Statika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Modulis: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vienetinis vektorius: û = a/|a|
Komponentės pagal kampą: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Skaliarinė sandauga: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a skaliarinė projekcija į b: a·b/|b|
Darbas: W = F·d
Vektorinė sandauga: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Plotai: lygiagretainis |a × b|, trikampis ½|a × b|
Momentas taško O atžvilgiu: M_O = r × F, r = A − O
Gretasienio tūris: V = |a·(b × c)|

Metodas

Kiekvieną vektorių užrašykite komponentėmis; jėgai, pateiktai moduliu ir kampu, naudokite F·cos θ ir F·sin θ.
Ilgiams ir kryptims naudokite modulį √(x² + y² + z²) ir vienetinį vektorių a/|a|.
Skaliarinę sandaugą naudokite kampams, projekcijoms, statmenumui ir darbui: a·b = |a||b|cos θ.
Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Rėmai ir mechanizmai

Kiekvieno strypo pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas: jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga: vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis: F = √(F_x² + F_y²)
Svertas, replės, kampinis svertas: F_in·a = F_out·b
Alkūninis mechanizmas: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje

Metodas

Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Uždaviniai

1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis

Pastovi jėga F = (−25, 5, 25) N veikia kūną, kuris tiesiai juda iš taško A(−2, 1, −2) į tašką B(−3, 4, −1). Koordinatės pateiktos metrais. Raskite jėgos atliktą darbą W.

F = (−25, 5, 25) NA(−2, 1, −2) mB(−3, 4, −1) m

W = J

2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus

Raskite trikampio, kurio viršūnės A(−2, 0, 1), B(−4, −3, 1) ir C(−3, 4, −4), plotą A. Koordinatės pateiktos metrais.

A(−2, 0, 1)B(−4, −3, 1)C(−3, 4, −4)

A = m²

3.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Ją veikia sutelktoji jėga P, esanti 2,5 m atstumu nuo A, ir jėgų pora M (pagal laikrodžio rodyklę), esanti 1,5 m atstumu nuo A. Raskite vertikaliąją reakciją R_A, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.

L = 5 mP = 25 kN ties 2,5 mM = 15 kN·m (pagal laikrodžio rodyklę) ties 1,5 m

R_A = kN

4.Sijų atramų reakcijosSunkus

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. 1 m atstumu nuo A veikia apkrova P, pasvirusi 60° kampu į horizontalę, o 7 m atstumu nuo A – vertikalioji apkrova Q. Raskite suminės reakcijos jėgos šarnyre A didumą R_A.

L = 10 mP = 60 kN ties 1 m, θ = 60°Q = 40 kN ties 7 m

R_A = kN

5.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Mazgų metodu raskite jėgą F_AC strype AC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 6 maukštis = 3 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 10 kN

F_AC = kN

6.Santvara: mazgų metodasSunkus

Mazgų metodu raskite jėgą F_AC strype AC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 4 maukštis = 3 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 25 kNhorizontalioji apkrova = 10 kN ←

F_AC = kN

7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis

Parodytas A formos rėmas stovi ant šarnyrinės atramos A ir ritininės atramos B, nutolusių 4,8 m. Kojos susitinka šarnyre C, 2 m aukštyje, o horizontalus ryšys DE yra 1 m virš žemės. Taške C veikia 15 kN apkrova. Raskite jėgos C, kuria šarnyras C veikia koją BC, didumą.

P = 15 kNAB = 4,8 mC aukštis = 2 mDE aukštis = 1 m

C = kN

8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus

Parodytas A formos rėmas stovi ant šarnyrinės atramos A ir ritininės atramos B, nutolusių 2,4 m, jo viršūnės šarnyras C yra 3 m aukštyje, o horizontalus ryšys DE – 1,2 m virš žemės. Vertikali 15 kN apkrova veikia koją AC taške K, 0,3 m (horizontaliai) nuo A. Raskite jėgos C, kuria šarnyras C veikia koją BC, didumą.

P = 15 kNAB = 2,4 mC aukštis = 3 mDE aukštis = 1,2 mhorizontalus atstumas nuo A iki K = 0,3 m

C = kN

9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Raskite skersinę jėgą V_x pjūvyje x = 8,5 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 10 mw = 2 kN/m nuo 0 iki 10 mx = 8,5 m

V_x = kN

10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

30 kN @ 6 m30 kN @ 1 m8 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

200 mm × 300 mm plokštė turi apvalią 30 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 210 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

b = 200 mmh = 300 mmd = 30 mmskylės centras: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Suvirinto dvitėjo skerspjūvio viršutinė lentyna yra 130 × 14 mm, sienelė 230 mm aukščio ir 16 mm storio, o apatinė lentyna 260 × 22 mm (plotis × storis). Raskite jo inercijos momentą I_x horizontaliosios ašies x, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.

viršutinė lentyna: 130 × 14 mmsienelė: 16 × 230 mmapatinė lentyna: 260 × 22 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Tirpalai

1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Atsakymas: W = 65 J

Skaliarinė sandauga: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, skaliaras. Ji duoda kampą tarp dviejų vektorių, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ir lygi nuliui, kai vektoriai statmeni. Skaliarinė a projekcija į b yra a·b/|b|, o pastovi jėga F, poslinkiu d atliekanti darbą, atlieka darbą W = F·d.

Poslinkis

d = B − A = (−3, 4, −1) − (−2, 1, −2) = (−1, 3, 1) m

Darbas

W = F·d = (−25)·(−1) + 5·3 + 25·1 = 65 J

Atsakymas

W = 65 J

2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Atsakymas: A = 10,56 m²

Vektorinė sandauga: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) yra statmena abiem vektoriams, o |a × b| = |a|·|b|·sin θ yra jų sudaryto lygiagretainio plotas (trikampio plotas yra pusė jo). Eilės tvarka svarbi: b × a = −(a × b). Jėgos F, veikiančios taške A, momentas taško O atžvilgiu yra M_O = r × F, kur r = A − O.

Kraštinių vektoriai

AB = B − A = (−2, −3, 0)

AC = C − A = (−1, 4, −5)

Vektorinė sandauga

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−3)·(−5) − 0·4 = 15

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 0·(−1) − (−2)·(−5) = −10

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−2)·4 − (−3)·(−1) = −11

|AB × AC| = √(15² + (−10)² + (−11)²) = 21,12

Trikampio plotas

A = ½·21,12 = 10,56 m²

Atsakymas

A = 10,56 m²

3.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_A = 9,5 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

Momentai A atžvilgiu

Prieš laikrodžio rodyklę – teigiama.

ΣM_A = 0: R_B·5 − 25·2,5 − 15 = 0

R_B = 77,5/5 = 15,5 kN

Vertikalioji pusiausvyra

R_A = 25 − 15,5 = 9,5 kN

Atsakymas

R_A = 9,5 kN

Neigiama reakcija nukreipta žemyn.

4.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_A = 65,98 kN

P dedamosios

P_v = 60·sin 60° = 51,96 kN

P_h = 60·cos 60° = 30 kN

Reakcijos

ΣM_A = 0: R_B·10 = 51,96·1 + 40·7 → R_B = 33,2 kN

A_y = 51,96 + 40 − 33,2 = 58,77 kN

A_x = P_h = 30 kN

Atstojamoji ties A

R_A = √(30² + 58,77²) = 65,98 kN

Atsakymas

R_A = 65,98 kN

5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AC = 2,778 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 10·1 → C_y = 1,667 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 1,667 = 8,333 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 3/5,831 = 0,5145, cos γ = 5/5,831 = 0,8575

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −1,667/0,5145 = −3,239 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−3,239)·0,8575 = 2,778 kN

Atsakymas

F_AC = 2,778 kN (tempimas)

6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: F_AC = −1,25 kN

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 25·1 − 10·3 → C_y = −1,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − −1,25 = 26,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−1,25/0,7071 = 1,768 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(1,768)·0,7071 = −1,25 kN

Atsakymas

F_AC = −1,25 kN (gniuždymas)

7.Rėmai ir mechanizmai

Atsakymas: C = 19,5 kN

Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.

Ryšio jėga iš kojos BC

B_y = 7,5 kN

T = 7,5·2,4/1 = 18 kN

Šarnyro jėgos komponentės, veikiančios BC

C_x = T = 18 kN, C_y = −B_y = −7,5 kN

Modulis

C = √(18² + 7,5²) = 19,5 kN

Atsakymas

C = 19,5 kN

8.Rėmai ir mechanizmai

Atsakymas: C = 2,253 kN

Atramos B reakcija

B_y = 15·0,3/2,4 = 1,875 kN

Ryšio jėga

T = 1,875·1,2/1,8 = 1,25 kN

Šarnyro jėga, veikianti BC

C_x = 1,25 kN, C_y = −1,875 kN

C = √(1,25² + 1,875²) = 2,253 kN

Atsakymas

C = 2,253 kN

9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: V_x = −7 kN

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, veikianti taške x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 2·10·5

R_B = 100/10 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

Perpjaukite ties x = 8,5 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

V = R_A − (visos žemyn nukreiptos apkrovos kairiau pjūvio)

V_x = 10 − 2·8,5 = −7 kN

Atsakymas

V_x = −7 kN

10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: B (x = 1 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 38 kN, R₂ = 62 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 34 kN·m, M_C = 30, M_D = 18, M_E = −2, M_F = −30, M_G = 0

Atsakymas

Žymė B: M_B = 34 kN·m

11.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 447,4 × 10⁶ mm⁴

Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio I_c = bh³/12, o skritulio I_c = πd⁴/64.

Svorio centras

ȳ = (60000·150 − 706,9·210)/(60000 − 706,9) = 149,3 mm

Pilna plokštė ȳ atžvilgiu

200·300³/12 + 60000·0,7153² = 450 × 10⁶ mm⁴

Skylė ȳ atžvilgiu

π·30⁴/64 + 706,9·60,72² = 2,645 × 10⁶ mm⁴

Atimkite

I_x = 447,4 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 447,4 × 10⁶ mm⁴

12.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: I_x = 112,2 × 10⁶ mm⁴

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į tris stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

viršutinė lentyna: A = 1820 mm², y = 259 mm

sienelė: A = 3680 mm², y = 137 mm

apatinė lentyna: A = 5720 mm², y = 11 mm

Svorio centras

ȳ = (1820·259 + 3680·137 + 5720·11)/11220 = 92,55 mm

Šteinerio teorema

viršutinė lentyna: 130·14³/12 + 1820·166,4² = 5,045 × 10⁷ mm⁴

sienelė: 16·230³/12 + 3680·44,45² = 2,349 × 10⁷ mm⁴

apatinė lentyna: 260·22³/12 + 5720·81,55² = 3,828 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,045 × 10⁷ + 2,349 × 10⁷ + 3,828 × 10⁷

I_x = 1,122 × 10⁸ mm⁴ = 112,2 × 10⁶ mm⁴

Atsakymas

I_x = 112,2 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics