Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.
Sijų atramų reakcijos
Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d
Metodas
Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.
Santvara: mazgų metodas
Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas
Metodas
Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.
Rėmai ir mechanizmai
Kiekvieno strypo pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas
jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga
vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis
F = √(Fx² + Fy²)
Svertas, replės, kampinis svertas
Fin·a = Fout·b
Alkūninis mechanizmas
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Metodas
Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.
Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8
Metodas
Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.
Svorio centras ir inercijos momentas
Svorio centras
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Stačiakampis
I = bh³/12
Šteinerio teorema
I = Ic + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Uždaviniai
1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis
Raskite kampą θ tarp vektorių a = (−4, −2, 2) ir b = (3, 3, −6) laipsniais.
a = (−4, −2, 2)b = (3, 3, −6)
θ = °
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus
Kai a = (0, 6, −1) ir b = (−1, 5, −6), raskite vektorinės sandaugos a × b y komponentę (a × b)y.
a = (0, 6, −1)b = (−1, 5, −6)
(a × b)y =
3.Sijų atramų reakcijosVidutinis
Sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, esančią 3 m atstumu nuo A, o už B tęsiasi konsolė iki laisvojo galo C. Raskite vertikaliąją reakciją RA, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.
AB = 3 mAC = 5 mP1 = 25 kN ties 1,5 mP2 = 15 kN ties 5 m
RA = kN
4.Sijų atramų reakcijosSunkus
Sudėtinė sija taške A įtvirtinta sienoje, turi vidinį šarnyrą C (3 m nuo A) ir remiasi į ritininę atramą D (6 m nuo A). Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 5 m atstumu nuo A, tolygiai išskirstyta apkrova w visoje dalyje CD ir sutelktoji jėga Q, esanti 2,5 m atstumu nuo A. Raskite ritininės atramos reakciją RD.
AC = 3 mAD = 6 mP = 70 kN ties 5 mw = 12 kN/m nuo 3 iki 6 mQ = 70 kN ties 2,5 m
RD = kN
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
Mazgų metodu raskite jėgą FAB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.
tarpatramis = 6 maukštis = 2 mB yra 5 m nuo Avertikalioji apkrova = 20 kN
FAB = kN
6.Santvara: mazgų metodasSunkus
Mazgų metodu raskite jėgą FAB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.
tarpatramis = 4 maukštis = 4 mB yra 3 m nuo Avertikalioji apkrova = 25 kNhorizontalioji apkrova = 20 kN ←
FAB = kN
7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis
Parodytas kampinis svertas sukasi apie šarnyrą O. Vertikali 80 N jėga taške A (200 mm nuo O) subalansuota horizontalia jėga taške B (80 mm virš O). Raskite šarnyro reakcijos didumą FO.
F = 80 NOA = 200 mmOB = 80 mm
FO = N
8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus
Parodytas A formos rėmas stovi ant šarnyrinės atramos A ir ritininės atramos B, nutolusių 2,4 m. Kojos susitinka šarnyre C, 2 m aukštyje, ir sujungtos horizontaliu strypu DE 1,2 m aukštyje. Taške C į dešinę veikia horizontali 15 kN jėga. Raskite ryšio tempimo jėgą T.
P = 15 kNAB = 2,4 mC aukštis = 2 mDE aukštis = 1,2 m
T = kN
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
Laisvai atremta sija apkrauta dviem sutelktosiomis jėgomis. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą Mmax.
L = 8 mP1 = 60 kN ties 3 mP2 = 40 kN ties 4 m
Mmax = kN·m
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 0,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.
L = 10 mP = 25 kN ties 4 mw = 8 kN/m nuo 0 iki 10 mx = 0,5 m
Mx = kN·m
11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis
Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.
bf = 260 mmtf = 10 mmtw = 8 mmhw = 280 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus
Simetriško dvitėjo skerspjūvio lentynos yra 210 mm pločio ir 14 mm storio, bendrasis aukštis 500 mm, o sienelės storis 6 mm. Jį veikia 40 kN·m lenkimo momentas ašies x atžvilgiu. Raskite lenkimo įtempio didumą σj sienelės ir viršutinės lentynos sandūroje.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Skaliarinė sandauga
a·b = (−4)·3 + (−2)·3 + 2·(−6) = −30
Moduliai
|a| = √((−4)² + (−2)² + 2²) = 4,899
|b| = √(3² + 3² + (−6)²) = 7,348
Kampas
cos θ = −30/(4,899·7,348) = −0,8333
θ = arccos(−0,8333) = 146,4°
Atsakymas
θ = 146,4°
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga
Atsakymas: (a × b)y = 1
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Vektorinė sandauga komponentėmis
(a × b)x = aybz − azby = 6·(−6) − (−1)·5 = −31
(a × b)y = azbx − axbz = (−1)·(−1) − 0·(−6) = 1
(a × b)z = axby − aybx = 0·5 − 6·(−1) = 6
Prašoma komponentė
(a × b)y = 1
Atsakymas
(a × b)y = 1
Patikra: a × b yra statmena abiem vektoriams, todėl jos skaliarinė sandauga su a ir su b lygi nuliui.
3.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: RA = 2,5 kN
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.
Momentai A atžvilgiu
Prieš laikrodžio rodyklę – teigiama.
ΣMA = 0: RB·3 = 25·1,5 + 15·5
RB = 112,5/3 = 37,5 kN
Vertikalioji pusiausvyra
RA = 25 + 15 − 37,5 = 2,5 kN
Atsakymas
RA = 2,5 kN
4.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: RD = 64,67 kN
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties. Vidinis šarnyras negali perduoti lenkimo momento, todėl gaunama viena papildoma lygtis: bet kurios pusės jėgų momentas šarnyro atžvilgiu lygus nuliui.
Dalis CD
Šarnyre momento nėra, todėl vien dalies CD momentai taško C atžvilgiu turi būti pusiausviri.
W = 12·3 = 36 kN ties 1,5 m nuo C
ΣMC = 0: RD·3 = 70·2 + 36·1,5
RD = 64,67 kN
VC = 106 − 64,67 = 41,33 kN
Atsakymas
RD = 64,67 kN
5.Santvara: mazgų metodas
Atsakymas: FAB = −8,975 kN
Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.
Atramų reakcijos
Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.
ΣMA = 0: Cy·6 = 20·5 → Cy = 16,67 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 16,67 = 3,333 kN
Mazgas A
Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.
sin α = 2/5,385 = 0,3714
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −3,333/0,3714 = −8,975 kN
Atsakymas
FAB = −8,975 kN (gniuždymas)
6.Santvara: mazgų metodas
Atsakymas: FAB = −32,81 kN
Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.
Atramų reakcijos
Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.
ΣMA = 0: Cy·4 = 25·3 − 20·4 → Cy = −1,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − −1,25 = 26,25 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN
Mazgas A
Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.
sin α = 4/5 = 0,8
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −26,25/0,8 = −32,81 kN
Atsakymas
FAB = −32,81 kN (gniuždymas)
7.Rėmai ir mechanizmai
Atsakymas: FO = 215,4 N
Mechanizmai: replės, svertai, jungčių sistemos ir spaustuvai įėjimo jėgą paverčia didesne ar kitos krypties išėjimo jėga. Vieną dalį nubraižykite kaip laisvąjį kūną ir imkite momentus jos sukimosi ašies atžvilgiu: šarnyro jėga iškrenta, o Fin·a = Fout·b duoda mechaninį išlošį a/b. Šarnyro jėgą tada gaunate iš ΣF = 0 tai pačiai daliai. Alkūniniame mechanizme dvi jungtys susitinka mažu kampu θ; kiekviena jungtis yra dviejų jėgų strypas, todėl maža jėga F sandūroje sukuria dideles jungčių jėgas F/(2 sin θ) ir spaudimo jėgą F/(2 tan θ).
Jėga taške B
Q = 80·200/80 = 200 N
Šarnyro reakcija
Ox = 200 N, Oy = 80 N
FO = √(200² + 80²) = 215,4 N
Atsakymas
FO = 215,4 N
8.Rėmai ir mechanizmai
Atsakymas: T = 18,75 kN
Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.
Visas rėmas: momentai taško A atžvilgiu
By·2,4 = 15·2
By = 12,5 kN
Koja BC: momentai taško C atžvilgiu
12,5·1,2 = T·0,8
T = 18,75 kN
Atsakymas
T = 18,75 kN
Teigiamas T reiškia, kad ryšys tempiamas, kaip ir buvo daroma prielaida.
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: Mmax = 172,5 kN·m
Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.
Atramų reakcijos
Visos sijos pusiausvyra.
ΣMA = 0: RB·8 = 60·3 + 40·4
RB = 340/8 = 42,5 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 42,5 = 57,5 kN
Momentas po kiekviena apkrova
Palikite dalį kairiau kiekvienos apkrovos.
po P1: M = RA·3 = 57,5·3 = 172,5 kN·m
po P2: M = RB·4 = 42,5·4 = 170 kN·m
Didžiausia reikšmė
Mmax = 172,5 kN·m (po P1)
Atsakymas
Mmax = 172,5 kN·m
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: Mx = 26,5 kN·m
Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.
Atramų reakcijos
Visos sijos pusiausvyra.
Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, veikianti taške x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 25·4 + 8·10·5
RB = 500/10 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 50 = 55 kN
Perpjaukite ties x = 0,5 m ir palikite kairiąją dalį
Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.
M = RA·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)
Mx = 55·0,5 − 8·0,5·0,25 = 26,5 kN·m
Atsakymas
Mx = 26,5 kN·m
11.Svorio centras ir inercijos momentas
Atsakymas: Ix = 39,96 × 10⁶ mm⁴
Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.
Padalykite į du stačiakampius
Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.
lentyna: Af = 260·10 = 2600 mm², yf = 280 + 10/2 = 285 mm
sienelė: Aw = 8·280 = 2240 mm², yw = 280/2 = 140 mm
Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.
Išorinis stačiakampis atėmus dvi šonines išpjovas
Abi išpjovos kartu yra (B − tw) pločio ir hw = H − 2tf aukščio, o jų ašis ta pati – x.