Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Strypą sudaro plienas atkarpa (skersmuo 25 mm, ilgis 600 mm, E = 200 GPa), galais sujungta su atkarpa iš žalvaris (skersmuo 50 mm, ilgis 500 mm, E = 100 GPa). Vienas galas įtvirtintas, kitas traukiamas. Raskite ašinę apkrovą P, kuri jį iš viso pailgina 0,3 mm.

1 atkarpa: plienas, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: žalvaris, Ø50 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 115 kN1 ruožas: Ø40 mm, 1 m, plienas (E = 200 GPa)2 ruožas: Ø16 mm, 2 m, aliuminis (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Velenų sukimasVidutinis

Tuščiaviduris velenas turi perduoti 750 N·m sukimo momentą. Jo vidinio ir išorinio skersmenų santykis turi būti 0,8, o tangentinis įtempis negali viršyti 50 MPa. Raskite mažiausią išorinį skersmenį d_o.

T = 750 N·md_i/d_o = 0,8τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas turi perduoti 30 kW esant 3000 aps./min, o tangentinis įtempis negali viršyti 40 MPa. Raskite mažiausią tinkamą skersmenį d.

P = 30 kWN = 3000 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

25 kN @ 6 m6 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

15 kN @ 0 m55 kN @ 6 m20 kN @ 3 m4 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Tuščiavidurio stačiakampio (dėžinio) skerspjūvio išorinis plotis B = 140 mm, išorinis aukštis H = 225 mm, o sienelių storis vienodas t = 10 mm. Raskite jo inercijos spindulį r horizontaliosios centrinės ašies atžvilgiu.

B = 140 mmH = 225 mmt = 10 mm

r = mm

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Suvirinto dvitėjo skerspjūvio viršutinė lentyna yra 140 × 12 mm, sienelė 170 mm aukščio ir 16 mm storio, o apatinė lentyna 190 × 24 mm (plotis × storis). Raskite jo inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

viršutinė lentyna: 140 × 12 mmsienelė: 16 × 170 mmapatinė lentyna: 190 × 24 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 40 MPa, σᵧ = 70 MPa ir τₓᵧ = −10 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = 40 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −10 MPa

τ_max = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 20 MPa, σᵧ = 40 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite tangentinį įtempį τ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 25° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies (teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σ_x = 20 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 25°

τ_θ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija apkrauta sutelktąja jėga P, esančia a = 3 m atstumu nuo atramos A. Raskite įlinkį δ_P po apkrova.

P = 23 kNa = 3 mL = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta sutelktąja jėga P, esančia b = 2 m atstumu nuo atramos B. Raskite įlinkį δ_mid tarpatramio viduryje.

P = 13 kNb = 2 mL = 5 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (plienas)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 130 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 130 kNn = 2,5L = 2 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P = 34,65 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Lankstumai

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490,9) = 6,112 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·1963) = 2,546 × 10⁻⁶ mm/N

Apkrova

P = 0,3/8,658 × 10⁻⁶ = 34650 N = 34,65 kN

Atsakymas

P = 34,65 kN

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 16,8 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 91,51 MPa

σ₂ = 572 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 91,51·1000/200000 = 0,4576 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 572·2000/70000 = 16,34 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 16,8 mm

Atsakymas

δ = 16,8 mm

3.Velenų sukimas

Atsakymas: d_o = 50,58 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Išorinis skersmuo iš leistinojo įtempio

T = 750 N·m = 750000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·750000/(π·50·0,5904)) = 50,58 mm

d_i = 0,8·50,58 = 40,46 mm

Atsakymas

d_o = 50,58 mm

Pilnaviduriam velenui reikėtų d = 42,43 mm; tuščiaviduris kiek didesnis, bet daug lengvesnis.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 22,99 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 30000/314,2 = 95,49 N·m

Skersmuo pagal leistinąjį įtempį

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·95493/(π·40)) = 22,99 mm

Atsakymas

d = 22,99 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: D (x = 6 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 48,5 kN, R₂ = 48,5 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 85, M_C = 146, M_D = 183 kN·m, M_E = 146, M_F = 85, M_G = 0

Atsakymas

Žymė D: M_D = 183 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: F (x = 5 m)

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 23 kN, R₂ = 83 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = −15, M_C = −9, M_D = −7, M_E = −29, M_F = −55 kN·m, M_G = 0

Atsakymas

Žymė F: M_F = −55 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: r = 82,3 mm

Inercijos momentas: stačiakampio inercijos momentas jo centrinės ašies atžvilgiu I = bh³/12, o pagrindo atžvilgiu bh³/3 (Šteinerio teorema I = I_c + A·d²). Angą įskaitykite atimdami jos I, jei abi dalys turi tą pačią ašį. Tamprusis atsparumo momentas S = I/c, kur c – atstumas iki kraštinio sluoksnio. Inercijos spindulys r = √(I/A) yra atstumas, kuriame sutelktas visas plotas duotų tą patį I; jis naudojamas kolonų klupumo skaičiavimuose.

Grynasis plotas ir inercijos momentas

b = 120 mm, h = 205 mm

A = BH − bh = 140·225 − 120·205 = 6900 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 4,674 × 10⁷ mm⁴

Inercijos spindulys

r = √(I/A) = √(4,674 × 10⁷/6900) = 82,3 mm

Atsakymas

r = 82,3 mm

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 54,26 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į tris stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

viršutinė lentyna: A = 1680 mm², y = 200 mm

sienelė: A = 2720 mm², y = 109 mm

apatinė lentyna: A = 4560 mm², y = 12 mm

Svorio centras

ȳ = (1680·200 + 2720·109 + 4560·12)/8960 = 76,7 mm

Šteinerio teorema

viršutinė lentyna: 140·12³/12 + 1680·123,3² = 2,556 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 16·170³/12 + 2720·32,3² = 9,389 × 10⁶ mm⁴

apatinė lentyna: 190·24³/12 + 4560·64,7² = 1,931 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,556 × 10⁷ + 9,389 × 10⁶ + 1,931 × 10⁷

I_x = 5,426 × 10⁷ mm⁴ = 54,26 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 54,26 × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 18,03 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((40 − 70)/2)² + −10²) = 18,03 MPa

Atsakymas

τ_max = 18,03 MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_θ = 26,94 MPa

Transformacijos lygtis

τ_θ = −−10·0,766 + 30·0,6428 = 26,94 MPa

Atsakymas

τ_θ = 26,94 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_P = 4,323 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 23000 N, a = 3000 mm, b = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Įlinkis po apkrova

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 23000·3000²·1000²/(3·3,99 × 10¹²·4000) = 4,323 mm

Atsakymas

δ_P = 4,323 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_mid = 18,16 mm

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 13000 N, b = 2000 mm, L = 5000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Įlinkis tarpatramio viduryje

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 13000·2000·(3·5000² − 4·2000²)/(48·1,76 × 10¹²) = 18,16 mm

Atsakymas

δ_mid = 18,16 mm

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 37,85 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·2000 = 4000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/4000² = 37849 N = 37,85 kN

Atsakymas

P_cr = 37,85 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 60,52 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2,5·130000 = 325000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·325000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 60,52 mm

Atsakymas

d = 60,52 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 132,2, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials