Statika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Modulis: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vienetinis vektorius: û = a/|a|
Komponentės pagal kampą: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Skaliarinė sandauga: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a skaliarinė projekcija į b: a·b/|b|
Darbas: W = F·d
Vektorinė sandauga: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Plotai: lygiagretainis |a × b|, trikampis ½|a × b|
Momentas taško O atžvilgiu: M_O = r × F, r = A − O
Gretasienio tūris: V = |a·(b × c)|

Metodas

Kiekvieną vektorių užrašykite komponentėmis; jėgai, pateiktai moduliu ir kampu, naudokite F·cos θ ir F·sin θ.
Ilgiams ir kryptims naudokite modulį √(x² + y² + z²) ir vienetinį vektorių a/|a|.
Skaliarinę sandaugą naudokite kampams, projekcijoms, statmenumui ir darbui: a·b = |a||b|cos θ.
Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Rėmai ir mechanizmai

Kiekvieno strypo pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas: jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga: vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis: F = √(F_x² + F_y²)
Svertas, replės, kampinis svertas: F_in·a = F_out·b
Alkūninis mechanizmas: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje

Metodas

Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Uždaviniai

1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis

Raskite vektoriaus a = (1, 5, 2) skaliarinę projekciją comp_b a į b = (−2, 6, 3), t. y. a komponentę b kryptimi.

a = (1, 5, 2)b = (−2, 6, 3)

comp_b a =

2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus

Kai a = (4, −6, 1) ir b = (3, −3, −5), raskite vektorinės sandaugos a × b y komponentę (a × b)_y.

a = (4, −6, 1)b = (3, −3, −5)

(a × b)_y =

3.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją R_B.

L = 6 mP₁ = 55 kN ties 3 mP₂ = 15 kN ties 4 m

R_B = kN

4.Sijų atramų reakcijosSunkus

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją R_B.

L = 8 mP = 60 kN ties 3 mw = 8 kN/m nuo 2 iki 6 m

R_B = kN

5.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Mazgų metodu raskite jėgą F_BC strype BC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 8 maukštis = 2 mB yra 6 m nuo Avertikalioji apkrova = 15 kN

F_BC = kN

6.Santvara: mazgų metodasSunkus

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

B: 20 kN ↓C: 35 kN ↓D: 40 kN ↓F: 20 kN ↓F: 25 kN →

1elementas AB
2elementas BC
3elementas CD
4elementas DE
5elementas FG
6elementas GH
7elementas AF
8elementas HE
9elementas BF
10elementas CG
11elementas DH
12elementas FC
13elementas HC

7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis

Parodytas rėmas turi šarnyrus A, B ir C; A ir C pritvirtinti prie žemės 6 m atstumu, o B yra 2 m virš žemės ir 1,8 m į dešinę nuo A. Vertikali 20 kN apkrova veikia strypą AB taške K, 1,35 m (horizontaliai) nuo A. Raskite jėgą F_BC strype BC.

P = 20 kNL = 6 mH = 2 mhorizontalus atstumas nuo A iki B = 1,8 mhorizontalus atstumas nuo A iki K = 1,35 m

F_BC = kN

8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus

Parodyto sieninio kronšteino sija AB šarnyru pritvirtinta taške A ir paremta atspara CD (C yra 1,5 m žemiau A). Sija per visą ilgį apkrauta tolygiąja 2,5 kN/m apkrova, o laisvajame gale B – 6 kN taškine apkrova. Raskite jėgą F_CD atsparoje.

w = 2,5 kN/mP = 6 kNAD = 1,2 mAB = 4 mAC = 1,5 m

F_CD = kN

9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Sija remiasi į šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, o už B tęsiasi 1,5 m ilgio konsolė iki laisvojo galo C. Ją veikia sutelktoji jėga P₁ tarp atramų ir sutelktoji jėga P₂ taške C. Raskite lenkimo momentą M_B ties atrama B. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 7,5 mP₁ = 35 kN ties 1,5 mP₂ = 70 kN ties 7,5 matramos ties x = 0 ir x = 6 m

M_B = kN·m

10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Laisvai atremta sija dalyje tarpatramio apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova. Raskite atstumą x₀ nuo A iki pjūvio, kuriame lenkimo momentas didžiausias.

L = 10 mw = 16 kN/m nuo 5 iki 10 m

x₀ = m

11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Raskite tėjinio skerspjūvio inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 50 kN·m. Raskite lenkimo įtempio σ_viršus dydį viršutiniame krašte.

b_f = 120 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 120 mmM = 50 kN·m

σ_viršus = MPa

3Tirpalai

1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Atsakymas: comp_b a = 4,857

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Skaliarinė sandauga

a·b = 1·(−2) + 5·6 + 2·3 = 34

b ilgis

|b| = √((−2)² + 6² + 3²) = 7

Skaliarinė projekcija

comp_b a = a·b/|b| = 34/7 = 4,857

Atsakymas

comp_b a = 4,857

2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Atsakymas: (a × b)_y = 23

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vektorinė sandauga komponentėmis

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−6)·(−5) − 1·(−3) = 33

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 1·3 − 4·(−5) = 23

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 4·(−3) − (−6)·3 = 6

Prašoma komponentė

(a × b)_y = 23

Atsakymas

(a × b)_y = 23

Patikra: a × b yra statmena abiem vektoriams, todėl jos skaliarinė sandauga su a ir su b lygi nuliui.

3.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_B = 37,5 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·3 + 15·4

R_B = 225/6 = 37,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 37,5 = 32,5 kN

Atsakymas

R_B = 37,5 kN

4.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_B = 38,5 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, veikianti taške x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 60·3 + 8·4·4

R_B = 308/8 = 38,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 92 − 38,5 = 53,5 kN

Atsakymas

R_B = 38,5 kN

5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_BC = −15,91 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 15·6 → C_y = 11,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 11,25 = 3,75 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −11,25/0,7071 = −15,91 kN

Atsakymas

F_BC = −15,91 kN (gniuždymas)

6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas CG

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas G

FG ir GH yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 76,25 kN (T), BC: 76,25 kN (T), CD: 63,75 kN (T), DE: 63,75 kN (T), FG: 87,5 kN (C), GH: 87,5 kN (C), AF: 72,48 kN (C), HE: 90,16 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 0, DH: 40 kN (T), FC: 15,91 kN (T), HC: 33,59 kN (T)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: CG

7.Rėmai ir mechanizmai

Atsakymas: F_BC = 10,47 kN

Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.

Dviejų jėgų strypas BC

BC = √(4,2² + 2²) = 4,652 m

Visas rėmas: momentai taško A atžvilgiu

Žemė stumia BC taške C išilgai CB; jos horizontalioji komponentė eina per A, momentą turi tik vertikalioji.

F_BC·(2/4,652)·6 = 20·1,35

F_BC = 10,47 kN (gniuždymas)

Atsakymas

F_BC = 10,47 kN

8.Rėmai ir mechanizmai

Atsakymas: F_CD = 46,96 kN

Tolygiosios apkrovos atstojamoji

w·L = 2,5·4 = 10 kN ties 2 m

Sijos momentai taško A atžvilgiu

F_CD·0,7809·1,2 = 10·2 + 6·4 = 44 kN·m

F_CD = 46,96 kN

Atsakymas

F_CD = 46,96 kN

9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_B = −105 kN·m

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra. Konsolės apkrova taip pat sukuria momentą taško A atžvilgiu.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·1,5 + 70·7,5

R_B = 577,5/6 = 96,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 96,25 = 8,75 kN

Pjūvis ties B, paliekama konsolė

Konsolę veikia tik P₂, kurios petys a. Ji lenkia siją virš atramos į viršų (neigiamas lenkimas).

M_B = −P₂·a = −70·1,5 = −105 kN·m

Atsakymas

M_B = −105 kN·m

10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: x₀ = 6,25 m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 16·5 = 80 kN, veikianti taške x̄ = 7,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 16·5·7,5

R_B = 600/10 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 60 = 20 kN

Nulinė skersinė jėga

Skersinė jėga prasideda nuo R_A, neapkrautuose ruožuose išlieka pastovi, o apkrovos ruože mažėja nuolydžiu w.

R_A − w·(x₀ − 5) = 0

x₀ = 5 + 20/16 = 6,25 m

Atsakymas

x₀ = 6,25 m

11.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 2,967 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 280·15 = 4200 mm², y_f = 100 + 15/2 = 107,5 mm

sienelė: A_w = 8·100 = 800 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·107,5 + 800·50)/5000 = 98,3 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 280·15³/12 + 4200·(107,5 − 98,3)² = 434238 mm⁴

sienelė: 8·100³/12 + 800·(50 − 98,3)² = 2,533 × 10⁶ mm⁴

I_x = 434238 + 2,533 × 10⁶ = 2,967 × 10⁶ mm⁴ = 2,967 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 2,967 × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_viršus = 279,8 MPa

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 120·20 = 2400 mm², y_f = 120 + 20/2 = 130 mm

sienelė: A_w = 14·120 = 1680 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·130 + 1680·60)/4080 = 101,2 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 120·20³/12 + 2400·(130 − 101,2)² = 2,074 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 14·120³/12 + 1680·(60 − 101,2)² = 4,864 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,074 × 10⁶ + 4,864 × 10⁶ = 6,938 × 10⁶ mm⁴

Lenkimo įtempis

Viršutinis kraštas yra h − ȳ atstumu nuo ašies.

y = 140 − 101,2 = 38,82 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·38,82/6,938 × 10⁶ = 279,8 MPa

Atsakymas

σ_viršus = 279,8 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics