Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite strypo (aliuminis) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 35 kNd = 20 mmL = 3 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas strypas (skersmuo 30 mm, E = 200 GPa, leistinasis įtempis 120 MPa) yra viduje vamzdžio iš varis (išorinis skersmuo 80 mm, vidinis skersmuo 50 mm, E = 120 GPa, leistinasis įtempis 50 MPa). Jie kartu gniuždomi tarp standžių plokščių. Raskite didžiausią apkrovą P_max.

strypas: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPavamzdis: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.Velenų sukimasVidutinis

Pakopinis pilnaviduris velenas (plienas) įtvirtintas taške A. Ruožo AB skersmuo 30 mm, ilgis 0,8 m; ruožo BC skersmuo 25 mm, ilgis 3 m. Laisvajame gale C veikia 250 N·m sukimo momentas. Raskite galo C sukimo kampą φ_C laipsniais.

T = 250 N·md₁ = 30 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 25 mm, L₂ = 3 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (žalvaris), kurio skersmuo 60 mm, įtvirtintas taške A. Taške B, 2 m atstumu nuo A, veikia 250 N·m sukimo momentas, o laisvajame gale C, dar 2 m toliau, veikia ta pačia kryptimi nukreiptas 1500 N·m sukimo momentas. Raskite galo C sukimo kampo didumą φ_C laipsniais.

d = 60 mmT_B = 250 N·mT_C = 1500 N·mAB = 2 mBC = 2 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

60 kN @ 6 m55 kN @ 10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

30 kN @ 0 m40 kN @ 12 m40 kN @ 4 m6 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Lovinis skerspjūvis atvira puse į viršų: 160 mm pločio pagrindo plokštė su dviem vertikaliomis lentynomis, bendrasis aukštis 110 mm. Pagrindo ir lentynų storis vienodas – 10 mm. Raskite svorio centro aukštį ȳ virš apatinės kraštinės.

b = 160 mmh = 110 mmt = 10 mm

ȳ = mm

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 5 kN·m. Raskite lenkimo įtempį σ_apačia apatiniame krašte.

b_f = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 180 mmM = 5 kN·m

σ_apačia = MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 80 MPa, σᵧ = 40 MPa ir τₓᵧ = 50 MPa, σ_z = 0. Raskite absoliutųjį didžiausią tangentinį įtempį τ_abs taške (atsižvelgiant į visas plokštumas trijuose matmenyse).

σ_x = 80 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 50 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = −50 MPa, σᵧ = −30 MPa ir τₓᵧ = −50 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 50° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = −50 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

L ilgio gembė įtvirtinta taške A ir apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 1,5 m atstumu nuo A. Raskite įlinkį δ_B laisvajame gale B.

P = 12 kNa = 1,5 mL = 3 mE = 200 GPa (plienas)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta stačiakampio skerspjūvio medinė sija, 150 mm pločio, visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis tarpatramio viduryje negali viršyti tarpatramis/360. Raskite mažiausią skerspjūvio aukštį h_req.

w = 1 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)b = 150 mm

h_req = mm

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 4,775 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 35·1000/314,2 = 111,4 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for aliuminis = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 111,4/70000 = 0,001592 = 1592 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,001592·3000 mm = 4,775 mm

Atsakymas

δ = 4,775 mm

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P_max = 212,1 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·3063 = 5,089 × 10⁸ N

Lemiančioji deformacija

ε = min(0,0006, 0,0004167) = 0,0004167 (varis)

Didžiausia apkrova

P_max = 0,0004167·5,089 × 10⁸ = 212058 N = 212,1 kN

Atsakymas

P_max = 212,1 kN

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ_C = 15,81 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Poliniai inercijos momentai

J₁ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Kiekvieno ruožo sukimo kampas

T = 250 N·m = 250000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 250000·800/(80000·79522) = 0,03144 rad

φ_BC = 250000·3000/(80000·38350) = 0,2445 rad

Bendras sukimo kampas

φ_C = 0,03144 + 0,2445 = 0,2759 rad = 15,81°

Atsakymas

φ_C = 15,81°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: φ_C = 7,505 °

Vidiniai sukimo momentai

T_C kryptis laikoma teigiama.

T_BC = T_C = 1500 N·m

T_AB = T_C + T_B = 1500 + 250 = 1750 N·m

Kiekvieno ruožo sukimo kampas

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 1,75 × 10⁶·2000/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,07053 rad

φ_BC = 1,5 × 10⁶·2000/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,06046 rad

Galo C sukimo kampas

φ_C = 0,07053 + 0,06046 = 0,131 rad → |φ_C| = 7,505°

Atsakymas

φ_C = 7,505°

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: D (x = 6 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 39,17 kN, R₂ = 75,83 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 78,33, M_C = 156,7, M_D = 235 kN·m, M_E = 193,3, M_F = 151,7, M_G = 0

Atsakymas

Žymė D: M_D = 235 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: E (x = 8 m)

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 58 kN, R₂ = 88 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = −60, M_C = −16, M_D = −76, M_E = −160 kN·m, M_F = −80, M_G = 0

Atsakymas

Žymė E: M_E = −160 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: ȳ = 35,56 mm

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į stačiakampius

Pagrindą imkite viso pločio, o dvi lentynas virš jo (aukštis h − t), kad niekas nebūtų įskaičiuota du kartus.

bazė: A₁ = 160·10 = 1600 mm², y₁ = 5 mm

dvi lentynos: A₂ = 2·10·100 = 2000 mm², y₂ = 10 + 100/2 = 60 mm

Svorio centras

ȳ = (1600·5 + 2000·60)/3600 = 35,56 mm

Atsakymas

ȳ = 35,56 mm

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_apačia = 37,53 MPa

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 280·20 = 5600 mm², y_f = 180 + 20/2 = 190 mm

sienelė: A_w = 12·180 = 2160 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5600·190 + 2160·90)/7760 = 162,2 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 280·20³/12 + 5600·(190 − 162,2)² = 4,525 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 12·180³/12 + 2160·(90 − 162,2)² = 1,708 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,525 × 10⁶ + 1,708 × 10⁷ = 2,161 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Apatinis kraštas yra ȳ atstumu nuo ašies.

y = 162,2 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·162,2/2,161 × 10⁷ = 37,53 MPa

Atsakymas

σ_apačia = 37,53 MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_abs = 56,93 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Trijuose matmenyse absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis yra (σ_max − σ_min)/2 tarp visų trijų pagrindinių įtempių; plokščiajame įtempių būvyje trečiasis lygus nuliui.

Pagrindiniai įtempiai plokštumoje

C = 60 MPa, R = √(20² + 50²) = 53,85 MPa

σ₁ = 113,9 MPa, σ₂ = 6,148 MPa, σ_z = 0

Didžiausias iš trijų apskritimų

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(107,7, 113,9, 6,148)/2 = 56,93 MPa

Atsakymas

τ_abs = 56,93 MPa

Čia lemia apskritimas už plokštumos ribų: absoliutusis maksimumas didesnis už maksimumą plokštumoje R.

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = −87,5 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = −40 + −10·−0,1736 + −50·0,9848 = −87,5 MPa

Atsakymas

σ_θ = −87,5 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_B = 7,337 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 12000 N, a = 1500 mm, L = 3000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Laisvojo galo įlinkis

Įlinkis po apkrova plius posūkio kampas po apkrova, padaugintas iš likusio ilgio.

δ_P = Pa³/(3EI) = 2,935 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,002935 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 7,337 mm

Atsakymas

δ_B = 7,337 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: h_req = 194,5 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Įlinkio riba

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Reikiamas inercijos momentas

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·6000⁴/(384·11000·16,67) = 9,205 × 10⁷ mm⁴

Reikiamas aukštis

bh³/12 = I_req → h = (12·9,205 × 10⁷/150)^1/3 = 194,5 mm

Atsakymas

h_req = 194,5 mm

Praktikoje parinkite artimiausią didesnį standartinį aukštį.

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 5,888 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·1500 = 1500 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1500² = 5888 N = 5,888 kN

Atsakymas

P_cr = 5,888 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 24,87 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/15 = 166,7

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/166,7² = 24,87 MPa

Atsakymas

σ_cr = 24,87 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials