Medžiagų mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 14 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje: δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija: δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale: δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija: δ = δ₁ + δ₂

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite strypo (aliuminis) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 90 kNd = 12 mmL = 1 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas strypas (skersmuo 20 mm, E = 200 GPa, leistinasis įtempis 250 MPa) yra viduje vamzdžio iš varis (išorinis skersmuo 100 mm, vidinis skersmuo 60 mm, E = 120 GPa, leistinasis įtempis 60 MPa). Jie kartu gniuždomi tarp standžių plokščių. Raskite didžiausią apkrovą P_max.

strypas: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPavamzdis: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Velenų sukimasVidutinis

Tuščiaviduris velenas (žalvaris; išorinis skersmuo 30 mm, vidinis skersmuo 21 mm, ilgis 0,8 m) viename gale įtvirtintas, o kitame sukamas 250 N·m sukimo momentu. Raskite sukimo kampą φ laipsniais.

T = 250 N·md_o = 30 mmd_i = 21 mmL = 0,8 mG = 39 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas perduoda 30 kW esant 300 aps./min. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

P = 30 kWN = 300 rpmd_o = 60 mmd_i = 42 mm

τ_max = MPa

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

20 kN @ 4 m55 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Laisvai atremta sija dalyje tarpatramio apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą M_max.

L = 10 mw = 24 kN/m nuo 0 iki 2 m

M_max = kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 240 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

120 mm × 150 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 30 mm pločio ir 40 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 45 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 120 mmh = 150 mmiškirpimas: 30 × 40 mmskylės centras: y = 45 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = −80 MPa, σᵧ = 110 MPa ir τₓᵧ = 20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = −80 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 20 MPa

τ_max = MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 80 MPa, σᵧ = 120 MPa ir τₓᵧ = −30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 15° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = 80 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

11.Sijos įlinkisVidutinis

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w, o laisvajame gale – sutelktąja jėga P. Taikydami superpoziciją, raskite laisvojo galo įlinkį δ.

P = 8 kNw = 15 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (plienas)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Sijos įlinkisSunkus

Laisvai atremta sija apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis negali viršyti tarpatramis/360. Raskite mažiausią inercijos momentą I_req, tenkinantį šią sąlygą.

w = 6 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Ji turi atlaikyti 125 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 125 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

3Tirpalai

1.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 11,37 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 90·1000/113,1 = 795,8 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for aliuminis = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 795,8/70000 = 0,01137 = 11368 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,01137·1000 mm = 11,37 mm

Atsakymas

δ = 11,37 mm

2.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P_max = 333 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·5027 = 6,66 × 10⁸ N

Lemiančioji deformacija

ε = min(0,00125, 0,0005) = 0,0005 (varis)

Didžiausia apkrova

P_max = 0,0005·6,66 × 10⁸ = 333009 N = 333 kN

Atsakymas

P_max = 333 kN

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 4,862 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π(30⁴ − 21⁴)/32 = 60428 mm⁴

Sukimo kampas

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 250000·800/(39000·60428) = 0,08486 rad

φ = 0,08486·180/π = 4,862°

Atsakymas

φ = 4,862°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 29,63 MPa

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 30000/31,42 = 954,9 N·m

Polinis inercijos momentas

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

Didžiausias tangentinis įtempis

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·30/966855 = 29,63 MPa

Atsakymas

τ_max = 29,63 MPa

5.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: D (x = 3 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 34,17 kN, R₂ = 40,83 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 34,17, M_C = 68,33, M_D = 102,5 kN·m, M_E = 81,67, M_F = 40,83, M_G = 0

Atsakymas

Žymė D: M_D = 102,5 kN·m

6.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_max = 38,88 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 24·2 = 48 kN, veikianti taške x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 24·2·1

R_B = 48/10 = 4,8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 4,8 = 43,2 kN

Nulinė skersinė jėga

Skersinė jėga prasideda nuo R_A, neapkrautuose ruožuose išlieka pastovi, o apkrovos ruože mažėja nuolydžiu w.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 43,2/24 = 1,8 m

Didžiausias momentas

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 43,2·1,8 − 24·1,8²/2 = 38,88 kN·m

Atsakymas

M_max = 38,88 kN·m

7.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 69,92 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 240·20 = 4800 mm², y_f = 300 + 20/2 = 310 mm

sienelė: A_w = 10·300 = 3000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·310 + 3000·150)/7800 = 248,5 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 240·20³/12 + 4800·(310 − 248,5)² = 1,834 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 10·300³/12 + 3000·(150 − 248,5)² = 5,158 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,834 × 10⁷ + 5,158 × 10⁷ = 6,992 × 10⁷ mm⁴ = 69,92 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 69,92 × 10⁶ mm⁴

8.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 32,43 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio I_c = bh³/12, o skritulio I_c = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (18000·75 − 1200·45)/(18000 − 1200) = 77,14 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

120·150³/12 + 18000·−2,143² = 33,83 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

30·40³/12 + 1200·−32,14² = 1,4 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 32,43 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 32,43 × 10⁶ mm⁴

9.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 97,08 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((−80 − 110)/2)² + 20²) = 97,08 MPa

Atsakymas

τ_max = 97,08 MPa

10.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = 67,68 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = 100 + −20·0,866 + −30·0,5 = 67,68 MPa

Atsakymas

σ_θ = 67,68 MPa

11.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 38,73 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 8000 N, w = 15 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Kiekviena apkrova atskirai

δ_P = PL³/(3EI) = 8000·4000³/(3·1,68 × 10¹³) = 10,16 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 15·4000⁴/(8·1,68 × 10¹³) = 28,57 mm

Sudėkite

δ = 10,16 + 28,57 = 38,73 mm

Atsakymas

δ = 38,73 mm

12.Sijos įlinkis

Atsakymas: I_req = 39,95 × 10⁶ mm⁴

Įlinkio riba

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Reikiamas inercijos momentas

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·2500⁴/(384·11000·6,944) = 3,995 × 10⁷ mm⁴

I_req = 39,95 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_req = 39,95 × 10⁶ mm⁴

13.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 108,1 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1400² = 108141 N = 108,1 kN

Atsakymas

P_cr = 108,1 kN

14.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 53,02 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2·125000 = 250000 N

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 53,02 mm

Atsakymas

d = 53,02 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 132, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials