Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite ašinę deformaciją ε strype (žalvaris) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 120 kNd = 20 mmL = 1 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite didžiausią normalinį įtempį σ_max strype.

P = 15 kN1 ruožas: Ø40 mm, 1,5 m, žalvaris (E = 100 GPa)2 ruožas: Ø12 mm, 1,5 m, žalvaris (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (aliuminis) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 250 N·md = 40 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas turi perduoti 100 kW esant 1000 rpm. Jo vidinio ir išorinio skersmenų santykis turi būti 0,8, o tangentinis įtempis negali viršyti 75 MPa. Raskite mažiausią išorinį skersmenį d_o.

P = 100 kWN = 1000 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite skersinę jėgą V_x pjūvyje x = 2 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 5 mw = 8 kN/m nuo 0 iki 5 mx = 2 m

V_x = kN

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

45 kN @ 12 m25 kN @ 4 m4 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 300 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Ketaus sija turi pavaizduotą tėjinį skerspjūvį, lentyna viršuje. Leistinieji įtempiai: 50 MPa tempiant ir 150 MPa gniuždant. Raskite didžiausią teigiamą lenkimo momentą M_allow, kurį sija gali atlaikyti.

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 260 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 120 MPa, σᵧ = 50 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = 120 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 130 MPa, σᵧ = 90 MPa ir τₓᵧ = −10 MPa (tempimas teigiamas). Raskite tangentinį įtempį τ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 50° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies (teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σ_x = 130 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 50°

τ_θ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

L ilgio gembė įtvirtinta taške A ir apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 4,5 m atstumu nuo A. Raskite įlinkį δ_B laisvajame gale B.

P = 21 kNa = 4,5 mL = 6 mE = 200 GPa (plienas)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta stačiakampio skerspjūvio medinė sija, 125 mm pločio, visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis tarpatramio viduryje negali viršyti tarpatramis/360. Raskite mažiausią skerspjūvio aukštį h_req.

w = 3 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)b = 125 mm

h_req = mm

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 3820 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 120·1000/314,2 = 382 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for žalvaris = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 382/100000 = 0,00382 = 3820 µε

Atsakymas

ε = 3820 µε

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ_max = 132,6 MPa

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 11,94 MPa

σ₂ = 132,6 MPa

Didžiausias įtempis

Plonesnio ruožo plotas mažesnis, todėl jame įtempis didesnis.

σ_max = 132,6 MPa

Atsakymas

σ_max = 132,6 MPa

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 4,384 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2000/(26000·251327) = 0,07652 rad

φ = 0,07652·180/π = 4,384°

Atsakymas

φ = 4,384°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d_o = 47,89 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 100000/104,7 = 954,9 N·m

Išorinis skersmuo iš leistinojo įtempio

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·954930/(π·75·0,5904)) = 47,89 mm

d_i = 0,8·47,89 = 38,31 mm

Atsakymas

d_o = 47,89 mm

Pilnaviduriam velenui reikėtų d = 40,18 mm; tuščiaviduris kiek didesnis, bet daug lengvesnis.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: V_x = 4 kN

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, veikianti taške x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 8·5·2,5

R_B = 100/5 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Perpjaukite ties x = 2 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

V = R_A − (visos žemyn nukreiptos apkrovos kairiau pjūvio)

V_x = 20 − 8·2 = 4 kN

Atsakymas

V_x = 4 kN

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: E (x = 8 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 6 kN, R₂ = 96 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 4, M_C = −8, M_D = −86, M_E = −180 kN·m, M_F = −90, M_G = 0

Atsakymas

Žymė E: M_E = −180 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 38,7 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 300·15 = 4500 mm², y_f = 260 + 15/2 = 267,5 mm

sienelė: A_w = 8·260 = 2080 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·267,5 + 2080·130)/6580 = 224 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 300·15³/12 + 4500·(267,5 − 224)² = 8,586 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 8·260³/12 + 2080·(130 − 224)² = 3,011 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,586 × 10⁶ + 3,011 × 10⁷ = 3,87 × 10⁷ mm⁴ = 38,7 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 38,7 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: M_allow = 11,06 kN·m

Svorio centras

ȳ = (2200·265 + 3120·130)/5320 = 185,8 mm

viršutinė kraštinė: c = 270 − 185,8 = 84,17 mm

Inercijos momentas

I = 220·10³/12 + 2200·79,17² + 12·260³/12 + 3120·55,83² = 4,111 × 10⁷ mm⁴

Kiekvienos kraštinės leidžiamas momentas

Teigiamas lenkimas: viršus gniuždomas, apačia tempiama.

viršutinė kraštinė: M = 150·4,111 × 10⁷/84,17 = 73,26 kN·m

apatinė kraštinė: M = 50·4,111 × 10⁷/185,8 = 11,06 kN·m

Lemiamoji reikšmė

M_allow = min = 11,06 kN·m (apatinė kraštinė)

Atsakymas

M_allow = 11,06 kN·m

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 46,1 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((120 − 50)/2)² + 30²) = 46,1 MPa

Atsakymas

τ_max = 46,1 MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_θ = −17,96 MPa

Transformacijos lygtis

τ_θ = −20·0,9848 + −10·−0,1736 = −17,96 MPa

Atsakymas

τ_θ = −17,96 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_B = 29,9 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 21000 N, a = 4500 mm, L = 6000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Laisvojo galo įlinkis

Įlinkis po apkrova plius posūkio kampas po apkrova, padaugintas iš likusio ilgio.

δ_P = Pa³/(3EI) = 19,93 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,006645 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 29,9 mm

Atsakymas

δ_B = 29,9 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: h_req = 223,6 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Įlinkio riba

δ_allow = L/360 = 4500/360 = 12,5 mm

Reikiamas inercijos momentas

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·4500⁴/(384·11000·12,5) = 1,165 × 10⁸ mm⁴

Reikiamas aukštis

bh³/12 = I_req → h = (12·1,165 × 10⁸/125)^1/3 = 223,6 mm

Atsakymas

h_req = 223,6 mm

Praktikoje parinkite artimiausią didesnį standartinį aukštį.

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 56,06 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/700² = 56060 N = 56,06 kN

Atsakymas

P_cr = 56,06 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 11,05 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/10 = 250

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/250² = 11,05 MPa

Atsakymas

σ_cr = 11,05 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials