Statika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Modulis: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vienetinis vektorius: û = a/|a|
Komponentės pagal kampą: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Skaliarinė sandauga: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a skaliarinė projekcija į b: a·b/|b|
Darbas: W = F·d
Vektorinė sandauga: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Plotai: lygiagretainis |a × b|, trikampis ½|a × b|
Momentas taško O atžvilgiu: M_O = r × F, r = A − O
Gretasienio tūris: V = |a·(b × c)|

Metodas

Kiekvieną vektorių užrašykite komponentėmis; jėgai, pateiktai moduliu ir kampu, naudokite F·cos θ ir F·sin θ.
Ilgiams ir kryptims naudokite modulį √(x² + y² + z²) ir vienetinį vektorių a/|a|.
Skaliarinę sandaugą naudokite kampams, projekcijoms, statmenumui ir darbui: a·b = |a||b|cos θ.
Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Rėmai ir mechanizmai

Kiekvieno strypo pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas: jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga: vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis: F = √(F_x² + F_y²)
Svertas, replės, kampinis svertas: F_in·a = F_out·b
Alkūninis mechanizmas: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje

Metodas

Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Uždaviniai

1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis

Raskite vektoriaus a = (6, 2, 7) skaliarinę projekciją comp_b a į b = (1, 2, 0), t. y. a komponentę b kryptimi.

a = (6, 2, 7)b = (1, 2, 0)

comp_b a =

2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus

Jėga F = (30, −60, −30) N veikia taške A(−3, −2, 4). Koordinatės pateiktos metrais. Raskite jėgos momento taško taškas O(−3, −1, −1) atžvilgiu z komponentę M_z.

F = (30, −60, −30) NA(−3, −2, 4) mO(−3, −1, −1) m

M_z = N·m

3.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją R_A.

L = 5 mP₁ = 45 kN ties 3 mP₂ = 60 kN ties 4 m

R_A = kN

4.Sijų atramų reakcijosSunkus

Sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, esančią 6 m atstumu nuo A, o už B tęsiasi konsolė iki laisvojo galo C. Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 5 m atstumu nuo A, ir tolygiai išskirstyta apkrova w nuo 4 m iki laisvojo galo ties 8 m. Raskite vertikaliąją reakciją R_A, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.

AB = 6 mAC = 8 mP = 70 kN ties 5 mw = 5 kN/m nuo 4 iki 8 m

R_A = kN

5.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Mazgų metodu raskite jėgą F_BC strype BC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 5 maukštis = 3 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 15 kN

F_BC = kN

6.Santvara: mazgų metodasSunkus

Mazgų metodu raskite jėgą F_AB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 8 maukštis = 3 mB yra 3 m nuo Avertikalioji apkrova = 60 kNhorizontalioji apkrova = 30 kN ←

F_AB = kN

7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis

Horizontali sija AB šarnyru pritvirtinta prie sienos taške A ir paremta atspara CD, šarnyru pritvirtinta prie sienos taške C, 0,8 m žemiau A. Taške B kabo 12 kN apkrova. Svorių nepaisykite. Raskite šarnyro jėgos, veikiančios siją taške A, didumą A.

P = 12 kNAD = 1,2 mAB = 2,4 mAC = 0,8 m

A = kN

8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus

Parodytas A formos rėmas stovi ant šarnyrinės atramos A ir ritininės atramos B, nutolusių 2 m. Kojos susitinka šarnyre C, 4 m aukštyje, ir sujungtos horizontaliu strypu DE 1,5 m aukštyje. Taške C į dešinę veikia horizontali 10 kN jėga. Raskite ryšio tempimo jėgą T.

P = 10 kNAB = 2 mC aukštis = 4 mDE aukštis = 1,5 m

T = kN

9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite skersinę jėgą V_x pjūvyje x = 1 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 5 mw = 12 kN/m nuo 0 iki 5 mx = 1 m

V_x = kN

10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Raskite lenkimo momentą M_x pjūvyje x = 2 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 10 mP = 20 kN ties 2 mw = 12 kN/m nuo 0 iki 10 mx = 2 m

M_x = kN·m

11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

100 mm × 200 mm plokštė turi apvalią 50 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 60 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 100 mmh = 200 mmd = 50 mmskylės centras: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 30 kN·m. Raskite lenkimo įtempio σ_viršus dydį viršutiniame krašte.

b_f = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 220 mmM = 30 kN·m

σ_viršus = MPa

3Tirpalai

1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Atsakymas: comp_b a = 4,472

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Skaliarinė sandauga

a·b = 6·1 + 2·2 + 7·0 = 10

b ilgis

|b| = √(1² + 2² + 0²) = 2,236

Skaliarinė projekcija

comp_b a = a·b/|b| = 10/2,236 = 4,472

Atsakymas

comp_b a = 4,472

2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Atsakymas: M_z = 30 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Padėties vektorius iš O į A

r = A − O = (−3, −2, 4) − (−3, −1, −1) = (0, −1, 5) m

Momentas M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−1)·(−30) − 5·(−60) = 330 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 5·30 − 0·(−30) = 150 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 0·(−60) − (−1)·30 = 30 N·m

Prašoma komponentė

M_z = 30 N·m

Atsakymas

M_z = 30 N·m

3.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_A = 30 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 45·3 + 60·4

R_B = 375/5 = 75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 75 = 30 kN

Atsakymas

R_A = 30 kN

4.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_A = 11,67 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji

W = 5·4 = 20 kN, x̄ = (4 + 8)/2 = 6 m

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 70·5 + 20·6

R_B = 470/6 = 78,33 kN

R_A = 90 − 78,33 = 11,67 kN

Atsakymas

R_A = 11,67 kN

5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_BC = −5 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 15·1 → C_y = 3 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 3 = 12 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 3/5 = 0,6, cos γ = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −3/0,6 = −5 kN

Atsakymas

F_BC = −5 kN (gniuždymas)

6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AB = −68,94 kN

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 60·3 − 30·3 → C_y = 11,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 11,25 = 48,75 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

Mazgas A

Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.

sin α = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −48,75/0,7071 = −68,94 kN

Atsakymas

F_AB = −68,94 kN (gniuždymas)

7.Rėmai ir mechanizmai

Atsakymas: A = 37,95 kN

Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.

Atsparos jėga

F_CD = 12·2,4/(0,5547·1,2) = 43,27 kN

Komponentės taške A

A_x = F_CD·cos α = 36 kN (link sienos)

A_y = 12 − F_CD·sin α = −12 kN

Modulis

A = √(36² + −12²) = 37,95 kN

Atsakymas

A = 37,95 kN

Neigiamas A_y reiškia, kad siena traukia siją žemyn taške A.

8.Rėmai ir mechanizmai

Atsakymas: T = 8 kN

Visas rėmas: momentai taško A atžvilgiu

B_y·2 = 10·4

B_y = 20 kN

Koja BC: momentai taško C atžvilgiu

20·1 = T·2,5

T = 8 kN

Atsakymas

T = 8 kN

Teigiamas T reiškia, kad ryšys tempiamas, kaip ir buvo daroma prielaida.

9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: V_x = 18 kN

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, veikianti taške x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 12·5·2,5

R_B = 150/5 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Perpjaukite ties x = 1 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

V = R_A − (visos žemyn nukreiptos apkrovos kairiau pjūvio)

V_x = 30 − 12·1 = 18 kN

Atsakymas

V_x = 18 kN

10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_x = 128 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, veikianti taške x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·2 + 12·10·5

R_B = 640/10 = 64 kN

ΣF_y = 0: R_A = 140 − 64 = 76 kN

Perpjaukite ties x = 2 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = R_A·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)

M_x = 76·2 − 12·2·1 = 128 kN·m

Atsakymas

M_x = 128 kN·m

11.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 62,88 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio I_c = bh³/12, o skritulio I_c = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (20000·100 − 1963·60)/(20000 − 1963) = 104,4 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

100·200³/12 + 20000·−4,354² = 67,05 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

π·50⁴/64 + 1963·−44,35² = 4,17 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 62,88 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 62,88 × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_viršus = 39,63 MPa

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 280·20 = 5600 mm², y_f = 220 + 20/2 = 230 mm

sienelė: A_w = 12·220 = 2640 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5600·230 + 2640·110)/8240 = 191,6 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 280·20³/12 + 5600·(230 − 191,6)² = 8,464 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 12·220³/12 + 2640·(110 − 191,6)² = 2,821 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,464 × 10⁶ + 2,821 × 10⁷ = 3,667 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Viršutinis kraštas yra h − ȳ atstumu nuo ašies.

y = 240 − 191,6 = 48,45 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·48,45/3,667 × 10⁷ = 39,63 MPa

Atsakymas

σ_viršus = 39,63 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics