Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite ašinę deformaciją ε strype (varis) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 10 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 95 kN1 ruožas: Ø40 mm, 1,5 m, varis (E = 117 GPa)2 ruožas: Ø20 mm, 0,5 m, aliuminis (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Velenų sukimasVidutinis

Pakopinis pilnaviduris velenas (žalvaris) įtvirtintas taške A. Ruožo AB skersmuo 75 mm, ilgis 0,5 m; ruožo BC skersmuo 30 mm, ilgis 1 m. Laisvajame gale C veikia 500 N·m sukimo momentas. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

T = 500 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 0,5 md₂ = 30 mm, L₂ = 1 m

τ_max = MPa

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas turi perduoti 30 kW esant 300 rpm. Jo vidinio ir išorinio skersmenų santykis turi būti 0,75, o tangentinis įtempis negali viršyti 80 MPa. Raskite mažiausią išorinį skersmenį d_o.

P = 30 kWN = 300 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Laisvai atremtą siją veikia tik jėgų pora M₀ = 45 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, esanti x = 6 m atstumu nuo A. Raskite lenkimo momentą M_x iš karto dešiniau jėgų poros. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 8 mM₀ = 45 kN·m pagal laikrodžio rodyklę, ties 6 m

M_x = kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Laisvai atremta sija dalyje tarpatramio apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą M_max.

L = 10 mw = 20 kN/m nuo 0 iki 9 m

M_max = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Apvalaus vamzdžio išorinis skersmuo D = 120 mm, vidinis skersmuo d = 88 mm. Raskite jo inercijos spindulį r horizontaliosios centrinės ašies atžvilgiu.

D = 120 mmd = 88 mm

r = mm

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 15 kN·m. Raskite lenkimo įtempio σ_viršus dydį viršutiniame krašte.

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 280 mmM = 15 kN·m

σ_viršus = MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = −70 MPa, σᵧ = −40 MPa ir τₓᵧ = −30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_p nuo x ašies iki didžiausio pagrindinio įtempio krypties, intervale nuo −90° iki 90°.

σ_x = −70 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_p = °

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 90 MPa, σᵧ = 90 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 20° pagal laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = 90 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite didžiausią įlinkį δ_max tarpatramio viduryje.

w = 6 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (plienas)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis negali viršyti tarpatramis/360. Raskite mažiausią inercijos momentą I_req, tenkinantį šią sąlygą.

w = 6 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 140 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 140 kNn = 2L = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)

d = mm

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 425,1 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 10·1000/201,1 = 49,74 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for varis = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 49,74/117000 = 0,0004251 = 425,1 µε

Atsakymas

ε = 425,1 µε

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 3,129 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 75,6 MPa

σ₂ = 302,4 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 75,6·1500/117000 = 0,9692 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 302,4·500/70000 = 2,16 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,129 mm

Atsakymas

δ = 3,129 mm

3.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 94,31 MPa

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Įtempis kiekviename ruože

T = 500 N·m = 500000 N·mm

τ_AB = 16·500000/(π·75³) = 6,036 MPa

τ_BC = 16·500000/(π·30³) = 94,31 MPa

Atsakymas

τ_max = 94,31 MPa

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d_o = 44,64 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 30000/31,42 = 954,9 N·m

Išorinis skersmuo iš leistinojo įtempio

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·954930/(π·80·0,6836)) = 44,64 mm

d_i = 0,75·44,64 = 33,48 mm

Atsakymas

d_o = 44,64 mm

Pilnaviduriam velenui reikėtų d = 39,32 mm; tuščiaviduris kiek didesnis, bet daug lengvesnis.

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 11,25 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Pridėta jėgų pora lenkimo momentų diagramoje sukelia šuolį, lygų poros dydžiui.

Atramų reakcijos

Momentai taško A atžvilgiu, prieš laikrodžio rodyklę teigiami: R_B·L − M₀ = 0. Vertikalioji pusiausvyra: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 45/8 = 5,625 kN (aukštyn)

R_A = −R_B = −5,625 kN (žemyn)

Pjūvis iš karto dešiniau jėgų poros

Kairiojoje dalyje dabar yra R_A ir jėgų pora.

M_x = R_A·a + M₀ = −5,625·6 + 45 = 11,25 kN·m

Atsakymas

M_x = 11,25 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_max = 245 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 20·9 = 180 kN, veikianti taške x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·9·4,5

R_B = 810/10 = 81 kN

ΣF_y = 0: R_A = 180 − 81 = 99 kN

Nulinė skersinė jėga

Skersinė jėga prasideda nuo R_A, neapkrautuose ruožuose išlieka pastovi, o apkrovos ruože mažėja nuolydžiu w.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 99/20 = 4,95 m

Didžiausias momentas

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 99·4,95 − 20·4,95²/2 = 245 kN·m

Atsakymas

M_max = 245 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: r = 37,2 mm

Inercijos momentas: stačiakampio inercijos momentas jo centrinės ašies atžvilgiu I = bh³/12, o pagrindo atžvilgiu bh³/3 (Šteinerio teorema I = I_c + A·d²). Angą įskaitykite atimdami jos I, jei abi dalys turi tą pačią ašį. Tamprusis atsparumo momentas S = I/c, kur c – atstumas iki kraštinio sluoksnio. Inercijos spindulys r = √(I/A) yra atstumas, kuriame sutelktas visas plotas duotų tą patį I; jis naudojamas kolonų klupumo skaičiavimuose.

Grynasis plotas ir inercijos momentas

A = π(D² − d²)/4 = 5228 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 7,235 × 10⁶ mm⁴

Inercijos spindulys

r = √(I/A) = √(7,235 × 10⁶/5228) = 37,2 mm

Atsakymas

r = 37,2 mm

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_viršus = 36,74 MPa

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 160·10 = 1600 mm², y_f = 280 + 10/2 = 285 mm

sienelė: A_w = 10·280 = 2800 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1600·285 + 2800·140)/4400 = 192,7 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 160·10³/12 + 1600·(285 − 192,7)² = 1,364 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 10·280³/12 + 2800·(140 − 192,7)² = 2,608 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,364 × 10⁷ + 2,608 × 10⁷ = 3,971 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Viršutinis kraštas yra h − ȳ atstumu nuo ašies.

y = 290 − 192,7 = 97,27 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·97,27/3,971 × 10⁷ = 36,74 MPa

Atsakymas

σ_viršus = 36,74 MPa

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_p = −58,28 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Kampas apskritime

Moro apskritime taškas x yra kampu 2θp nuo σ ašies; ketvirtis priklauso nuo σₓ − σᵧ ir τₓᵧ ženklų.

2θ_p = atan2(2·−30, −70 − −40) = −116,6°

Kampas elemente

θ_p = −58,28°

Atsakymas

θ_p = −58,28°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = 70,72 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = 90 + 0·0,766 + 30·−0,6428 = 70,72 MPa

Atsakymas

σ_θ = 70,72 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ_max = 4,348 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 4000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Įlinkis

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·4000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 4,348 mm

Atsakymas

δ_max = 4,348 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: I_req = 552,3 × 10⁶ mm⁴

Įlinkio riba

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Reikiamas inercijos momentas

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·6000⁴/(384·11000·16,67) = 5,523 × 10⁸ mm⁴

I_req = 552,3 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_req = 552,3 × 10⁶ mm⁴

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 124,4 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·1000 = 1000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/1000² = 124357 N = 124,4 kN

Atsakymas

P_cr = 124,4 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 107,2 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2·140000 = 280000 N

KL = 1·4000 = 4000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·280000·4000²/(π³·70000))^(1/4) = 107,2 mm

Atsakymas

d = 107,2 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 149,2, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials