Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Strypą sudaro plienas atkarpa (skersmuo 20 mm, ilgis 300 mm, E = 200 GPa), galais sujungta su atkarpa iš žalvaris (skersmuo 40 mm, ilgis 300 mm, E = 100 GPa). Vienas galas įtvirtintas, kitas traukiamas. Raskite ašinę apkrovą P, kuri jį iš viso pailgina 0,2 mm.

1 atkarpa: plienas, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: žalvaris, Ø40 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite didžiausią normalinį įtempį σ_max strype.

P = 110 kN1 ruožas: Ø40 mm, 2 m, plienas (E = 200 GPa)2 ruožas: Ø20 mm, 1,5 m, žalvaris (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Velenų sukimasVidutinis

Pakopinis pilnaviduris velenas (aliuminis) įtvirtintas taške A. Ruožo AB skersmuo 40 mm, ilgis 3 m; ruožo BC skersmuo 30 mm, ilgis 1,2 m. Laisvajame gale C veikia 400 N·m sukimo momentas. Raskite galo C sukimo kampą φ_C laipsniais.

T = 400 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 3 md₂ = 30 mm, L₂ = 1,2 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas perduoda 20 kW esant 1500 aps./min. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

P = 20 kWN = 1500 rpmd_o = 60 mmd_i = 45 mm

τ_max = MPa

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite skersinę jėgą V_x pjūvyje x = 4,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 8 mw = 6 kN/m nuo 0 iki 8 mx = 4,5 m

V_x = kN

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 2,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 4 mP = 60 kN ties 3 mw = 12 kN/m nuo 0 iki 4 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 200 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Simetriško dvitėjo skerspjūvio lentynos yra 150 mm pločio ir 22 mm storio, bendrasis aukštis 200 mm, o sienelės storis 10 mm. Jį veikia 120 kN·m lenkimo momentas ašies x atžvilgiu. Raskite didžiausio lenkimo įtempio didumą σ_max skerspjūvyje.

B = 150 mmH = 200 mmt_f = 22 mmt_w = 10 mmM = 120 kN·m

σ_max = MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 30 MPa, σᵧ = 70 MPa ir τₓᵧ = −20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = 30 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 100 MPa, σᵧ = −10 MPa ir τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). Raskite fon Mizeso ekvivalentinį įtempį σ_vM.

σ_x = 100 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 40 MPa

σ_vM = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 2,5 m atstumu nuo atramos A. Raskite įlinkį δ_P po apkrova.

P = 22 kNa = 2,5 mL = 6 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis negali viršyti tarpatramis/360. Raskite mažiausią inercijos momentą I_req, tenkinantį šią sąlygą.

w = 6 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (plienas)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 5 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P = 27,93 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²

Lankstumai

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314,2) = 4,775 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N

Apkrova

P = 0,2/7,162 × 10⁻⁶ = 27925 N = 27,93 kN

Atsakymas

P = 27,93 kN

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ_max = 350,1 MPa

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 87,54 MPa

σ₂ = 350,1 MPa

Didžiausias įtempis

Plonesnio ruožo plotas mažesnis, todėl jame įtempis didesnis.

σ_max = 350,1 MPa

Atsakymas

σ_max = 350,1 MPa

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ_C = 23,82 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Poliniai inercijos momentai

J₁ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Kiekvieno ruožo sukimo kampas

T = 400 N·m = 400000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 400000·3000/(26000·251327) = 0,1836 rad

φ_BC = 400000·1200/(26000·79522) = 0,2322 rad

Bendras sukimo kampas

φ_C = 0,1836 + 0,2322 = 0,4158 rad = 23,82°

Atsakymas

φ_C = 23,82°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 4,392 MPa

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 20000/157,1 = 127,3 N·m

Polinis inercijos momentas

J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴

Didžiausias tangentinis įtempis

τ_max = T·(d_o/2)/J = 127324·30/869767 = 4,392 MPa

Atsakymas

τ_max = 4,392 MPa

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: V_x = −3 kN

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, veikianti taške x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 6·8·4

R_B = 192/8 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Perpjaukite ties x = 4,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

V = R_A − (visos žemyn nukreiptos apkrovos kairiau pjūvio)

V_x = 24 − 6·4,5 = −3 kN

Atsakymas

V_x = −3 kN

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 60 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, veikianti taške x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 60·3 + 12·4·2

R_B = 276/4 = 69 kN

ΣF_y = 0: R_A = 108 − 69 = 39 kN

Perpjaukite ties x = 2,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 39·2,5 − 12·2,5·1,25 = 60 kN·m

Atsakymas

M_x = 60 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 12,97 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 200·30 = 6000 mm², y_f = 120 + 30/2 = 135 mm

sienelė: A_w = 20·120 = 2400 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·135 + 2400·60)/8400 = 113,6 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 200·30³/12 + 6000·(135 − 113,6)² = 3,205 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 20·120³/12 + 2400·(60 − 113,6)² = 9,768 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,205 × 10⁶ + 9,768 × 10⁶ = 1,297 × 10⁷ mm⁴ = 12,97 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 12,97 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_max = 215,4 MPa

Išorinis stačiakampis atėmus dvi šonines išpjovas

Abi išpjovos kartu yra (B − t_w) pločio ir h_w = H − 2t_f aukščio, o jų ašis ta pati – x.

h_w = 200 − 2·22 = 156 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (150·200³ − 140·156³)/12

I_x = 5,571 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

y = 100 mm

σ = M·y/I = 1,2 × 10⁸·100/5,571 × 10⁷ = 215,4 MPa

Atsakymas

σ_max = 215,4 MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 28,28 MPa

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((30 − 70)/2)² + −20²) = 28,28 MPa

Atsakymas

τ_max = 28,28 MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_vM = 126,1 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Takumo kriterijai: pagal fon Mizesą takumas prasideda, kai σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) pasiekia σ_Y; pagal Treską – kai absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis pasiekia σ_Y/2.

Pagrindiniai įtempiai

C = 45 MPa, R = 68,01 MPa

σ₁ = 113 MPa, σ₂ = −23,01 MPa, σ₃ = 0

Fon Mizesas

σ_vM = √(113² − 113·(−23,01) + (−23,01)²) = 126,1 MPa

Atsakymas

σ_vM = 126,1 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_P = 23,45 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 22000 N, a = 2500 mm, b = 3500 mm, L = 6000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Įlinkis po apkrova

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 22000·2500²·3500²/(3·3,99 × 10¹²·6000) = 23,45 mm

Atsakymas

δ_P = 23,45 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: I_req = 3,797 × 10⁶ mm⁴

Įlinkio riba

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Reikiamas inercijos momentas

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·3000⁴/(384·200000·8,333) = 3,797 × 10⁶ mm⁴

I_req = 3,797 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_req = 3,797 × 10⁶ mm⁴

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 2,12 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·5000 = 10000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/10000² = 2120 N = 2,12 kN

Atsakymas

P_cr = 2,12 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 2,763 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·5000 = 10000 mm

KL/r = 10000/20 = 500

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/500² = 2,763 MPa

Atsakymas

σ_cr = 2,763 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials