikinti. EI susiprastina.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·20/16 = 6,25 kN

Momentas įtvirtinime

Apkrovų ir papildomos atramos jėgos momentai taško A atžvilgiu.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 80 − 50 = 30 kN·m

Atsakymas

M_A = 30 kN·m

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 3,553 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·5000 = 10000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/10000² = 3553 N = 3,553 kN

Atsakymas

P_cr = 3,553 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 164,8 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2,5·100000 = 250000 N

KL = 2·5000 = 10000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·10000²/(π³·70000))^(1/4) = 164,8 mm

Atsakymas

d = 164,8 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 242,8, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials