Statika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Modulis: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vienetinis vektorius: û = a/|a|
Komponentės pagal kampą: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Skaliarinė sandauga: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a skaliarinė projekcija į b: a·b/|b|
Darbas: W = F·d
Vektorinė sandauga: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Plotai: lygiagretainis |a × b|, trikampis ½|a × b|
Momentas taško O atžvilgiu: M_O = r × F, r = A − O
Gretasienio tūris: V = |a·(b × c)|

Metodas

Kiekvieną vektorių užrašykite komponentėmis; jėgai, pateiktai moduliu ir kampu, naudokite F·cos θ ir F·sin θ.
Ilgiams ir kryptims naudokite modulį √(x² + y² + z²) ir vienetinį vektorių a/|a|.
Skaliarinę sandaugą naudokite kampams, projekcijoms, statmenumui ir darbui: a·b = |a||b|cos θ.
Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas: M = F·d

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣF_y = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Pjūvių metodas: ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga: teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Rėmai ir mechanizmai

Kiekvieno strypo pusiausvyra: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas: jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga: vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis: F = √(F_x² + F_y²)
Svertas, replės, kampinis svertas: F_in·a = F_out·b
Alkūninis mechanizmas: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova: atstojamoji w·L apkrovos viduryje

Metodas

Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣF_x = 0 ir ΣF_y = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas: V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis: σ = M·y/I
Stačiakampis: I = bh³/12
Atsparumo momentas: W = I/y_max
Laisvai atremta, tolygi apkrova: M_max = wL²/8

Metodas

Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Svorio centras ir inercijos momentas

Svorio centras: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Stačiakampis: I = bh³/12
Šteinerio teorema: I = I_c + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Uždaviniai

1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis

Raskite vektoriaus a = (−5, −7, −4) skaliarinę projekciją comp_b a į b = (6, 2, 4), t. y. a komponentę b kryptimi.

a = (−5, −7, −4)b = (6, 2, 4)

comp_b a =

2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus

Raskite trikampio, kurio viršūnės A(1, 3, 0), B(−2, −1, 2) ir C(4, 2, −3), plotą A. Koordinatės pateiktos metrais.

A(1, 3, 0)B(−2, −1, 2)C(4, 2, −3)

A = m²

3.Sijų atramų reakcijosVidutinis

Laisvai atremtą siją (šarnyrinė atrama A, ritininė atrama B) veikia tiesiškai kintanti apkrova, didėjanti nuo nulio ties A iki 10 kN/m ties B. 8 m atstumu nuo A dar veikia sutelktoji jėga P. Raskite vertikaliąją atramos reakciją R_A.

L = 10 mw₀ = 10 kN/mP = 80 kN ties 8 m

R_A = kN

4.Sijų atramų reakcijosSunkus

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją R_A.

L = 5 mP = 45 kN ties 2,5 mw = 12 kN/m nuo 3 iki 5 m

R_A = kN

5.Santvara: mazgų metodasVidutinis

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

D: 20 kN ↓G: 25 kN ↓

1elementas AB
2elementas BC
3elementas CD
4elementas DE
5elementas FG
6elementas GH
7elementas AF
8elementas HE
9elementas BF
10elementas CG
11elementas DH
12elementas BG
13elementas DG

6.Santvara: mazgų metodasSunkus

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

D: 40 kN ↓F: 35 kN ↓G: 15 kN ↓H: 35 kN ↓H: 20 kN ←

1elementas AB
2elementas BC
3elementas CD
4elementas DE
5elementas FG
6elementas GH
7elementas AF
8elementas HE
9elementas BF
10elementas CG
11elementas DH
12elementas FC
13elementas HC

7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis

Parodytas kampinis svertas sukasi apie šarnyrą O. Vertikali 120 N jėga taške A (100 mm nuo O) subalansuota horizontalia jėga taške B (60 mm virš O). Raskite šarnyro reakcijos didumą F_O.

F = 120 NOA = 100 mmOB = 60 mm

F_O = N

8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus

Alkūninio preso dvi vienodos jungtys AB ir BC yra po 150 mm ilgio tarp šarnyrų. Šarnyras B yra 8 mm virš tiesės AC. Kokia žemyn nukreipta jėga F taške B sukuria 5000 N horizontalią spaudimo jėgą ties slankikliu C? Nepaisykite trinties ir svorių.

Q = 5000 NAB = BC = 150 mmh = 8 mm

F = N

9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

10 kN @ 6 m10 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus

Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą M_max.

L = 4 mP = 45 kN ties 2 mw = 6 kN/m nuo 0 iki 4 m

M_max = kN·m

11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis

Lovinis skerspjūvis atvira puse į viršų: 160 mm pločio pagrindo plokštė su dviem vertikaliomis lentynomis, bendrasis aukštis 80 mm. Pagrindo ir lentynų storis vienodas – 18 mm. Raskite svorio centro aukštį ȳ virš apatinės kraštinės.

b = 160 mmh = 80 mmt = 18 mm

ȳ = mm

12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus

Tėjinis skerspjūvis naudojamas kaip sija su lentyna viršuje ir veikiamas teigiamo lenkimo momento 20 kN·m. Raskite lenkimo įtempį σ_apačia apatiniame krašte.

b_f = 120 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 200 mmM = 20 kN·m

σ_apačia = MPa

3Tirpalai

1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Atsakymas: comp_b a = −8,018

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Skaliarinė sandauga

a·b = (−5)·6 + (−7)·2 + (−4)·4 = −60

b ilgis

|b| = √(6² + 2² + 4²) = 7,483

Skaliarinė projekcija

comp_b a = a·b/|b| = −60/7,483 = −8,018

Atsakymas

comp_b a = −8,018

Neigiama: a turi komponentę, nukreiptą prieš b.

2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga

Atsakymas: A = 10,37 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Kraštinių vektoriai

AB = B − A = (−3, −4, 2)

AC = C − A = (3, −1, −3)

Vektorinė sandauga

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−4)·(−3) − 2·(−1) = 14

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 2·3 − (−3)·(−3) = −3

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−3)·(−1) − (−4)·3 = 15

|AB × AC| = √(14² + (−3)² + 15²) = 20,74

Trikampio plotas

A = ½·20,74 = 10,37 m²

Atsakymas

A = 10,37 m²

3.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_A = 32,67 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite jos atstojamąja (diagramos plotu), veikiančia apkrovos diagramos svorio centre, ir imkite momentus atramos atžvilgiu, kad tos atramos reakcija dingtų iš lygties.

Trikampės apkrovos atstojamoji

W = ½·10·10 = 50 kN

x̄ = 2L/3 = 6,667 m

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 50·6,667 + 80·8

R_B = 97,33 kN

R_A = 130 − 97,33 = 32,67 kN

Atsakymas

R_A = 32,67 kN

4.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: R_A = 27,3 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 12·2 = 24 kN, veikianti taške x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 45·2,5 + 12·2·4

R_B = 208,5/5 = 41,7 kN

ΣF_y = 0: R_A = 69 − 41,7 = 27,3 kN

Atsakymas

R_A = 27,3 kN

5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas CG

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas C

BC ir CD yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 13,12 kN (T), BC: 26,25 kN (T), CD: 26,25 kN (T), DE: 20,62 kN (T), FG: 13,12 kN (C), GH: 20,62 kN (C), AF: 21,88 kN (C), HE: 34,37 kN (C), BF: 17,5 kN (T), CG: 0, DH: 27,5 kN (T), BG: 21,88 kN (C), DG: 9,375 kN (C)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: CG

6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas BF

Mazgas B

AB ir BC yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 37,5 kN (T), BC: 37,5 kN (T), CD: 67,5 kN (T), DE: 67,5 kN (T), FG: 80 kN (C), GH: 80 kN (C), AF: 81,32 kN (C), HE: 95,46 kN (C), BF: 0, CG: 15 kN (C), DH: 40 kN (T), FC: 31,82 kN (T), HC: 10,61 kN (C)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: BF

7.Rėmai ir mechanizmai

Atsakymas: F_O = 233,2 N

Mechanizmai: replės, svertai, jungčių sistemos ir spaustuvai įėjimo jėgą paverčia didesne ar kitos krypties išėjimo jėga. Vieną dalį nubraižykite kaip laisvąjį kūną ir imkite momentus jos sukimosi ašies atžvilgiu: šarnyro jėga iškrenta, o F_in·a = F_out·b duoda mechaninį išlošį a/b. Šarnyro jėgą tada gaunate iš ΣF = 0 tai pačiai daliai. Alkūniniame mechanizme dvi jungtys susitinka mažu kampu θ; kiekviena jungtis yra dviejų jėgų strypas, todėl maža jėga F sandūroje sukuria dideles jungčių jėgas F/(2 sin θ) ir spaudimo jėgą F/(2 tan θ).

Jėga taške B

Q = 120·100/60 = 200 N

Šarnyro reakcija

O_x = 200 N, O_y = 120 N

F_O = √(200² + 120²) = 233,2 N

Atsakymas

F_O = 233,2 N

8.Rėmai ir mechanizmai

Atsakymas: F = 534,1 N

Jungties kampas

sin θ = 8/150 = 0,05333, θ = 3,057°

Jungties jėga

F_link = Q/cos θ = 5007 N

Jėga taške B

F = 2·F_link·sin θ = 2·5000·tan θ = 534,1 N

Atsakymas

F = 534,1 N

9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: D (x = 6 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R₁ = 65 kN, R₂ = 65 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

M_A = 0, M_B = 110, M_C = 180, M_D = 210 kN·m, M_E = 180, M_F = 110, M_G = 0

Atsakymas

Žymė D: M_D = 210 kN·m

10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: M_max = 57 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, veikianti taške x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·2 + 6·4·2

R_B = 138/4 = 34,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 69 − 34,5 = 34,5 kN

Kur V = 0?

V(2⁻) = R_A − w·2 = 22,5 kN

V(2⁺) = 22,5 − 45 = −22,5 kN

Skersinė jėga keičia ženklą ties apkrova, todėl maksimumas yra po apkrova.

Didžiausias momentas

M_max = R_A·2 − w·2²/2 = 34,5·2 − 6·2²/2 = 57 kN·m

Atsakymas

M_max = 57 kN·m

Tai yra taške x = 2 m nuo A.

11.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: ȳ = 26,46 mm

Sudėtiniai skerspjūviai: padalykite skerspjūvį į stačiakampius. Svorio centras yra plotais svertinis vidurkis ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Inercijos momentas centrinės ašies atžvilgiu sumuoja kiekvienos dalies nuosavą bh³/12 ir Šteinerio narį A·d², kur d – atstumas nuo dalies svorio centro iki bendro svorio centro. Lenkimo įtempis σ = M·y/I.

Padalykite į stačiakampius

Pagrindą imkite viso pločio, o dvi lentynas virš jo (aukštis h − t), kad niekas nebūtų įskaičiuota du kartus.

bazė: A₁ = 160·18 = 2880 mm², y₁ = 9 mm

dvi lentynos: A₂ = 2·18·62 = 2232 mm², y₂ = 18 + 62/2 = 49 mm

Svorio centras

ȳ = (2880·9 + 2232·49)/5112 = 26,46 mm

Atsakymas

ȳ = 26,46 mm

12.Svorio centras ir inercijos momentas

Atsakymas: σ_apačia = 207,1 MPa

Padalykite į du stačiakampius

Kiekvieną y matuokite nuo apatinio krašto.

lentyna: A_f = 120·15 = 1800 mm², y_f = 200 + 15/2 = 207,5 mm

sienelė: A_w = 8·200 = 1600 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Svorio centras

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·207,5 + 1600·100)/3400 = 156,9 mm

Šteinerio teorema

lentyna: 120·15³/12 + 1800·(207,5 − 156,9)² = 4,64 × 10⁶ mm⁴

sienelė: 8·200³/12 + 1600·(100 − 156,9)² = 1,052 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,64 × 10⁶ + 1,052 × 10⁷ = 1,516 × 10⁷ mm⁴

Lenkimo įtempis

Apatinis kraštas yra ȳ atstumu nuo ašies.

y = 156,9 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·156,9/1,516 × 10⁷ = 207,1 MPa

Atsakymas

σ_apačia = 207,1 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics