Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.
Sijų atramų reakcijos
Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d
Metodas
Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.
Santvara: mazgų metodas
Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas
Metodas
Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.
Rėmai ir mechanizmai
Kiekvieno strypo pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas
jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga
vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis
F = √(Fx² + Fy²)
Svertas, replės, kampinis svertas
Fin·a = Fout·b
Alkūninis mechanizmas
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Metodas
Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.
Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8
Metodas
Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.
Svorio centras ir inercijos momentas
Svorio centras
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Stačiakampis
I = bh³/12
Šteinerio teorema
I = Ic + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Uždaviniai
1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis
Raskite k reikšmę, su kuria vektoriai a = (6, 5, −2) ir b = (−5, −4, k) yra statmeni.
a = (6, 5, −2)b = (−5, −4, k)
k =
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus
Raskite gretasienio, kurio briaunos iš vienos viršūnės yra a = (−2, 2, 1), b = (−2, 5, −3) ir c = (−2, −4, −2), tūrį V.
a = (−2, 2, 1)b = (−2, 5, −3)c = (−2, −4, −2)
V =
3.Sijų atramų reakcijosVidutinis
Sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B, esančią 8 m atstumu nuo A, o už B tęsiasi konsolė iki laisvojo galo C. Raskite vertikaliąją reakciją RA, teigiama kryptimi laikydami kryptį aukštyn.
AB = 8 mAC = 10 mP1 = 45 kN ties 2 mP2 = 35 kN ties 10 m
RA = kN
4.Sijų atramų reakcijosSunkus
Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RB.
tarpatramis = 5 maukštis = 4 mB yra 1 m nuo Avertikalioji apkrova = 25 kNhorizontalioji apkrova = 15 kN ←
FAC = kN
7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis
Parodytas rėmas turi šarnyrus A, B ir C; A ir C pritvirtinti prie žemės 6 m atstumu, o B yra 4 m virš žemės ir 1,8 m į dešinę nuo A. Vertikali 10 kN apkrova veikia strypą AB taške K, 0,45 m (horizontaliai) nuo A. Raskite jėgą FBC strype BC.
P = 10 kNL = 6 mH = 4 mhorizontalus atstumas nuo A iki B = 1,8 mhorizontalus atstumas nuo A iki K = 0,45 m
FBC = kN
8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus
Parodytas A formos rėmas stovi ant šarnyrinės atramos A ir ritininės atramos B, nutolusių 6 m. Kojos susitinka šarnyre C, 4 m aukštyje, ir sujungtos horizontaliu strypu DE 1 m aukštyje. Taške C į dešinę veikia horizontali 4 kN jėga. Raskite ryšio tempimo jėgą T.
P = 4 kNAB = 6 mC aukštis = 4 mDE aukštis = 1 m
T = kN
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
Gembė įtvirtinta taške A. Ją visu ilgiu veikia tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktoji jėga P, esanti 3 m atstumu nuo A. Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 1 m nuo įtvirtinimo A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.
L = 3 mP = 70 kN ties 3 mw = 8 kN/m nuo 0 iki 3 mx = 1 m
Mx = kN·m
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 1 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.
L = 4 mP = 15 kN ties 1,5 mw = 6 kN/m nuo 0 iki 4 mx = 1 m
Mx = kN·m
11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis
Lovinis skerspjūvis atvira puse į viršų: 200 mm pločio pagrindo plokštė su dviem vertikaliomis lentynomis, bendrasis aukštis 100 mm. Pagrindo ir lentynų storis vienodas – 12 mm. Raskite svorio centro aukštį ȳ virš apatinės kraštinės.
b = 200 mmh = 100 mmt = 12 mm
ȳ = mm
12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus
Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 50 kN·m. Raskite lenkimo įtempio σviršus dydį viršutiniame krašte.
Skaliarinė sandauga:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, skaliaras. Ji duoda kampą tarp dviejų vektorių, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ir lygi nuliui, kai vektoriai statmeni. Skaliarinė a projekcija į b yra a·b/|b|, o pastovi jėga F, poslinkiu d atliekanti darbą, atlieka darbą W = F·d.
Skaliarinė sandauga lygi nuliui
a·b = 6·(−5) + 5·(−4) + (−2)·k = 0
−50 + (−2)·k = 0
Išspręskite k atžvilgiu
k = −(−50)/(−2) = −25
Atsakymas
k = −25
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga
Atsakymas: V = 66
Vektorinė sandauga:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) yra statmena abiem vektoriams, o |a × b| = |a|·|b|·sin θ yra jų sudaryto lygiagretainio plotas (trikampio plotas yra pusė jo). Eilės tvarka svarbi: b × a = −(a × b). Jėgos F, veikiančios taške A, momentas taško O atžvilgiu yra MO = r × F, kur r = A − O.
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.
Momentai A atžvilgiu
Prieš laikrodžio rodyklę – teigiama.
ΣMA = 0: RB·8 = 45·2 + 35·10
RB = 440/8 = 55 kN
Vertikalioji pusiausvyra
RA = 45 + 35 − 55 = 25 kN
Atsakymas
RA = 25 kN
4.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: RB = 45,88 kN
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.
Laisvojo kūno diagrama
Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.
Pusiausvyra
Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.
Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 6·3 = 18 kN, veikianti taške x̄ = 6,5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 50·5 + 6·3·6,5
RB = 367/8 = 45,88 kN
ΣFy = 0: RA = 68 − 45,88 = 22,13 kN
Atsakymas
RB = 45,88 kN
5.Santvara: mazgų metodas
Atsakymas: FAC = 2,083 kN
Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.
Atramų reakcijos
Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.
ΣMA = 0: Cy·6 = 10·5 → Cy = 8,333 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 8,333 = 1,667 kN
Mazgas C
Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.
sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.
Atramų reakcijos
Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.
ΣMA = 0: Cy·5 = 25·1 − 15·4 → Cy = −7 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − −7 = 32 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN
Mazgas C
Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.
sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071
Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.
Dviejų jėgų strypas BC
BC = √(4,2² + 4²) = 5,8 m
Visas rėmas: momentai taško A atžvilgiu
Žemė stumia BC taške C išilgai CB; jos horizontalioji komponentė eina per A, momentą turi tik vertikalioji.
FBC·(4/5,8)·6 = 10·0,45
FBC = 1,087 kN (gniuždymas)
Atsakymas
FBC = 1,087 kN
8.Rėmai ir mechanizmai
Atsakymas: T = 2,667 kN
Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.
Visas rėmas: momentai taško A atžvilgiu
By·6 = 4·4
By = 2,667 kN
Koja BC: momentai taško C atžvilgiu
2,667·3 = T·3
T = 2,667 kN
Atsakymas
T = 2,667 kN
Teigiamas T reiškia, kad ryšys tempiamas, kaip ir buvo daroma prielaida.
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: Mx = −156 kN·m
Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.
Palikite dalį su laisvuoju galu
P: −70·2 = −140 kN·m
w: −8·2²/2 = −16 kN·m
Mx = −140 − 16 = −156 kN·m
Atsakymas
Mx = −156 kN·m
Neigiamas reiškia neigiamą lenkimą: tempiami viršutiniai sluoksniai.
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: Mx = 18,38 kN·m
Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.
Atramų reakcijos
Visos sijos pusiausvyra.
Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, veikianti taške x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 15·1,5 + 6·4·2
RB = 70,5/4 = 17,63 kN
ΣFy = 0: RA = 39 − 17,63 = 21,38 kN
Perpjaukite ties x = 1 m ir palikite kairiąją dalį
Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.
M = RA·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)
Mx = 21,38·1 − 6·1·0,5 = 18,38 kN·m
Atsakymas
Mx = 18,38 kN·m
11.Svorio centras ir inercijos momentas
Atsakymas: ȳ = 29,4 mm
Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.
Padalykite į stačiakampius
Pagrindą imkite viso pločio, o dvi lentynas virš jo (aukštis h − t), kad niekas nebūtų įskaičiuota du kartus.
bazė: A1 = 200·12 = 2400 mm², y1 = 6 mm
dvi lentynos: A2 = 2·12·88 = 2112 mm², y2 = 12 + 88/2 = 56 mm
Svorio centras
ȳ = (2400·6 + 2112·56)/4512 = 29,4 mm
Atsakymas
ȳ = 29,4 mm
12.Svorio centras ir inercijos momentas
Atsakymas: σviršus = 116,8 MPa
Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.
Padalykite į du stačiakampius
Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.
lentyna: Af = 120·20 = 2400 mm², yf = 220 + 20/2 = 230 mm
sienelė: Aw = 16·220 = 3520 mm², yw = 220/2 = 110 mm